1. 如图是可调躺椅示意图，$ AE $ 与 $ BD $ 的交点为 $ C $，$ ∠ CAB = 50^{\circ} $，$ ∠ CBA = 60^{\circ} $，$ ∠ CDF = 20^{\circ} $，$ ∠ CEF = 30^{\circ} $。为了舒适，需调整 $ ∠ D $ 的大小，使 $ ∠ EFD = 130^{\circ} $，且 $ ∠ CAB $，$ ∠ CBA $，$ ∠ E $ 保持不变，则 $ ∠ D $ 应调整为()
A.$ 10^{\circ} $
B.$ 20^{\circ} $
C.$ 25^{\circ} $
D.$ 30^{\circ} $
A.$ 10^{\circ} $
B.$ 20^{\circ} $
C.$ 25^{\circ} $
D.$ 30^{\circ} $
答案：B
解析：
在△ABC中，∠CAB=50°，∠CBA=60°，则∠ACB=180°-50°-60°=70°，故∠DCE=∠ACB=70°（对顶角相等）。在△CDE中，∠DCE=70°，∠CED=∠CEF=30°（∠E保持不变），则∠CDE=180°-70°-30°=80°。设∠D=∠FDE，在△FDE中，∠EFD=130°，∠FED=30°，则∠FDE=180°-130°-30°=20°，即∠D=20°。
2. 如图，$ BF $ 是 $ ∠ ABD $ 的平分线，$ CE $ 是 $ ∠ ACD $ 的平分线，$ BF $ 与 $ CE $ 交于点 $ G $，若 $ ∠ BDC = 130^{\circ} $，$ ∠ BGC = 100^{\circ} $，则 $ ∠ A $ 的度数为。
答案：70
解析：
设∠ABD=2α，∠ACD=2β，BF、CE分别为角平分线，则∠FBD=α，∠ECD=β。设∠DBC=m，∠DCB=n，在△BDC中，∠BDC=130°，故m+n=180°-130°=50°。在△BGC中，∠BGC=100°，则∠GBC+∠GCB=80°。因为∠GBC=α+m，∠GCB=β+n，所以(α+m)+(β+n)=80°，即(α+β)+(m+n)=80°。将m+n=50°代入得α+β=30°。在△ABC中，∠ABC=2α+m，∠ACB=2β+n，故∠ABC+∠ACB=2(α+β)+(m+n)=2×30°+50°=110°，所以∠A=180°-110°=70°。
3. (1) 探究：如图①，试说明：$ ∠ BOC = ∠ A + ∠ B + ∠ C $；
(2) 应用：如图②，$ ∠ ABC = 100^{\circ} $，$ ∠ DEF = 130^{\circ} $，求 $ ∠ A + ∠ C + ∠ D + ∠ F $ 的度数。
(2) 应用：如图②，$ ∠ ABC = 100^{\circ} $，$ ∠ DEF = 130^{\circ} $，求 $ ∠ A + ∠ C + ∠ D + ∠ F $ 的度数。
答案：无匹配答案
解析：
(1) 证明：连接 AO 并延长至点 D，
∵∠BOD 是△ABO 的外角，
∴∠BOD = ∠BAD + ∠B，
∵∠COD 是△ACO 的外角，
∴∠COD = ∠CAD + ∠C，
∵∠BOC = ∠BOD + ∠COD，∠BAC = ∠BAD + ∠CAD，
∴∠BOC = ∠BAC + ∠B + ∠C，即∠BOC = ∠A + ∠B + ∠C。
(2) 解：连接 AD，
由(1)知，∠DEF = ∠FAD + ∠FDA + ∠F，
∠ABC = ∠BAD + ∠CDA + ∠C，
∵∠FAD + ∠BAD = ∠A，∠FDA + ∠CDA = ∠D，
∴∠ABC + ∠DEF = ∠A + ∠C + ∠D + ∠F，
∵∠ABC = 100°，∠DEF = 130°，
∴∠A + ∠C + ∠D + ∠F = 100° + 130° = 230°。
∵∠BOD 是△ABO 的外角，
∴∠BOD = ∠BAD + ∠B，
∵∠COD 是△ACO 的外角，
∴∠COD = ∠CAD + ∠C，
∵∠BOC = ∠BOD + ∠COD，∠BAC = ∠BAD + ∠CAD，
∴∠BOC = ∠BAC + ∠B + ∠C，即∠BOC = ∠A + ∠B + ∠C。
(2) 解：连接 AD，
由(1)知，∠DEF = ∠FAD + ∠FDA + ∠F，
∠ABC = ∠BAD + ∠CDA + ∠C，
∵∠FAD + ∠BAD = ∠A，∠FDA + ∠CDA = ∠D，
∴∠ABC + ∠DEF = ∠A + ∠C + ∠D + ∠F，
∵∠ABC = 100°，∠DEF = 130°，
∴∠A + ∠C + ∠D + ∠F = 100° + 130° = 230°。