1. (2024·昆山模拟)已知 $x,y$ 满足 $2x - 3y = 4$，且 $x≥ - 1$，$y≤ 2$，则 $x - y$ 的最大值(
A.$1$
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{5}{3}$
D.$3$
D
)A.$1$
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{5}{3}$
D.$3$
答案：1. D 点拨：$\because 2x-3y=2x-2y-y=2(x-y)-y=4$，
$\therefore 2(x-y)=y+4,\therefore x-y=\frac{y+4}{2}.\because y≤ 2,\therefore x-y=$
$\frac{y+4}{2}≤ \frac{2+4}{2}=3$，即$x-y$的最大值是3.
$\therefore 2(x-y)=y+4,\therefore x-y=\frac{y+4}{2}.\because y≤ 2,\therefore x-y=$
$\frac{y+4}{2}≤ \frac{2+4}{2}=3$，即$x-y$的最大值是3.
2. (2024·南京校级期末)若 $2a + 3b = 6$，且 $a≤ 3b$，则下列说法正确的是(
A.$\frac{a}{b}$ 有最小值 $\frac{3}{2}$
B.$\frac{a}{b}$ 有最大值 $3$
C.$\frac{b}{a}$ 有最小值 $\frac{9}{2}$
D.$\frac{b}{a}$ 有最小值 $\frac{1}{3}$
B
)A.$\frac{a}{b}$ 有最小值 $\frac{3}{2}$
B.$\frac{a}{b}$ 有最大值 $3$
C.$\frac{b}{a}$ 有最小值 $\frac{9}{2}$
D.$\frac{b}{a}$ 有最小值 $\frac{1}{3}$
答案：2. B 点拨：$\because 2a+3b=6,\therefore 2a=6-3b,\therefore a=3-\frac{3}{2}b.\because a≤$
$3b,\therefore 3-\frac{3}{2}b≤ 3b,\therefore b≥ \frac{2}{3},\therefore \frac{a}{b}=\frac{3-\frac{3}{2}b}{b}=\frac{3}{b}-\frac{3}{2}$，
当$b=\frac{2}{3}$时，$\frac{a}{b}$有最大值，为3.
$3b,\therefore 3-\frac{3}{2}b≤ 3b,\therefore b≥ \frac{2}{3},\therefore \frac{a}{b}=\frac{3-\frac{3}{2}b}{b}=\frac{3}{b}-\frac{3}{2}$，
当$b=\frac{2}{3}$时，$\frac{a}{b}$有最大值，为3.
3. 已知非负数 $a,b,c$ 满足 $\frac{a - 1}{2} = \frac{b - 2}{3} = \frac{3 - c}{4}$，设 $S = a + 2b + 3c$ 的最大值为 $m$，最小值为 $n$，则 $\frac{n}{m}$ 的值为
$\frac{11}{16}$
.答案：3. $\frac{11}{16}$ 点拨：设$\frac{a-1}{2}=\frac{b-2}{3}=\frac{3-c}{4}=k$，则$a=2k+1,b=$
$3k+2,c=3-4k,\therefore S=a+2b+3c=2k+1+2(3k+2)+$
$3(3-4k)=-4k+14.\because a,b,c$为非负数，
$\therefore \{\begin{array}{l}2k+1≥ 0,\\ 3k+2≥ 0,\\ 3-4k≥ 0,\end{array} $解得$-\frac{1}{2}≤ k≤ \frac{3}{4}$.
$\therefore$当$k=-\frac{1}{2}$时，$S$取最大值，当$k=\frac{3}{4}$时，$S$取最小值.
$\therefore m=-4× (-\frac{1}{2})+14=16,n=-4× \frac{3}{4}+14=11$，
$\therefore \frac{n}{m}=\frac{11}{16}$.
$3k+2,c=3-4k,\therefore S=a+2b+3c=2k+1+2(3k+2)+$
$3(3-4k)=-4k+14.\because a,b,c$为非负数，
$\therefore \{\begin{array}{l}2k+1≥ 0,\\ 3k+2≥ 0,\\ 3-4k≥ 0,\end{array} $解得$-\frac{1}{2}≤ k≤ \frac{3}{4}$.
$\therefore$当$k=-\frac{1}{2}$时，$S$取最大值，当$k=\frac{3}{4}$时，$S$取最小值.
$\therefore m=-4× (-\frac{1}{2})+14=16,n=-4× \frac{3}{4}+14=11$，
$\therefore \frac{n}{m}=\frac{11}{16}$.
4. 若 $2a + b = 12$，其中 $a≥ 0$，$b≥ 0$，$P = 3a + 2b$，求 $P$ 的最小值和最大值.
答案：4. 解：$\because 2a+b=12,a≥ 0,b≥ 0,\therefore 2a≤ 12,\therefore a≤ 6$，
$\therefore 0≤ a≤ 6$.由$2a+b=12$，得$b=12-2a$，将$b=12-2a$代
入$P=3a+2b$，得$P=3a+2(12-2a)=24-a$.
当$a=0$时，$P$有最大值，最大值为24.
当$a=6$时，$P$有最小值，最小值为18.
$\therefore 0≤ a≤ 6$.由$2a+b=12$，得$b=12-2a$，将$b=12-2a$代
入$P=3a+2b$，得$P=3a+2(12-2a)=24-a$.
当$a=0$时，$P$有最大值，最大值为24.
当$a=6$时，$P$有最小值，最小值为18.