一、选择题(每小题 4 分，共 20 分)
1. 在下列各式中，是最简二次根式的是(
A.$\sqrt{18}$
B.$\sqrt{\dfrac{a}{2}}$
C.$\sqrt{a^{2}+4a^{4}}$
D.$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
1. 在下列各式中，是最简二次根式的是(
D
)A.$\sqrt{18}$
B.$\sqrt{\dfrac{a}{2}}$
C.$\sqrt{a^{2}+4a^{4}}$
D.$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
答案：1. D
2. 等式“(
A.6
B.3
C.$3\sqrt{2}$
D.$\sqrt{6}$
A
)$÷ \sqrt{18}=\sqrt{2}$”中，括号内应填入(A
)A.6
B.3
C.$3\sqrt{2}$
D.$\sqrt{6}$
答案：2. A
解析：
设括号内的数为$x$，则$x÷\sqrt{18}=\sqrt{2}$，$x = \sqrt{2}×\sqrt{18}$，$\sqrt{2}×\sqrt{18}=\sqrt{2×18}=\sqrt{36}=6$，A
3. 估算$\sqrt{\dfrac{1}{5}}× \sqrt{50}$的结果应在(
A.1 与 2 之间
B.2 与 3 之间
C.3 与 4 之间
D.4 与 5 之间
C
)A.1 与 2 之间
B.2 与 3 之间
C.3 与 4 之间
D.4 与 5 之间
答案：3. C
解析：
$\begin{aligned}\sqrt{\dfrac{1}{5}} × \sqrt{50} &= \sqrt{\dfrac{1}{5} × 50} \\&= \sqrt{10} \\\because 9 ＜ 10 ＜ 16 \\\therefore \sqrt{9} ＜ \sqrt{10} ＜ \sqrt{16} \\\therefore 3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4\end{aligned}$
C
C
4. 下列计算中，正确的是(
A.$\sqrt{18}÷ \sqrt{2}=\sqrt{6}$
B.$(4\sqrt{2})^{2}=8$
C.$\sqrt{(-2)^{2}}=2$
D.$2\sqrt{3}× 2\sqrt{2}=2\sqrt{6}$
C
)A.$\sqrt{18}÷ \sqrt{2}=\sqrt{6}$
B.$(4\sqrt{2})^{2}=8$
C.$\sqrt{(-2)^{2}}=2$
D.$2\sqrt{3}× 2\sqrt{2}=2\sqrt{6}$
答案：4. C
5. 化简$a\sqrt{-\dfrac{3}{a}}$的结果是(
A.$\sqrt{-3a}$
B.$\sqrt{3a}$
C.$-\sqrt{-3a}$
D.$\sqrt{-3}$
C
)A.$\sqrt{-3a}$
B.$\sqrt{3a}$
C.$-\sqrt{-3a}$
D.$\sqrt{-3}$
答案：5. C
解析：
要使$a\sqrt{-\dfrac{3}{a}}$有意义，则$-\dfrac{3}{a} ＞ 0$，即$a ＜ 0$。
$\begin{aligned}a\sqrt{-\dfrac{3}{a}}&=a\sqrt{-\dfrac{3a}{a^2}}\\&=a·\dfrac{\sqrt{-3a}}{|a|}\\&=a·\dfrac{\sqrt{-3a}}{-a}\\&=-\sqrt{-3a}\end{aligned}$
C
$\begin{aligned}a\sqrt{-\dfrac{3}{a}}&=a\sqrt{-\dfrac{3a}{a^2}}\\&=a·\dfrac{\sqrt{-3a}}{|a|}\\&=a·\dfrac{\sqrt{-3a}}{-a}\\&=-\sqrt{-3a}\end{aligned}$
C
二、填空题(每小题 4 分，共 20 分)
6. 计算：$2\sqrt{2}× \dfrac{\sqrt{12}}{4}÷ \sqrt{27}=$
6. 计算：$2\sqrt{2}× \dfrac{\sqrt{12}}{4}÷ \sqrt{27}=$
$\frac{\sqrt{2}}{3}$
。答案：6. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
解析：
$2\sqrt{2}×\dfrac{\sqrt{12}}{4}÷\sqrt{27}$
$=2\sqrt{2}×\dfrac{2\sqrt{3}}{4}÷3\sqrt{3}$
$=2\sqrt{2}×\dfrac{\sqrt{3}}{2}×\dfrac{1}{3\sqrt{3}}$
$=\sqrt{2}×\sqrt{3}×\dfrac{1}{3\sqrt{3}}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
$=2\sqrt{2}×\dfrac{2\sqrt{3}}{4}÷3\sqrt{3}$
$=2\sqrt{2}×\dfrac{\sqrt{3}}{2}×\dfrac{1}{3\sqrt{3}}$
$=\sqrt{2}×\sqrt{3}×\dfrac{1}{3\sqrt{3}}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
7. 若等式$\sqrt{\dfrac{x - 3}{4 - x}}=\dfrac{\sqrt{x - 3}}{\sqrt{4 - x}}$成立，则$x$的取值范围是
$3≤ x＜4$
。答案：7. $3≤ x＜4$
解析：
要使等式$\sqrt{\dfrac{x - 3}{4 - x}}=\dfrac{\sqrt{x - 3}}{\sqrt{4 - x}}$成立，需满足：
分子根号下的被开方数非负：$x - 3 ≥ 0$，即$x ≥ 3$；
分母根号下的被开方数为正：$4 - x ＞ 0$，即$x ＜ 4$。
综上，$x$的取值范围是$3 ≤ x ＜ 4$。
$3 ≤ x ＜ 4$
分子根号下的被开方数非负：$x - 3 ≥ 0$，即$x ≥ 3$；
分母根号下的被开方数为正：$4 - x ＞ 0$，即$x ＜ 4$。
综上，$x$的取值范围是$3 ≤ x ＜ 4$。
$3 ≤ x ＜ 4$
8. 若点$P(a,2)$与$Q(-1,b)$关于原点对称，则$\sqrt{2a - 3b}÷ \sqrt{-\dfrac{a}{3b}}=$
$4\sqrt{3}$
。答案：8. $4\sqrt{3}$
解析：
因为点$P(a,2)$与$Q(-1,b)$关于原点对称，所以$a = 1$，$b=-2$。
$\sqrt{2a - 3b}÷ \sqrt{-\dfrac{a}{3b}}=\sqrt{(2a - 3b)÷(-\dfrac{a}{3b})}=\sqrt{(2a - 3b)×(-\dfrac{3b}{a})}$
将$a = 1$，$b=-2$代入得：
$\begin{aligned}&\sqrt{(2×1 - 3×(-2))×(-\dfrac{3×(-2)}{1})}\\=&\sqrt{(2 + 6)×6}\\=&\sqrt{8×6}\\=&\sqrt{48}\\=&4\sqrt{3}\end{aligned}$
$4\sqrt{3}$
$\sqrt{2a - 3b}÷ \sqrt{-\dfrac{a}{3b}}=\sqrt{(2a - 3b)÷(-\dfrac{a}{3b})}=\sqrt{(2a - 3b)×(-\dfrac{3b}{a})}$
将$a = 1$，$b=-2$代入得：
$\begin{aligned}&\sqrt{(2×1 - 3×(-2))×(-\dfrac{3×(-2)}{1})}\\=&\sqrt{(2 + 6)×6}\\=&\sqrt{8×6}\\=&\sqrt{48}\\=&4\sqrt{3}\end{aligned}$
$4\sqrt{3}$
9. 已知实数$m$满足$\sqrt{(2 - m)^{2}}+\sqrt{m - 4}=\sqrt{m^{2}}$，则$m=$
8
。答案：9. 8
解析：
由二次根式有意义的条件得：$m - 4 ≥ 0$，即$m ≥ 4$。
$\sqrt{(2 - m)^2} = |2 - m|$，因为$m ≥ 4$，所以$2 - m ＜ 0$，则$|2 - m| = m - 2$。
$\sqrt{m^2} = |m|$，因为$m ≥ 4$，所以$|m| = m$。
原方程可化为：$m - 2 + \sqrt{m - 4} = m$
移项得：$\sqrt{m - 4} = 2$
两边平方得：$m - 4 = 4$
解得：$m = 8$
经检验，$m = 8$满足$m ≥ 4$，是原方程的解。
8
$\sqrt{(2 - m)^2} = |2 - m|$，因为$m ≥ 4$，所以$2 - m ＜ 0$，则$|2 - m| = m - 2$。
$\sqrt{m^2} = |m|$，因为$m ≥ 4$，所以$|m| = m$。
原方程可化为：$m - 2 + \sqrt{m - 4} = m$
移项得：$\sqrt{m - 4} = 2$
两边平方得：$m - 4 = 4$
解得：$m = 8$
经检验，$m = 8$满足$m ≥ 4$，是原方程的解。
8
10. 当$\dfrac{x + 1}{\sqrt{x}}÷ \dfrac{\sqrt{x}}{2}$的值是整数时，满足条件的整数$x$的值为
1 或 2
。答案：10. 1 或 2
解析：
$\dfrac{x + 1}{\sqrt{x}}÷ \dfrac{\sqrt{x}}{2}$
$=\dfrac{x + 1}{\sqrt{x}}× \dfrac{2}{\sqrt{x}}$
$=\dfrac{2(x + 1)}{x}$
$=2 + \dfrac{2}{x}$
因为结果是整数，所以$\dfrac{2}{x}$为整数，$x$是正整数且$x＞0$。
$x$为$2$的正因数，即$x=1$或$x=2$。
1 或 2
$=\dfrac{x + 1}{\sqrt{x}}× \dfrac{2}{\sqrt{x}}$
$=\dfrac{2(x + 1)}{x}$
$=2 + \dfrac{2}{x}$
因为结果是整数，所以$\dfrac{2}{x}$为整数，$x$是正整数且$x＞0$。
$x$为$2$的正因数，即$x=1$或$x=2$。
1 或 2
三、解答题（共 60 分）
11. （24 分）把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) $\sqrt{360}$；
(2) $\sqrt{1.4}$；
(3) $\sqrt{\dfrac{2}{5}}$；
(4) $-\sqrt{6\dfrac{2}{3}}$；
(5) $a\sqrt{\dfrac{1}{a}}$；
(6) $6\sqrt{\dfrac{5}{12}}$；
(7) $\sqrt{50a^{2}b}(a ＞ 0)$；
(8) $\dfrac{n}{m}\sqrt{-\dfrac{m}{n}}(n ＜ 0)$。
11. （24 分）把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) $\sqrt{360}$；
(2) $\sqrt{1.4}$；
(3) $\sqrt{\dfrac{2}{5}}$；
(4) $-\sqrt{6\dfrac{2}{3}}$；
(5) $a\sqrt{\dfrac{1}{a}}$；
(6) $6\sqrt{\dfrac{5}{12}}$；
(7) $\sqrt{50a^{2}b}(a ＞ 0)$；
(8) $\dfrac{n}{m}\sqrt{-\dfrac{m}{n}}(n ＜ 0)$。
答案：11. 解：(1) 原式 $=\sqrt{36×10}=6\sqrt{10}$.
(2) 原式 $=\sqrt{\frac{7}{5}}=\frac{\sqrt{35}}{5}$.
(3) 原式 $=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$.
(4) 原式 $=-\sqrt{\frac{20}{3}}=-\frac{2\sqrt{15}}{3}$.
(5) 原式 $=a·\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{a}·\sqrt{a}}=\sqrt{a}$.
(6) 原式 $=6×\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}=6×\frac{\sqrt{15}}{6}=\sqrt{15}$.
(7) 原式 $=5a\sqrt{2b}$.
(8) 原式 $=\frac{n}{m}·\sqrt{-\frac{mn}{n^{2}}}=-\frac{\sqrt{-mn}}{m}$.
(2) 原式 $=\sqrt{\frac{7}{5}}=\frac{\sqrt{35}}{5}$.
(3) 原式 $=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$.
(4) 原式 $=-\sqrt{\frac{20}{3}}=-\frac{2\sqrt{15}}{3}$.
(5) 原式 $=a·\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{a}·\sqrt{a}}=\sqrt{a}$.
(6) 原式 $=6×\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}=6×\frac{\sqrt{15}}{6}=\sqrt{15}$.
(7) 原式 $=5a\sqrt{2b}$.
(8) 原式 $=\frac{n}{m}·\sqrt{-\frac{mn}{n^{2}}}=-\frac{\sqrt{-mn}}{m}$.