4. 在四边形ABCD中，AD//BC，BC⊥CD，AD=6 cm，BC=10 cm，M是BC上一点，且BM=4 cm，点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点F从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为t s，当t的值为
$\frac{4}{3}$或4
时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形.答案：4.$\frac{4}{3}$或4
解析：
解：由题意得，$AE = t\ \mathrm{cm}$，$BF = 2t\ \mathrm{cm}$，$0 ≤ t ≤ 5$。
$BC = 10\ \mathrm{cm}$，$BM = 4\ \mathrm{cm}$，则$MC = 6\ \mathrm{cm}$，$FM = |BM - BF| = |4 - 2t|\ \mathrm{cm}$。
$AD// BC$，要使以$A$，$M$，$E$，$F$为顶点的四边形是平行四边形，需$AE = FM$。
情况1：$F$在$B$，$M$之间，$FM = 4 - 2t$，则$t = 4 - 2t$，解得$t = \frac{4}{3}$。
情况2：$F$在$M$，$C$之间，$FM = 2t - 4$，则$t = 2t - 4$，解得$t = 4$。
综上，$t = \frac{4}{3}$或$4$。
$BC = 10\ \mathrm{cm}$，$BM = 4\ \mathrm{cm}$，则$MC = 6\ \mathrm{cm}$，$FM = |BM - BF| = |4 - 2t|\ \mathrm{cm}$。
$AD// BC$，要使以$A$，$M$，$E$，$F$为顶点的四边形是平行四边形，需$AE = FM$。
情况1：$F$在$B$，$M$之间，$FM = 4 - 2t$，则$t = 4 - 2t$，解得$t = \frac{4}{3}$。
情况2：$F$在$M$，$C$之间，$FM = 2t - 4$，则$t = 2t - 4$，解得$t = 4$。
综上，$t = \frac{4}{3}$或$4$。
5. 如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，BC=10，点P从点B出发，沿射线BC方向运动；点Q从点D同时出发，沿DA方向运动，到点A为止，运动的时间为t秒.
(1)若点P的运动速度为3个单位长度/秒，点Q的运动速度为1个单位长度/秒，若以P，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形，求t的值；
(2)若点P的运动速度为m个单位长度/秒，点Q的运动速度为n个单位长度/秒，若运动中能使以P，C，D，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m，n的数量关系.
(1)若点P的运动速度为3个单位长度/秒，点Q的运动速度为1个单位长度/秒，若以P，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形，求t的值；
(2)若点P的运动速度为m个单位长度/秒，点Q的运动速度为n个单位长度/秒，若运动中能使以P，C，D，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m，n的数量关系.
答案：
5.解:(1)①当点P在BC上时,
DQ=t,PC=10−3t,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,
∴DQ//PC.
若四边形PCDQ是平行四边形，则DQ=PC,
∴t=10−3t,
∴t=2.5;
②当点P在BC的延长线上时,
PC=3t−10.
若四边形CPDQ是平行四边形，
则DQ=PC,
∴t=3t−10,
∴t=5.
综上,当t的值为2.5或5时,以P,C,D,Q为顶点的四边形为平行四边形.
(2)①当点P在BC上时,DQ=nt,PC=10−mt,
若四边形PCDQ是菱形,
则DQ=PC=CD=AB=6,
∴nt=10−mt=6,
∴mt=4,
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{2}{3}$,
∴3m=2n;
②如答图,当点P在BC的延长线上时,连接PQ,交CD 于点E.
∵AB⊥AC,
∴∠BAC=90°,
∴AC=$\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}$=$\sqrt{10^{2}-6^{2}}$=8.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD//AB,
∴∠ACD=90°,
∵四边形PCQD是菱形,
∴PQ⊥CD,CE=DE,PE=QE,
∴PQ//AC,
∴四边形ACPQ是平行四边形，
∴PQ=AC=8,
∴QE=PE=4.
∵CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=3,
∴DQ=PD=$\sqrt{QE^{2}+DE^{2}}$=$\sqrt{4^{2}+3^{2}}$=5,
∴nt=mt−10=5,
∴m=3n.
综上,当3m=2n或m=3n时,以P,C,D,Q为顶点的四边形为菱形.
5.解:(1)①当点P在BC上时,
DQ=t,PC=10−3t,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,
∴DQ//PC.
若四边形PCDQ是平行四边形，则DQ=PC,
∴t=10−3t,
∴t=2.5;
②当点P在BC的延长线上时,
PC=3t−10.
若四边形CPDQ是平行四边形，
则DQ=PC,
∴t=3t−10,
∴t=5.
综上,当t的值为2.5或5时,以P,C,D,Q为顶点的四边形为平行四边形.
(2)①当点P在BC上时,DQ=nt,PC=10−mt,
若四边形PCDQ是菱形,
则DQ=PC=CD=AB=6,
∴nt=10−mt=6,
∴mt=4,
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{2}{3}$,
∴3m=2n;
②如答图,当点P在BC的延长线上时,连接PQ,交CD 于点E.
∵AB⊥AC,
∴∠BAC=90°,
∴AC=$\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}$=$\sqrt{10^{2}-6^{2}}$=8.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD//AB,
∴∠ACD=90°,
∵四边形PCQD是菱形,
∴PQ⊥CD,CE=DE,PE=QE,
∴PQ//AC,
∴四边形ACPQ是平行四边形，
∴PQ=AC=8,
∴QE=PE=4.
∵CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=3,
∴DQ=PD=$\sqrt{QE^{2}+DE^{2}}$=$\sqrt{4^{2}+3^{2}}$=5,
∴nt=mt−10=5,
∴m=3n.
综上,当3m=2n或m=3n时,以P,C,D,Q为顶点的四边形为菱形.
6. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从点A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10.
(1)若G，H分别是AD，BC的中点，则四边形EGFH一定是
(2)在(1)的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
(3)在(1)的条件下，若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值.
(1)若G，H分别是AD，BC的中点，则四边形EGFH一定是
平行四边形
(点E，F相遇时除外)；(2)在(1)的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
(3)在(1)的条件下，若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值.
答案：
6.(1)平行四边形
(2)解:如答图①,连接GH,AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$=10,
由(1)得AG=BH,AG//BH,∠B=90°,
∴四边形ABHG是矩形,
∴GH=AB=6.
①如答图①,当四边形EGFH是矩形且点E在点F左侧时,EF=GH=6.
∵AE=CF=t,
∴EF=10−2t=6,
∴t=2;
②如答图②,当四边形EGFH是矩形且点E在点F右侧时,EF=GH=6,
∵AE=CF=t,
∴EF=t+t−10=2t−10=6,
∴t=8.
综上,当四边形EGFH为矩形时,t=2或t=8.
(3)解:如答图③,M为AD的中点，连接AH,CG,GH,
AC与GH交于点O.
∵四边形EGFH为菱形，
∴GH⊥EF,OG=OH,OE=OF,
∴OA=OC,AG=AH,
∴四边形AGCH为菱形,
∴AG=CG.
设AG=CG=x,则DG=8−x,
由勾股定理,得$CD^{2}+DG^{2}=CG^{2}$
即$6^{2}+(8−x)^{2}=x^{2}$,解得$x=\frac{25}{4}$,
∴$MG=\frac{25}{4}-4=\frac{9}{4}$,即$t=\frac{9}{4}$.
6.(1)平行四边形
(2)解:如答图①,连接GH,AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$=10,
由(1)得AG=BH,AG//BH,∠B=90°,
∴四边形ABHG是矩形,
∴GH=AB=6.
①如答图①,当四边形EGFH是矩形且点E在点F左侧时,EF=GH=6.
∵AE=CF=t,
∴EF=10−2t=6,
∴t=2;
②如答图②,当四边形EGFH是矩形且点E在点F右侧时,EF=GH=6,
∵AE=CF=t,
∴EF=t+t−10=2t−10=6,
∴t=8.
综上,当四边形EGFH为矩形时,t=2或t=8.
(3)解:如答图③,M为AD的中点，连接AH,CG,GH,
AC与GH交于点O.
∵四边形EGFH为菱形，
∴GH⊥EF,OG=OH,OE=OF,
∴OA=OC,AG=AH,
∴四边形AGCH为菱形,
∴AG=CG.
设AG=CG=x,则DG=8−x,
由勾股定理,得$CD^{2}+DG^{2}=CG^{2}$
即$6^{2}+(8−x)^{2}=x^{2}$,解得$x=\frac{25}{4}$,
∴$MG=\frac{25}{4}-4=\frac{9}{4}$,即$t=\frac{9}{4}$.