证明：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
$\because D$，$E$分别为$CN$，$MN$的中点，
$\therefore DE$是$△ MCN$的中位线，
$\therefore DE=\frac{1}{2}CM$。
当$CM⊥ AB$时，$CM$最小。
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CM$，
$\therefore CM=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$，
$\therefore DE_{\mathrm{min}}=\frac{1}{2}CM=\frac{12}{5}$。
答案：B

解：以点$C$为原点，$BC$所在直线为$x$轴，$CE$所在直线为$y$轴，建立平面直角坐标系。
因为$BC = 1$，正方形$ABCD$中$AB = BC = CD = DA = 1$，所以点$A$的坐标为$(-1,1)$，点$C$的坐标为$(0,0)$。
因为$CE = 3$，正方形$CEFG$中$CE = EF = FG = GC = 3$，所以点$F$的坐标为$(3,3)$。
$H$是$AF$的中点，$A(-1,1)$，$F(3,3)$，则$H$点的横坐标为$\frac{-1 + 3}{2}=1$，纵坐标为$\frac{1 + 3}{2}=2$，即$H(1,2)$。
$CH$的长为$\sqrt{(1 - 0)^2+(2 - 0)^2}=\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5}$。
答案：B

解：过点$B$作$BG ⊥ CD$于点$G$。
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB // CD$，$BC = AB = 2$，$∠ C = ∠ A = 120°$。
因为$EF ⊥ CD$，$BG ⊥ CD$，所以$EF // BG$，四边形$EFG B$是矩形，故$EF = BG$。
在$\mathrm{Rt}△ BCG$中，$∠ C = 120°$，则$∠ BCG = 60°$，$BG = BC · \sin 60° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。
所以$EF = \sqrt{3}$。
$\sqrt{3}$

解：过点$A$作$AF ⊥ CD$于$F$，过点$B$作$BG ⊥ CD$于$G$。
因为四边形$ABCD$是等腰梯形，$AB// CD$，$AB = 6$，$CD = 14$，所以$DF = CG=\frac{CD - AB}{2}=\frac{14 - 6}{2}=4$。
设$AF = BG = h$，$AD = BC = x$，则$CG = 4$，在$Rt△ BGC$中，$BC^{2}=BG^{2}+CG^{2}$，即$x^{2}=h^{2}+4^{2}$。
因为$CE = CB = x$，$∠ AEC = 90^{\circ}$，$EG = CD - CG = 14 - 4 = 10$，$AE^{2}+CE^{2}=AC^{2}$。
又因为$AC^{2}=AF^{2}+FC^{2}=h^{2}+(AB + BG)^{2}=h^{2}+(6 + 4)^{2}=h^{2}+100$，$CE^{2}=x^{2}=h^{2}+16$，所以$AE^{2}=AC^{2}-CE^{2}=(h^{2}+100)-(h^{2}+16)=84$。
$84$