1. (2024·通辽)如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$交于点$O$，以下条件不能证明$□ ABCD$是菱形的是(
A.$∠ BAC=∠ BCA$
B.$∠ ABD=∠ CBD$
C.$OA^{2}+OB^{2}=AD^{2}$
D.$AD^{2}+OA^{2}=OD^{2}$
D
)A.$∠ BAC=∠ BCA$
B.$∠ ABD=∠ CBD$
C.$OA^{2}+OB^{2}=AD^{2}$
D.$AD^{2}+OA^{2}=OD^{2}$
答案：1.D
解析：
证明：
A. 在$□ABCD$中，$AD// BC$，则$∠CAD=∠BCA$。
∵$∠BAC=∠BCA$，
∴$∠BAC=∠CAD$。
∵$AB// CD$，
∴$∠BAC=∠ACD$，$∠CAD=∠ACB$，
∴$∠ACD=∠ACB$，即$AC$平分$∠BCD$。
又$AB// CD$，
∴$∠ABC+∠BCD=180°$，
且$∠BAC=∠BCA$，$∠ACD=∠ACB$，
可证$AB=BC$，故$□ABCD$是菱形。
B. 在$□ABCD$中，$AD// BC$，则$∠ADB=∠CBD$。
∵$∠ABD=∠CBD$，
∴$∠ABD=∠ADB$，
∴$AB=AD$，故$□ABCD$是菱形。
C. 在$□ABCD$中，$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$。
∵$OA^2+OB^2=AD^2$，
∴$(\frac{1}{2}AC)^2+(\frac{1}{2}BD)^2=AD^2$，
即$AC^2+BD^2=4AD^2$。
又$AD=BC$，$AB=CD$，由平行四边形对角线性质知$AC^2+BD^2=2(AB^2+AD^2)$，
∴$2(AB^2+AD^2)=4AD^2$，得$AB=AD$，故$□ABCD$是菱形。
D. $AD^2+OA^2=OD^2$，仅表明$△ AOD$中$∠OAD=90°$，即$AC⊥AD$，
无法推出邻边相等或对角线垂直，故不能证明$□ABCD$是菱形。
答案：D
A. 在$□ABCD$中，$AD// BC$，则$∠CAD=∠BCA$。
∵$∠BAC=∠BCA$，
∴$∠BAC=∠CAD$。
∵$AB// CD$，
∴$∠BAC=∠ACD$，$∠CAD=∠ACB$，
∴$∠ACD=∠ACB$，即$AC$平分$∠BCD$。
又$AB// CD$，
∴$∠ABC+∠BCD=180°$，
且$∠BAC=∠BCA$，$∠ACD=∠ACB$，
可证$AB=BC$，故$□ABCD$是菱形。
B. 在$□ABCD$中，$AD// BC$，则$∠ADB=∠CBD$。
∵$∠ABD=∠CBD$，
∴$∠ABD=∠ADB$，
∴$AB=AD$，故$□ABCD$是菱形。
C. 在$□ABCD$中，$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$。
∵$OA^2+OB^2=AD^2$，
∴$(\frac{1}{2}AC)^2+(\frac{1}{2}BD)^2=AD^2$，
即$AC^2+BD^2=4AD^2$。
又$AD=BC$，$AB=CD$，由平行四边形对角线性质知$AC^2+BD^2=2(AB^2+AD^2)$，
∴$2(AB^2+AD^2)=4AD^2$，得$AB=AD$，故$□ABCD$是菱形。
D. $AD^2+OA^2=OD^2$，仅表明$△ AOD$中$∠OAD=90°$，即$AC⊥AD$，
无法推出邻边相等或对角线垂直，故不能证明$□ABCD$是菱形。
答案：D
2. (2024·宿豫区期末)判断四边形的框架(如图)是不是菱形，有以下方法：①检测框架的四条边是不是相等；②检测框架的四个角是不是相等；③检测框架对角线是否互相垂直且相等. 其中方法可行的是(
A.①
B.②
C.①③
D.②③
A
)A.①
B.②
C.①③
D.②③
答案：2.A
3. 如图，在四边形$ABCD$中，$AD=BC$，$AC⊥ BD$于点$O$. 请添加一个条件：
AD//BC(答案不唯一)
，使四边形$ABCD$成为菱形.答案：3.AD//BC(答案不唯一)
4. (2024·广陵区期中)如图，四边形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$互相垂直且平分，$AB=6$，则四边形$ABCD$的周长为
24
.答案：4.24
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$互相平分，
∴四边形$ABCD$是平行四边形，
∵$AC⊥ BD$，
∴平行四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB=BC=CD=AD$，
∵$AB=6$，
∴四边形$ABCD$的周长为$4×6=24$。
24
∵四边形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$互相平分，
∴四边形$ABCD$是平行四边形，
∵$AC⊥ BD$，
∴平行四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB=BC=CD=AD$，
∵$AB=6$，
∴四边形$ABCD$的周长为$4×6=24$。
24
5. (2025·镇江期中)如图，在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，对角线$AC$的垂直平分线与边$AD$，$BC$分别相交于点$E$，$F$.
求证：(1)$△ AEO≌ △ CFO$；
(2)四边形$AFCE$是菱形.
求证：(1)$△ AEO≌ △ CFO$；
(2)四边形$AFCE$是菱形.
答案：5.(1)证明:
∵AD//BC,
∴∠1=∠2,∠AEO=∠CFO.
∵EF是对角线AC的垂直平分线,
∴AO=CO,AC⊥EF;
在△AEO和△CFO中，{∠1=∠2，∠AEO=∠CFO，AO=CO}
∴△AEO≌△CFO(AAS).
(2)解:
∵△AEO≌△CFO,
∴AE=CF.
∵AE//CF,
∴四边形AFCE是平行四边形.
又
∵AC⊥EF,
∴四边形AFCE是菱形
∵AD//BC,
∴∠1=∠2,∠AEO=∠CFO.
∵EF是对角线AC的垂直平分线,
∴AO=CO,AC⊥EF;
在△AEO和△CFO中，{∠1=∠2，∠AEO=∠CFO，AO=CO}
∴△AEO≌△CFO(AAS).
(2)解:
∵△AEO≌△CFO,
∴AE=CF.
∵AE//CF,
∴四边形AFCE是平行四边形.
又
∵AC⊥EF,
∴四边形AFCE是菱形
6. 如图，在平行四边形$ABCD$中，$∠ BAD$的平分线交$BC$于点$E$，$∠ ABC$的平分线交$AD$于点$F$. 若$BF=12$，$AB=10$，则$AE$的长为(
A.10
B.12
C.16
D.18
C
)A.10
B.12
C.16
D.18
答案：6.C
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC$，$AB=CD$，
∴$∠ DAE=∠ AEB$，$∠ AFB=∠ FBC$。
∵$AE$平分$∠ BAD$，$BF$平分$∠ ABC$，
∴$∠ BAE=∠ DAE$，$∠ ABF=∠ FBC$，
∴$∠ BAE=∠ AEB$，$∠ ABF=∠ AFB$，
∴$AB=BE=10$，$AB=AF=10$，
∴$AF=BE$，
∴四边形$ABEF$是平行四边形。
又
∵$AB=AF$，
∴平行四边形$ABEF$是菱形，
∴$AE⊥ BF$，$AO=OE$，$BO=OF=\frac{1}{2}BF=6$。
在$Rt△ AOB$中，$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
∴$AE=2AO=16$。
答案：C
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC$，$AB=CD$，
∴$∠ DAE=∠ AEB$，$∠ AFB=∠ FBC$。
∵$AE$平分$∠ BAD$，$BF$平分$∠ ABC$，
∴$∠ BAE=∠ DAE$，$∠ ABF=∠ FBC$，
∴$∠ BAE=∠ AEB$，$∠ ABF=∠ AFB$，
∴$AB=BE=10$，$AB=AF=10$，
∴$AF=BE$，
∴四边形$ABEF$是平行四边形。
又
∵$AB=AF$，
∴平行四边形$ABEF$是菱形，
∴$AE⊥ BF$，$AO=OE$，$BO=OF=\frac{1}{2}BF=6$。
在$Rt△ AOB$中，$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
∴$AE=2AO=16$。
答案：C
7. 如图，由两个长为8，宽为4的全等矩形叠合而得到四边形$ABCD$，则四边形$ABCD$面积的最大值是(
A.15
B.16
C.19
D.20
D
)A.15
B.16
C.19
D.20
答案：7.D
解析：
解：设矩形叠合时，重叠部分的平行四边形高为$h$，底边长为$x$。
由矩形长为8，宽为4，根据勾股定理，$x = \sqrt{4^2 + (8 - h)^2}$（$0 ＜ h ＜ 8$）。
四边形$ABCD$面积$S = xh = h\sqrt{16 + (8 - h)^2}$。
令$t = 8 - h$，则$h = 8 - t$，$S = (8 - t)\sqrt{16 + t^2}$。
对$S$求导并令导数为0，解得$t = 2$时，$h = 6$，$x = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt{5}$。
此时$S = 6×2\sqrt{5} = 12\sqrt{5}\approx26.8$（不符选项，考虑特殊情况）。
当四边形$ABCD$为菱形时，面积最大。设菱形边长为$a$，高为4，由勾股定理$a^2 = 4^2 + (8 - a)^2$，解得$a = 5$。
面积$S = 5×4 = 20$。
答案：D
由矩形长为8，宽为4，根据勾股定理，$x = \sqrt{4^2 + (8 - h)^2}$（$0 ＜ h ＜ 8$）。
四边形$ABCD$面积$S = xh = h\sqrt{16 + (8 - h)^2}$。
令$t = 8 - h$，则$h = 8 - t$，$S = (8 - t)\sqrt{16 + t^2}$。
对$S$求导并令导数为0，解得$t = 2$时，$h = 6$，$x = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt{5}$。
此时$S = 6×2\sqrt{5} = 12\sqrt{5}\approx26.8$（不符选项，考虑特殊情况）。
当四边形$ABCD$为菱形时，面积最大。设菱形边长为$a$，高为4，由勾股定理$a^2 = 4^2 + (8 - a)^2$，解得$a = 5$。
面积$S = 5×4 = 20$。
答案：D