4. 如图，菱形 $ ABCD $ 的边长为 $ 2 $，$ ∠ B = 60^{\circ} $，$ M $，$ N $ 分别是边 $ BC $，$ CD $ 上的动点，$ ∠ MAN = 60^{\circ} $，连接 $ MN $.
(1) $ △ AMN $ 是等边三角形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由.
(2) 在点 $ M $，$ N $ 运动的过程中，$ △ CMN $ 的面积存在最大值吗？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由.
(1) $ △ AMN $ 是等边三角形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由.
(2) 在点 $ M $，$ N $ 运动的过程中，$ △ CMN $ 的面积存在最大值吗？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由.
答案：
解:(1)△AMN是等边三角形.证明:如答图,连接AC.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D=60°,AB=BC=CD=AD,
∴△ABC,△ACD都是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,∠ACN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
∴△BAM≌△CAN(ASA),
∴AM=AN.
∵∠MAN=60°,
∴△AMN是等边三角形.
(2)△CMN的面积存在最大值,理由如下:
∵△BAM≌△CAN,
∴$S_{△ BAM}=S_{△ CAN},$
∴$S_{四边形AMCN}=S_{△ AMC}+S_{△ ANC}=S_{△ AMC}+S_{△ BAM}=S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3},$
∴四边形AMCN的面积不发生变化,
∴当△AMN的面积最小时,△CMN的面积最大.
∵△AMN是等边三角形,
根据垂线段最短可知,当AM⊥BC时,AM的值最小,△AMN的面积最小,
此时$S_{△ AMN}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$
∴△CMN的面积的最大值为$\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}.$
解:(1)△AMN是等边三角形.证明:如答图,连接AC.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D=60°,AB=BC=CD=AD,
∴△ABC,△ACD都是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,∠ACN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
∴△BAM≌△CAN(ASA),
∴AM=AN.
∵∠MAN=60°,
∴△AMN是等边三角形.
(2)△CMN的面积存在最大值,理由如下:
∵△BAM≌△CAN,
∴$S_{△ BAM}=S_{△ CAN},$
∴$S_{四边形AMCN}=S_{△ AMC}+S_{△ ANC}=S_{△ AMC}+S_{△ BAM}=S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3},$
∴四边形AMCN的面积不发生变化,
∴当△AMN的面积最小时,△CMN的面积最大.
∵△AMN是等边三角形,
根据垂线段最短可知,当AM⊥BC时,AM的值最小,△AMN的面积最小,
此时$S_{△ AMN}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$
∴△CMN的面积的最大值为$\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}.$
5. 如图①，四边形 $ OABC $ 是菱形，$ B(6,0) $，$ ∠ C = 60^{\circ} $.
(1) 作 $ ∠ AOB $ 的平分线 $ OD $，交 $ AB $ 于点 $ D $；(不写作法，保留作图痕迹)
(2) 在(1)的条件下，点 $ P $ 在直线 $ OD $ 上，当 $ |PC - PA| $ 取最大值时，求 $ OP $ 的长；
(3) 如图②，$ E $，$ F $ 分别是线段 $ OA $，$ OC $ 上的动点，$ ∠ EBF = 60^{\circ} $，求四边形 $ OEBF $ 周长的最小值.
(1) 作 $ ∠ AOB $ 的平分线 $ OD $，交 $ AB $ 于点 $ D $；(不写作法，保留作图痕迹)
(2) 在(1)的条件下，点 $ P $ 在直线 $ OD $ 上，当 $ |PC - PA| $ 取最大值时，求 $ OP $ 的长；
(3) 如图②，$ E $，$ F $ 分别是线段 $ OA $，$ OC $ 上的动点，$ ∠ EBF = 60^{\circ} $，求四边形 $ OEBF $ 周长的最小值.
答案：
解:(1)如答图所示,OD即为所求.
(2)如答图,连接PA,PC,PB,延长CB交OD于点P',连接AP'.
∵四边形OABC是菱形,∠OCB=60°,
∴AO=AB=OC=BC,
∠OAB=∠OCB=60°,
∴△OAB,△OBC都是等边三角形,
∴OA=OB.
∵OD平分∠AOB,
∴OD⊥AB,AD=DB,
∴PA=PB,
∴PC - PA=PC - PB≤BC,
∴当点P与点P'重合时,|PC - PA|取最大值.
∵∠COB=60°,∠DOB=30°,
∴∠COP'=90°.
∵OC=OB=6,∠OCP'=60°,
∴$OP'=6\sqrt{3},$
∴当|PC - PA|取最大值时,OP的长为$6\sqrt{3}$
(3)
∵∠EBF=∠OBC=60°,
∴∠OBE=∠CBF.
∵∠BOE=∠C=60°,BO=BC,
∴△BOE≌△BCF(ASA),
∴OE=CF,BE=BF,
∴OE+OF=CF+FO=OC=6,
∴BE+BF的值最小时,四边形OEBF的周长最小.
根据垂线段最短可知,当BE⊥OA,BF⊥OC时,BE+BF的值最小,为$6\sqrt{3}$此时满足∠EBF=60°,
∴四边形OEBF周长的最小值为$6+6\sqrt{3}$
解:(1)如答图所示,OD即为所求.
(2)如答图,连接PA,PC,PB,延长CB交OD于点P',连接AP'.
∵四边形OABC是菱形,∠OCB=60°,
∴AO=AB=OC=BC,
∠OAB=∠OCB=60°,
∴△OAB,△OBC都是等边三角形,
∴OA=OB.
∵OD平分∠AOB,
∴OD⊥AB,AD=DB,
∴PA=PB,
∴PC - PA=PC - PB≤BC,
∴当点P与点P'重合时,|PC - PA|取最大值.
∵∠COB=60°,∠DOB=30°,
∴∠COP'=90°.
∵OC=OB=6,∠OCP'=60°,
∴$OP'=6\sqrt{3},$
∴当|PC - PA|取最大值时,OP的长为$6\sqrt{3}$
(3)
∵∠EBF=∠OBC=60°,
∴∠OBE=∠CBF.
∵∠BOE=∠C=60°,BO=BC,
∴△BOE≌△BCF(ASA),
∴OE=CF,BE=BF,
∴OE+OF=CF+FO=OC=6,
∴BE+BF的值最小时,四边形OEBF的周长最小.
根据垂线段最短可知,当BE⊥OA,BF⊥OC时,BE+BF的值最小,为$6\sqrt{3}$此时满足∠EBF=60°,
∴四边形OEBF周长的最小值为$6+6\sqrt{3}$