6. 如图, 正方形纸片 $ABCD$ 的边长为 $3$, 点 $E$, $F$ 分别在边 $BC$, $CD$ 上, 将 $AB$, $AD$ 分别沿 $AE$, $AF$ 折叠, 点 $B$, $D$ 恰好都落在点 $G$ 处, 已知 $BE = 1$, 则 $EF$ 的长为
$\frac{5}{2}$
.答案：6. $\frac{5}{2}$
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是正方形，边长为$3$，$BE = 1$，
∴$BC=CD=3$，$∠B=∠C=∠D=90^{\circ}$，$EC=BC - BE=3 - 1=2$。
由折叠性质得：$AG = AB = 3$，$GE = BE = 1$，$GF = DF$，$∠AGE = ∠B = 90^{\circ}$，$∠AGF = ∠D = 90^{\circ}$，
∴$∠EGF=∠AGE + ∠AGF=180^{\circ}$，即点$G$在$EF$上。
设$DF = x$，则$GF = x$，$CF = CD - DF=3 - x$。
在$Rt△ ECF$中，$EF = GE + GF=1 + x$，$EC = 2$，$CF = 3 - x$，
由勾股定理得：$EC^{2}+CF^{2}=EF^{2}$，即$2^{2}+(3 - x)^{2}=(1 + x)^{2}$，
解得$x=\frac{3}{2}$，
∴$EF=1 + x=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$。
$\frac{5}{2}$
∵四边形$ABCD$是正方形，边长为$3$，$BE = 1$，
∴$BC=CD=3$，$∠B=∠C=∠D=90^{\circ}$，$EC=BC - BE=3 - 1=2$。
由折叠性质得：$AG = AB = 3$，$GE = BE = 1$，$GF = DF$，$∠AGE = ∠B = 90^{\circ}$，$∠AGF = ∠D = 90^{\circ}$，
∴$∠EGF=∠AGE + ∠AGF=180^{\circ}$，即点$G$在$EF$上。
设$DF = x$，则$GF = x$，$CF = CD - DF=3 - x$。
在$Rt△ ECF$中，$EF = GE + GF=1 + x$，$EC = 2$，$CF = 3 - x$，
由勾股定理得：$EC^{2}+CF^{2}=EF^{2}$，即$2^{2}+(3 - x)^{2}=(1 + x)^{2}$，
解得$x=\frac{3}{2}$，
∴$EF=1 + x=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$。
$\frac{5}{2}$
7. 如图, 将边长为 $8\ cm$ 的正方形纸片 $ABCD$ 折叠, 使点 $D$ 落在 $BC$ 边的中点 $E$ 处, 点 $A$ 落在点 $F$ 处, 折痕为 $MN$, 则线段 $CN$ 的长度为
3cm
.答案：7. 3cm
解析：
解：设$CN=x\ \mathrm{cm}$，则$DN=(8 - x)\ \mathrm{cm}$。
由折叠性质知$EN = DN=(8 - x)\ \mathrm{cm}$。
因为$E$为$BC$中点，$BC = 8\ \mathrm{cm}$，所以$EC=\frac{8}{2}=4\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ECN$中，$EC^{2}+CN^{2}=EN^{2}$，即$4^{2}+x^{2}=(8 - x)^{2}$。
展开得$16 + x^{2}=64 - 16x + x^{2}$，化简得$16x = 48$，解得$x = 3$。
故线段$CN$的长度为$3\ \mathrm{cm}$。
由折叠性质知$EN = DN=(8 - x)\ \mathrm{cm}$。
因为$E$为$BC$中点，$BC = 8\ \mathrm{cm}$，所以$EC=\frac{8}{2}=4\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ECN$中，$EC^{2}+CN^{2}=EN^{2}$，即$4^{2}+x^{2}=(8 - x)^{2}$。
展开得$16 + x^{2}=64 - 16x + x^{2}$，化简得$16x = 48$，解得$x = 3$。
故线段$CN$的长度为$3\ \mathrm{cm}$。
8. (2024·南京玄外)【模型呈现】在正方形学习过程中, 我们发现下面的结论: 如图①, 在正方形 $ABCD$ 中, $P$ 为线段 $BC$ 上一个动点, 若线段 $MN$ 垂直 $AP$ 于点 $E$, 交线段 $AB$ 于点 $M$, 交线段 $CD$ 于点 $N$, 则 $AP = MN$.
(1) 如图②, 将边长为 $40$ 的正方形 $ABCD$ 折叠, 使得点 $B$ 落在 $CD$ 上的点 $E$ 处. 若折痕 $FG = 41$, 则 $CE=$
【继续探索】
(2) 如图③, 在正方形 $ABCD$ 中, $P$ 为线段 $BC$ 上一动点, 若 $MN$ 垂直平分线段 $AP$, 分别交 $AB$, $AP$, $BD$, $DC$ 于点 $M$, $E$, $F$, $N$. 求证: $EF = ME + FN$；
(3) 如图④, 在正方形 $ABCD$ 中, $E$, $F$ 分别为 $AD$, $BC$ 上的点, 作 $DM ⊥ EF$ 于点 $M$, 在 $MF$ 上截取 $MN = DM$, 连接 $BN$, $G$ 为 $BN$ 的中点, 连接 $CG$, $CM$. 请依题意补全图形, 若 $CG = 1$, 求 $CM$ 的长.
(1) 如图②, 将边长为 $40$ 的正方形 $ABCD$ 折叠, 使得点 $B$ 落在 $CD$ 上的点 $E$ 处. 若折痕 $FG = 41$, 则 $CE=$
9
；【继续探索】
(2) 如图③, 在正方形 $ABCD$ 中, $P$ 为线段 $BC$ 上一动点, 若 $MN$ 垂直平分线段 $AP$, 分别交 $AB$, $AP$, $BD$, $DC$ 于点 $M$, $E$, $F$, $N$. 求证: $EF = ME + FN$；
(3) 如图④, 在正方形 $ABCD$ 中, $E$, $F$ 分别为 $AD$, $BC$ 上的点, 作 $DM ⊥ EF$ 于点 $M$, 在 $MF$ 上截取 $MN = DM$, 连接 $BN$, $G$ 为 $BN$ 的中点, 连接 $CG$, $CM$. 请依题意补全图形, 若 $CG = 1$, 求 $CM$ 的长.
答案：
8. (1)9
(2)证明:如答图①,连接FA,FP,FC;
∵正方形ABCD是轴对称图形,F为对角线BD上一点，
∴FA=FC.
又
∵FE垂直平分AP,
∴FA=FP,
∴FP=FC,
∴∠FPC=∠FCP.
∵∠FAB=∠FCP,
∴∠FAB=∠FPC,
∴∠FAB+∠FPB=180°,
∴∠ABC+∠AFP=180°,
∴∠AFP=90°,
∴FE=$\frac{1}{2}$AP.
由[模型呈现]知,AP=MN,
∴MN=ME+EF+FN=AP=2EF,
∴EF=ME+FN.
(3)解:根据题意补全图形如答图②所示，
连接MG并延长至点H,使得MG=GH,连接BH,CH.
∵G为BN的中点，
∴BG=NG.
又
∵∠BGH=∠NGM,
∴△BGH≌△NGM(SAS),
∴BH=NM,∠BHG=∠NMG,
则BH//NM,
∴∠CBH=∠BFE;
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC,∠ADC=90°,
∴∠BFE=∠DEM,∠CDM+∠EDM=90°.
又
∵DM⊥EF,
∴∠DEM+∠EDM=90°,
∴∠CDM=∠DEM,
∴∠CDM=∠BFE,
∴∠CBH=∠CDM.
∵MN=DM,
∴BH=DM,
由正方形的性质可知,CB=CD,
∴△CBH≌△CDM(SAS),
∴CH=CM,∠BCH=∠DCM,∠BCD=90°,
则∠BCH+∠BCM=∠DCM+∠BCM=∠BCD=90°,
∴△MCH是等腰直角三角形.
∵HG=MG,
∴CG⊥MH,则△CGM也是等腰直角三角形,则CG=MG,
∴CM=$\sqrt{CG^{2}+MG^{2}}$=$\sqrt{2}$CG=$\sqrt{2}$
8. (1)9
(2)证明:如答图①,连接FA,FP,FC;
∵正方形ABCD是轴对称图形,F为对角线BD上一点，
∴FA=FC.
又
∵FE垂直平分AP,
∴FA=FP,
∴FP=FC,
∴∠FPC=∠FCP.
∵∠FAB=∠FCP,
∴∠FAB=∠FPC,
∴∠FAB+∠FPB=180°,
∴∠ABC+∠AFP=180°,
∴∠AFP=90°,
∴FE=$\frac{1}{2}$AP.
由[模型呈现]知,AP=MN,
∴MN=ME+EF+FN=AP=2EF,
∴EF=ME+FN.
(3)解:根据题意补全图形如答图②所示，
连接MG并延长至点H,使得MG=GH,连接BH,CH.
∵G为BN的中点，
∴BG=NG.
又
∵∠BGH=∠NGM,
∴△BGH≌△NGM(SAS),
∴BH=NM,∠BHG=∠NMG,
则BH//NM,
∴∠CBH=∠BFE;
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC,∠ADC=90°,
∴∠BFE=∠DEM,∠CDM+∠EDM=90°.
又
∵DM⊥EF,
∴∠DEM+∠EDM=90°,
∴∠CDM=∠DEM,
∴∠CDM=∠BFE,
∴∠CBH=∠CDM.
∵MN=DM,
∴BH=DM,
由正方形的性质可知,CB=CD,
∴△CBH≌△CDM(SAS),
∴CH=CM,∠BCH=∠DCM,∠BCD=90°,
则∠BCH+∠BCM=∠DCM+∠BCM=∠BCD=90°,
∴△MCH是等腰直角三角形.
∵HG=MG,
∴CG⊥MH,则△CGM也是等腰直角三角形,则CG=MG,
∴CM=$\sqrt{CG^{2}+MG^{2}}$=$\sqrt{2}$CG=$\sqrt{2}$