1. 已知$a - b = 1$，$a^{2}+b^{2}=25$，则$ab$的值为(
A.10
B.11
C.12
D.13
C
)A.10
B.11
C.12
D.13
答案：1. C
解析：
因为$a - b = 1$，所以$(a - b)^2 = 1^2$，即$a^2 - 2ab + b^2 = 1$。又因为$a^2 + b^2 = 25$，所以$25 - 2ab = 1$，解得$ab = 12$。
C
C
2. (2024·南京模拟)如图，$C$是线段$AB$上的一点，以$AC$，$BC$为边向两边作正方形，设$AB = 9$，两正方形的面积和$S_{1}+S_{2}=51$，则图中阴影部分面积为.
答案：7.5
解析：
设$AC = a$，$BC = b$。
由题意知，$a + b = AB = 9$。
两正方形的面积和为：
$S_1 + S_2 = a^2 + b^2 = 51$，
利用完全平方公式，有：
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
代入已知条件，得：
$9^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 51 + 2ab$，
$81 = 51 + 2ab$，
$2ab = 30$，
$ab = 15$，
阴影部分面积为三角形面积：
$S = \frac{1}{2} × a × b = \frac{1}{2} × 15 = 7.5$。
由题意知，$a + b = AB = 9$。
两正方形的面积和为：
$S_1 + S_2 = a^2 + b^2 = 51$，
利用完全平方公式，有：
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
代入已知条件，得：
$9^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 51 + 2ab$，
$81 = 51 + 2ab$，
$2ab = 30$，
$ab = 15$，
阴影部分面积为三角形面积：
$S = \frac{1}{2} × a × b = \frac{1}{2} × 15 = 7.5$。
3. (2024·通州区期中)阅读理解：
若$x$满足$(30 - x)(x - 10)=160$，求$(30 - x)^{2}+(x - 10)^{2}$的值.
解：设$30 - x = a$，$x - 10 = b$，则$(30 - x)(x - 10)=ab = 160$，$a + b=(30 - x)+(x - 10)=20$，$(30 - x)^{2}+(x - 10)^{2}=a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab = 20^{2}-2×160 = 80$.
解决问题：
(1)若$x$满足$(2023 - x)(x - 2021)= - 2$.则$(2023 - x)^{2}+(x - 2021)^{2}=$
(2)若$x$满足$(2024 - x)^{2}+(x - 2023)^{2}=3$，求$(2024 - x)(x - 2023)$的值；
(3)如图，在长方形$ABCD$中，$AB = 20$，$BC = 12$，$E$，$F$是$BC$，$CD$上的点，且$BE = DF = x$，分别以$FC$，$CE$为边在长方形$ABCD$外侧作正方形$CFGH$和$CEMN$，若长方形$CEPF$的面积为$160$，求图中阴影部分的面积和.
若$x$满足$(30 - x)(x - 10)=160$，求$(30 - x)^{2}+(x - 10)^{2}$的值.
解：设$30 - x = a$，$x - 10 = b$，则$(30 - x)(x - 10)=ab = 160$，$a + b=(30 - x)+(x - 10)=20$，$(30 - x)^{2}+(x - 10)^{2}=a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab = 20^{2}-2×160 = 80$.
解决问题：
(1)若$x$满足$(2023 - x)(x - 2021)= - 2$.则$(2023 - x)^{2}+(x - 2021)^{2}=$
4
；(2)若$x$满足$(2024 - x)^{2}+(x - 2023)^{2}=3$，求$(2024 - x)(x - 2023)$的值；
(3)如图，在长方形$ABCD$中，$AB = 20$，$BC = 12$，$E$，$F$是$BC$，$CD$上的点，且$BE = DF = x$，分别以$FC$，$CE$为边在长方形$ABCD$外侧作正方形$CFGH$和$CEMN$，若长方形$CEPF$的面积为$160$，求图中阴影部分的面积和.
答案：3. （1）解：设2023 - x = a，x - 2021 = b，则(2023 - x)(x - 2021)=ab = - 2，a + b=(2023 - x)+(x - 2021)=2，
$\therefore (2023 - x)^{2}+(x - 2021)^{2}=a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab = 2^{2}-2×(-2) = 4．$
（2）解：设2024 - x = a，x - 2023 = b，则a + b=(2024 -
x)+(x-2023)=1，
$\therefore (2024-x)(x-2023)=ab．$
$\because (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$，$\therefore 1^{2}=3+2ab$，$\therefore ab=-1$，
$\therefore (2024-x)(x-2023)$的值为-1．
（3）解：由题意，得FC=20-x，EC=12-x，$\therefore$阴影部分的面积为$(20-x)^{2}+(12-x)^{2}．$
$\because$长方形CEPF的面积为160，
$\therefore (20-x)(12-x)=160$，
设20-x=a，12-x=b，
则(20-x)(12-x)=ab=160，a-b=(20-x)-(12-x)=8，
$\therefore (20-x)^{2}+(12-x)^{2}=a^{2}+b^{2}$，
$\therefore a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+2ab=8^{2}+2× 160=384$，
$\therefore$阴影部分的面积和为384．
$\therefore (2023 - x)^{2}+(x - 2021)^{2}=a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab = 2^{2}-2×(-2) = 4．$
（2）解：设2024 - x = a，x - 2023 = b，则a + b=(2024 -
x)+(x-2023)=1，
$\therefore (2024-x)(x-2023)=ab．$
$\because (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$，$\therefore 1^{2}=3+2ab$，$\therefore ab=-1$，
$\therefore (2024-x)(x-2023)$的值为-1．
（3）解：由题意，得FC=20-x，EC=12-x，$\therefore$阴影部分的面积为$(20-x)^{2}+(12-x)^{2}．$
$\because$长方形CEPF的面积为160，
$\therefore (20-x)(12-x)=160$，
设20-x=a，12-x=b，
则(20-x)(12-x)=ab=160，a-b=(20-x)-(12-x)=8，
$\therefore (20-x)^{2}+(12-x)^{2}=a^{2}+b^{2}$，
$\therefore a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+2ab=8^{2}+2× 160=384$，
$\therefore$阴影部分的面积和为384．