在平行四边形$ABCD$中，当面积最大时，平行四边形为矩形。
①矩形中，$AB=3$，$BC=4$，根据勾股定理，$BD=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，正确；
②平行四边形中，$∠ A=∠ C$，且$∠ A+∠ B = 180^{\circ}$，矩形中$∠ B = 90^{\circ}$，则$∠ A=∠ C=90^{\circ}$，$∠ A+∠ C=180^{\circ}$，正确；
③矩形对角线相等但不一定垂直，错误；
④矩形对角线相等，$AC=BD$，正确。
正确的是①②④，答案选B。

证明：
①
∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG//AB，EG=$\frac{1}{2}$AB.
∵H，F分别是AC，BC的中点，
∴HF是△ABC的中位线，
∴HF//AB，HF=$\frac{1}{2}$AB.
∴EG//HF，EG=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形. ①正确.
②
∵G，F分别是BD，BC的中点，
∴GF是△BCD的中位线，
∴GF=$\frac{1}{2}$CD.
∵AB=CD，
∴EG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CD=GF.
∵四边形EGFH是平行四边形，且邻边相等，
∴四边形EGFH是菱形. ②正确.
③
∵E，H分别是AD，AC的中点，
∴EH是△ACD的中位线，
∴EH//CD.
∵AC⊥BD，EG//AB，EH//CD，无法直接得出∠GEH=90°，
∴四边形EGFH不一定是矩形. ③错误.
综上，正确结论的序号是①②.
A

解：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC，
∵BC=3，
∴OA=3，
∵点A在x轴正半轴上，
∴点A的坐标是(3,0)。
(3,0)

解：菱形面积为$\frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2} × 24 × 10 = 120$。
菱形对角线互相垂直平分，半对角线长分别为$12$和$5$，边长为$\sqrt{12^2 + 5^2} = 13$。
设高为$h$，则$13h = 120$，解得$h = \frac{120}{13}$。
$\frac{120}{13}$

解：连接MC。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD=4。
∵ME⊥BC，MF⊥CD，
∴四边形MECF是矩形，
∴EF=MC。
∵点M在BD上，
∴当MC⊥BD时，MC最小。
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴BD=4√2，OC=1/2BD=2√2（O为BD中点）。
∴EF的最小值为2√2。
$2\sqrt{2}$

解：设运动时间为$ t $秒。
因为$ AD // CB $，要使四边形$ ABPQ $为平行四边形，需$ AP = BQ $。
点$ P $的速度为$ 1\ \mathrm{cm/s} $，则$ AP = t\ \mathrm{cm} $。
点$ Q $的速度为$ 2\ \mathrm{cm/s} $，$ BC = 6\ \mathrm{cm} $，则$ BQ = BC - CQ = 6 - 2t\ \mathrm{cm} $。
由$ AP = BQ $，得$ t = 6 - 2t $，解得$ t = 2 $。
故答案为$ 2 $。