三、解答题(共 50 分)
11. (8 分)计算:
(1) $ 2028y^{4} - (-y^{4})^{2} ÷ y^{4} - (-y^{2})^{2} $;
(2) $ 0.2^{3} × 0.4^{4} × 12.5^{4} $.
11. (8 分)计算:
(1) $ 2028y^{4} - (-y^{4})^{2} ÷ y^{4} - (-y^{2})^{2} $;
(2) $ 0.2^{3} × 0.4^{4} × 12.5^{4} $.
答案：11. 解: (1) 原式 $ = 2028 y ^ { 4 } - y ^ { 8 } ÷ y ^ { 4 } - y ^ { 4 } = 2026 y ^ { 4 } $.
(2) 原式 $ = 0.2 ^ { 3 } × ( 0.4 × 12.5 ) ^ { 4 } = 0.2 ^ { 3 } × 5 ^ { 4 } = ( 0.2 × 5 ) ^ { 3 } × 5 = 5 $.
(2) 原式 $ = 0.2 ^ { 3 } × ( 0.4 × 12.5 ) ^ { 4 } = 0.2 ^ { 3 } × 5 ^ { 4 } = ( 0.2 × 5 ) ^ { 3 } × 5 = 5 $.
12. (10 分)(2024·宜兴月考)(1)先化简,再求值: $ -a^{2}b + (3ab^{2} - a^{2}b) - 2(2ab^{2} - a^{2}b) $,其中 $ a = -1, b = -2 $;
(2)已知代数式 $ A = 2x^{2} + 3xy + 2y, B = x^{2} - xy + x $. 若 $ A - 2B $ 的值与 $ x $ 的取值无关,求 $ y $ 的值.
(2)已知代数式 $ A = 2x^{2} + 3xy + 2y, B = x^{2} - xy + x $. 若 $ A - 2B $ 的值与 $ x $ 的取值无关,求 $ y $ 的值.
答案：12. 解: (1) 原式 $ = - a ^ { 2 } b + 3 a b ^ { 2 } - a ^ { 2 } b - 4 a b ^ { 2 } + 2 a ^ { 2 } b = - a b ^ { 2 } $,
当 $ a = - 1 $, $ b = - 2 $ 时, 原式 $ = - ( - 1 ) × ( - 2 ) ^ { 2 } = 1 × 4 = 4 $.
(2) $ \because A = 2 x ^ { 2 } + 3 x y + 2 y $, $ B = x ^ { 2 } - x y + x $,
$ \therefore A - 2 B = 2 x ^ { 2 } + 3 x y + 2 y - 2 ( x ^ { 2 } - x y + x ) = 2 x ^ { 2 } + 3 x y + 2 y - 2 x ^ { 2 } + 2 x y - 2 x = 5 x y - 2 x + 2 y = ( 5 y - 2 ) x + 2 y $,
$ \because A - 2 B $ 的值与 $ x $ 的取值无关, $ \therefore 5 y - 2 = 0 $, 解得 $ y = \frac { 2 } { 5 } $.
当 $ a = - 1 $, $ b = - 2 $ 时, 原式 $ = - ( - 1 ) × ( - 2 ) ^ { 2 } = 1 × 4 = 4 $.
(2) $ \because A = 2 x ^ { 2 } + 3 x y + 2 y $, $ B = x ^ { 2 } - x y + x $,
$ \therefore A - 2 B = 2 x ^ { 2 } + 3 x y + 2 y - 2 ( x ^ { 2 } - x y + x ) = 2 x ^ { 2 } + 3 x y + 2 y - 2 x ^ { 2 } + 2 x y - 2 x = 5 x y - 2 x + 2 y = ( 5 y - 2 ) x + 2 y $,
$ \because A - 2 B $ 的值与 $ x $ 的取值无关, $ \therefore 5 y - 2 = 0 $, 解得 $ y = \frac { 2 } { 5 } $.
13. (10 分)(2024·泰州二模)临近端午,某超市准备了两种粽子礼盒,1 件 A 种礼盒和 2 件 B 种礼盒进货价共 320 元,4 件 A 种礼盒和 3 件 B 种礼盒进货价共 780 元.
(1)A,B 两种礼盒每件的进货价分别是多少元?
(2)若 A 种礼盒的售价为每件 200 元,B 种礼盒的售价为每件 150 元,超市原计划在端午节前的某天搞促销,将现有的 A,B 两种礼盒共 50 件按售价的 8 折全部售出,但实际并没有全部售完,两种礼盒的实际销售利润总和为 1320 元. 这天超市最多卖出 B 种礼盒多少件?
(1)A,B 两种礼盒每件的进货价分别是多少元?
(2)若 A 种礼盒的售价为每件 200 元,B 种礼盒的售价为每件 150 元,超市原计划在端午节前的某天搞促销,将现有的 A,B 两种礼盒共 50 件按售价的 8 折全部售出,但实际并没有全部售完,两种礼盒的实际销售利润总和为 1320 元. 这天超市最多卖出 B 种礼盒多少件?
答案：13. 解: (1) 设 A 种礼盒每件的进货价是 $ x $ 元, B 种礼盒每件的进货价是 $ y $ 元,
根据题意, 得 $ \{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 320, } \\ { 4 x + 3 y = 780, } \end{array} $ 解得 $ \{ \begin{array} { l } { x = 120, } \\ { y = 100. } \end{array} $
答: A 种礼盒每件的进货价是 120 元, B 种礼盒每件的进货价是 100 元.
(2) 设这天超市卖出 $ m $ 件 B 种礼盒, 则卖出 $ \frac { 1320 - ( 150 × 0.8 - 100 ) m } { 200 × 0.8 - 120 } = ( 33 - \frac { 1 } { 2 } m ) $ 件 A 种礼盒,
根据题意, 得 $ m + ( 33 - \frac { 1 } { 2 } m ) ＜ 50 $,
解得 $ m ＜ 34 $.
又 $ \because m $, $ ( 33 - \frac { 1 } { 2 } m ) $ 均为正整数,
$ \therefore m $ 的最大值为 32.
答: 这天超市最多卖出 B 种礼盒 32 件.
根据题意, 得 $ \{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 320, } \\ { 4 x + 3 y = 780, } \end{array} $ 解得 $ \{ \begin{array} { l } { x = 120, } \\ { y = 100. } \end{array} $
答: A 种礼盒每件的进货价是 120 元, B 种礼盒每件的进货价是 100 元.
(2) 设这天超市卖出 $ m $ 件 B 种礼盒, 则卖出 $ \frac { 1320 - ( 150 × 0.8 - 100 ) m } { 200 × 0.8 - 120 } = ( 33 - \frac { 1 } { 2 } m ) $ 件 A 种礼盒,
根据题意, 得 $ m + ( 33 - \frac { 1 } { 2 } m ) ＜ 50 $,
解得 $ m ＜ 34 $.
又 $ \because m $, $ ( 33 - \frac { 1 } { 2 } m ) $ 均为正整数,
$ \therefore m $ 的最大值为 32.
答: 这天超市最多卖出 B 种礼盒 32 件.
14. (8 分)(2024·秦淮区月考)已知 $ ∠ ABC $ 的两边与 $ ∠ DEF $ 的两边分别垂直,即 $ AB ⊥ DE $, $ BC ⊥ EF $,垂足分别为 $ M $ 和 $ N $,试探究:
(1)如图①, $ ∠ B $ 与 $ ∠ E $ 的关系是
(2)如图②,写出 $ ∠ B $ 与 $ ∠ E $ 的关系,并说明理由;
(3)根据上述探究,请归纳概括出一个真命题.
(1)如图①, $ ∠ B $ 与 $ ∠ E $ 的关系是
$ ∠ B + ∠ E = 180 ^ { \circ } $
;(2)如图②,写出 $ ∠ B $ 与 $ ∠ E $ 的关系,并说明理由;
(3)根据上述探究,请归纳概括出一个真命题.
答案：14. (1) $ ∠ B + ∠ E = 180 ^ { \circ } $
(2) 解: $ ∠ B = ∠ E $. 理由如下:
$ \because A B ⊥ D E $, $ B C ⊥ E F $,
$ \therefore ∠ B M E = ∠ B N E = 90 ^ { \circ } $.
又 $ \because ∠ B G N = ∠ E G M $, $ ∠ B = 90 ^ { \circ } - ∠ B G N $, $ ∠ E = 90 ^ { \circ } - ∠ E G M $,
$ \therefore ∠ B = ∠ E $.
(3) 解: 真命题: 如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边, 那么这两个角相等或互补.
(2) 解: $ ∠ B = ∠ E $. 理由如下:
$ \because A B ⊥ D E $, $ B C ⊥ E F $,
$ \therefore ∠ B M E = ∠ B N E = 90 ^ { \circ } $.
又 $ \because ∠ B G N = ∠ E G M $, $ ∠ B = 90 ^ { \circ } - ∠ B G N $, $ ∠ E = 90 ^ { \circ } - ∠ E G M $,
$ \therefore ∠ B = ∠ E $.
(3) 解: 真命题: 如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边, 那么这两个角相等或互补.
15. (14 分)(2024·宿豫区期末)如图,在 $ △ ABC $ 中, $ DE // BC $, $ EF $ 平分 $ ∠ AED $,交 $ AB $ 于点 $ F $.
(1)若 $ ∠ A = 52^{\circ}, ∠ B = 60^{\circ} $,求 $ ∠ AED $ 的度数;
(2)在(1)的条件下,判断 $ EF $ 与 $ AB $ 是否垂直,并说明理由;
(3)直接写出当 $ ∠ A $ 与 $ ∠ B $ 满足怎样的数量关系时, $ EF ⊥ AB $.
(1)若 $ ∠ A = 52^{\circ}, ∠ B = 60^{\circ} $,求 $ ∠ AED $ 的度数;
(2)在(1)的条件下,判断 $ EF $ 与 $ AB $ 是否垂直,并说明理由;
(3)直接写出当 $ ∠ A $ 与 $ ∠ B $ 满足怎样的数量关系时, $ EF ⊥ AB $.
答案：15. 解: (1) $ \because ∠ A = 52 ^ { \circ } $, $ ∠ B = 60 ^ { \circ } $,
$ \therefore ∠ C = 180 ^ { \circ } - ( ∠ A + ∠ B ) = 180 ^ { \circ } - ( 52 ^ { \circ } + 60 ^ { \circ } ) = 68 ^ { \circ } $.
$ \because D E // B C $, $ \therefore ∠ A E D = ∠ C = 68 ^ { \circ } $.
(2) $ E F $ 与 $ A B $ 不垂直. 理由如下:
由 (1) 可得 $ ∠ A E D = 68 ^ { \circ } $.
$ \because E F $ 平分 $ ∠ A E D $, $ \therefore ∠ A E F = \frac { 1 } { 2 } ∠ A E D = 34 ^ { \circ } $,
$ \therefore ∠ A F E = 180 ^ { \circ } - ( ∠ A + ∠ A E F ) = 180 ^ { \circ } - ( 52 ^ { \circ } + 34 ^ { \circ } ) = 94 ^ { \circ } $, $ \therefore E F $ 与 $ A B $ 不垂直.
(3) 当 $ ∠ A = ∠ B $ 时, $ E F ⊥ A B $.
$ \therefore ∠ C = 180 ^ { \circ } - ( ∠ A + ∠ B ) = 180 ^ { \circ } - ( 52 ^ { \circ } + 60 ^ { \circ } ) = 68 ^ { \circ } $.
$ \because D E // B C $, $ \therefore ∠ A E D = ∠ C = 68 ^ { \circ } $.
(2) $ E F $ 与 $ A B $ 不垂直. 理由如下:
由 (1) 可得 $ ∠ A E D = 68 ^ { \circ } $.
$ \because E F $ 平分 $ ∠ A E D $, $ \therefore ∠ A E F = \frac { 1 } { 2 } ∠ A E D = 34 ^ { \circ } $,
$ \therefore ∠ A F E = 180 ^ { \circ } - ( ∠ A + ∠ A E F ) = 180 ^ { \circ } - ( 52 ^ { \circ } + 34 ^ { \circ } ) = 94 ^ { \circ } $, $ \therefore E F $ 与 $ A B $ 不垂直.
(3) 当 $ ∠ A = ∠ B $ 时, $ E F ⊥ A B $.