1. 定义 $ \{ x \} $ 表示不小于 $ x $ 的最小整数，例如：$ \{ 3.7 \} = 4 $。给出下列结论：① $ \{ - 1.2 \} = - 1 $；②若 $ \{ x \} = 3 $，则 $ 2 ≤ x ＜ 3 $；③若 $ 1.2 ≤ x ≤ 2 $，则 $ \{ x \} = 2 $；④若 $ \{ x \} = 2 $，$ \{ y \} = 4 $，则 $ 4 ＜ \{ x + y \} ≤ 6 $。其中正确的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案：1. C
解析：
①$\{-1.2\}=-1$，正确；
②若$\{x\}=3$，则$2≤ x＜3$，正确；
③当$x=2$时，$\{x\}=2$，当$1.2≤ x＜2$时，$\{x\}=2$，正确；
④若$\{x\}=2$，则$1≤ x＜2$；$\{y\}=4$，则$3≤ y＜4$，故$4≤ x+y＜6$，所以$\{x+y\}$可能为4、5，即$4≤ \{x+y\}＜6$，原结论错误。
正确的有①②③，共3个。
C
②若$\{x\}=3$，则$2≤ x＜3$，正确；
③当$x=2$时，$\{x\}=2$，当$1.2≤ x＜2$时，$\{x\}=2$，正确；
④若$\{x\}=2$，则$1≤ x＜2$；$\{y\}=4$，则$3≤ y＜4$，故$4≤ x+y＜6$，所以$\{x+y\}$可能为4、5，即$4≤ \{x+y\}＜6$，原结论错误。
正确的有①②③，共3个。
C
2. 定义：对于任何有理数 $ m $，符号 $ [m] $ 表示不大于 $ m $ 的最大整数。例如：$ [4.5] = 4 $，$ [8] = 8 $，$ [ - 3.2] = - 4 $。
(1)填空：$ [π] = $
(2)如果 $ [ \dfrac{5 - 2x}{3} ] = - 4 $，求满足条件的 $ x $ 的取值范围；
(3)求方程 $ 4x - 3[x] + 5 = 0 $ 的整数解。
(1)填空：$ [π] = $
3
，$ [ - 2.1] + 5 = $2
；(2)如果 $ [ \dfrac{5 - 2x}{3} ] = - 4 $，求满足条件的 $ x $ 的取值范围；
(3)求方程 $ 4x - 3[x] + 5 = 0 $ 的整数解。
答案：2. (1) 3 2
(2) 解: 根据题意, 得 $-4 ≤ \frac{5-2 x}{3}＜-3$,
解得 $7＜x ≤ \frac{17}{2}$,
则满足条件的 $x$ 的取值范围为 $7＜x ≤ \frac{17}{2}$.
(3) 解: 整理得 $[x]=\frac{4 x+5}{3}$,
$\therefore x-1＜\frac{4 x+5}{3} ≤ x$
解得 $-8＜x ≤-5$,
$\therefore$ 整数 $x$ 为 $-7,-6,-5$.
$\because[x]$ 是整数,
$\therefore \frac{4 x+5}{3}$ 为整数,
$\therefore x=-5$,
$\therefore$ 方程的整数解为 $x=-5$.
(2) 解: 根据题意, 得 $-4 ≤ \frac{5-2 x}{3}＜-3$,
解得 $7＜x ≤ \frac{17}{2}$,
则满足条件的 $x$ 的取值范围为 $7＜x ≤ \frac{17}{2}$.
(3) 解: 整理得 $[x]=\frac{4 x+5}{3}$,
$\therefore x-1＜\frac{4 x+5}{3} ≤ x$
解得 $-8＜x ≤-5$,
$\therefore$ 整数 $x$ 为 $-7,-6,-5$.
$\because[x]$ 是整数,
$\therefore \frac{4 x+5}{3}$ 为整数,
$\therefore x=-5$,
$\therefore$ 方程的整数解为 $x=-5$.
3. 对非负数 $ x $“四舍五入”到个位的值记为 $ ⟨ x \rangle $。即当 $ n $ 为非负整数时，若 $ n - \dfrac{1}{2} ≤ x ＜ n + \dfrac{1}{2} $，则 $ ⟨ x \rangle = n $。如：$ ⟨ 3.4 \rangle = 3 $，$ ⟨ 3.5 \rangle = 4 $。根据以上材料，解答下列问题：
(1)填空：
①若 $ ⟨ x \rangle = 3 $，则 $ x $ 应满足的条件是
②若 $ ⟨ 3x + 1 \rangle = 3 $，则 $ x $ 应满足的条件是
(2)求满足 $ ⟨ x \rangle = \dfrac{5}{3}x - 1 $ 的所有非负数 $ x $ 的值。
(1)填空：
①若 $ ⟨ x \rangle = 3 $，则 $ x $ 应满足的条件是
$\frac{5}{2} ≤ x＜\frac{7}{2}$
；②若 $ ⟨ 3x + 1 \rangle = 3 $，则 $ x $ 应满足的条件是
$\frac{1}{2} ≤ x＜\frac{5}{6}$
。(2)求满足 $ ⟨ x \rangle = \dfrac{5}{3}x - 1 $ 的所有非负数 $ x $ 的值。
答案：3. (1) ① $\frac{5}{2} ≤ x＜\frac{7}{2}$
② $\frac{1}{2} ≤ x＜\frac{5}{6}$
(2) 解: 设 $\frac{5}{3} x-1=m, m$ 为整数, 则 $x=\frac{3 m+3}{5}$,
$\therefore⟨ x\rangle=\left⟨\frac{3 m+3}{5}\right\rangle=m$,
$\therefore m-\frac{1}{2} ≤ \frac{3 m+3}{5}＜m+\frac{1}{2}, \therefore \frac{1}{4}＜m ≤ \frac{11}{4}$.
$\because m$ 为整数, $\therefore m=1$ 或 $m=2, \therefore x=\frac{6}{5}$ 或 $x=\frac{9}{5}$.
② $\frac{1}{2} ≤ x＜\frac{5}{6}$
(2) 解: 设 $\frac{5}{3} x-1=m, m$ 为整数, 则 $x=\frac{3 m+3}{5}$,
$\therefore⟨ x\rangle=\left⟨\frac{3 m+3}{5}\right\rangle=m$,
$\therefore m-\frac{1}{2} ≤ \frac{3 m+3}{5}＜m+\frac{1}{2}, \therefore \frac{1}{4}＜m ≤ \frac{11}{4}$.
$\because m$ 为整数, $\therefore m=1$ 或 $m=2, \therefore x=\frac{6}{5}$ 或 $x=\frac{9}{5}$.