7. 如图，$AC = BC$，$D$ 是 $AB$ 的中点，$CE// AB$，$CE=\frac{1}{2}AB$。
(1)求证：四边形 $CDBE$ 是矩形；
(2)若 $AC = 5$，$CD = 3$，$F$ 是 $BC$ 上一点，且 $DF⊥ BC$，求 $DF$ 的长。
(1)求证：四边形 $CDBE$ 是矩形；
(2)若 $AC = 5$，$CD = 3$，$F$ 是 $BC$ 上一点，且 $DF⊥ BC$，求 $DF$ 的长。
答案：7. (1) 证明:
∵AC = BC,
∴△ACB 是等腰三角形.
∵D 是 AB 的中点,
∴DB = $\frac{1}{2}$AB, CD⊥DB.
∵CE = $\frac{1}{2}$AB,
∴DB = CE.
∵CE//AB,
∴四边形 CDBE 是平行四边形.
又
∵CD⊥DB,
∴四边形 CDBE 是矩形.
(2) 解: 在 Rt△CDB 中, ∠CDB = 90°, CB = AC = 5,
CD = 3,
∴BD = $\sqrt{BC^{2} - CD^{2}} = 4$.
∵DF⊥BC,
∴DF·BC = CD·BD, 解得 DF = $\frac{12}{5}$.
∵AC = BC,
∴△ACB 是等腰三角形.
∵D 是 AB 的中点,
∴DB = $\frac{1}{2}$AB, CD⊥DB.
∵CE = $\frac{1}{2}$AB,
∴DB = CE.
∵CE//AB,
∴四边形 CDBE 是平行四边形.
又
∵CD⊥DB,
∴四边形 CDBE 是矩形.
(2) 解: 在 Rt△CDB 中, ∠CDB = 90°, CB = AC = 5,
CD = 3,
∴BD = $\sqrt{BC^{2} - CD^{2}} = 4$.
∵DF⊥BC,
∴DF·BC = CD·BD, 解得 DF = $\frac{12}{5}$.
8. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别为 $AB$，$CD$ 的中点，点 $G$，$H$ 分别在边 $DA$，$BC$ 上，且 $AG = CH$。
(1)求证：四边形 $EHFG$ 是平行四边形；
(2)若 $GH = AD$，求证：四边形 $EHFG$ 是矩形。
(1)求证：四边形 $EHFG$ 是平行四边形；
(2)若 $GH = AD$，求证：四边形 $EHFG$ 是矩形。
答案：8. 证明: (1)
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴∠A = ∠C, ∠D = ∠B, AD = BC, AB = CD.
∵E, F 分别为 AB, CD 的中点,
∴AE = EB = CF = FD.
∵AG = CH,
∴BH = DG,
∴△AGE≌△CHF(SAS), △BEH≌△DFG(SAS),
∴EG = FH, EH = FG,
∴四边形 EHFG 是平行四边形.
(2) 连接 EF,
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB = CD, AB//CD.
∵E, F 分别为 AB, CD 的中点,
∴AE = $\frac{1}{2}$AB, DF = $\frac{1}{2}$CD,
∴AE = DF.
∵AB//CD,
∴四边形 AEFD 是平行四边形,
∴EF = AD.
∵GH = AD,
∴EF = GH.
又
∵四边形 EHFG 是平行四边形,
∴四边形 EHFG 是矩形.
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴∠A = ∠C, ∠D = ∠B, AD = BC, AB = CD.
∵E, F 分别为 AB, CD 的中点,
∴AE = EB = CF = FD.
∵AG = CH,
∴BH = DG,
∴△AGE≌△CHF(SAS), △BEH≌△DFG(SAS),
∴EG = FH, EH = FG,
∴四边形 EHFG 是平行四边形.
(2) 连接 EF,
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB = CD, AB//CD.
∵E, F 分别为 AB, CD 的中点,
∴AE = $\frac{1}{2}$AB, DF = $\frac{1}{2}$CD,
∴AE = DF.
∵AB//CD,
∴四边形 AEFD 是平行四边形,
∴EF = AD.
∵GH = AD,
∴EF = GH.
又
∵四边形 EHFG 是平行四边形,
∴四边形 EHFG 是矩形.
9. (2025·云南)如图，在$△ ABC$ 中，$∠ ABC = 90^{\circ}$，$O$ 是 $AC$ 的中点，延长 $BO$ 至点 $D$，使 $OD = OB$，连接 $AD$，$CD$。记 $AB = a$，$BC = b$，$△ AOB$ 的周长为 $l_1$，$△ BOC$ 的周长为 $l_2$，四边形 $ABCD$ 的周长为 $l_3$。
(1)求证：四边形 $ABCD$ 是矩形；
(2)若 $l_2 - l_1 = 2$，$l_3 = 28$，求 $AC$ 的长。
(1)求证：四边形 $ABCD$ 是矩形；
(2)若 $l_2 - l_1 = 2$，$l_3 = 28$，求 $AC$ 的长。
答案：9. (1) 证明:
∵O 是 AC 的中点,
∴OA = OC.
∵OB = OD,
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵∠ABC = 90°,
∴平行四边形 ABCD 是矩形.
(2) 解:
∵AB = a, BC = b, △AOB 的周长为 $l_{1}$, △BOC 的周长为 $l_{2}$, 四边形 ABCD 的周长为 $l_{3}$,
∴$l_{2} - l_{1} = BC - AB = b - a = 2$, $l_{3} = 2(AB + BC) = 2(a + b) = 28$,
∴$\begin{cases} b - a = 2, \\ b + a = 14, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a = 6, \\ b = 8, \end{cases}$
∴AB = 6, BC = 8,
∴AC = $\sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = 10$.
∵O 是 AC 的中点,
∴OA = OC.
∵OB = OD,
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵∠ABC = 90°,
∴平行四边形 ABCD 是矩形.
(2) 解:
∵AB = a, BC = b, △AOB 的周长为 $l_{1}$, △BOC 的周长为 $l_{2}$, 四边形 ABCD 的周长为 $l_{3}$,
∴$l_{2} - l_{1} = BC - AB = b - a = 2$, $l_{3} = 2(AB + BC) = 2(a + b) = 28$,
∴$\begin{cases} b - a = 2, \\ b + a = 14, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a = 6, \\ b = 8, \end{cases}$
∴AB = 6, BC = 8,
∴AC = $\sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = 10$.