一、选择题(每小题 10 分，共 30 分)
1. (2024·温州)如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB// CD$，$AC$ 是对角线，要使四边形 $ABCD$ 为平行四边形，可添加条件(
A.$AD = BC$
B.$∠ ACD=∠ BAC$
C.$∠ BAD+∠ D = 180^{\circ}$
D.$AB = CD$
1. (2024·温州)如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB// CD$，$AC$ 是对角线，要使四边形 $ABCD$ 为平行四边形，可添加条件(
D
)A.$AD = BC$
B.$∠ ACD=∠ BAC$
C.$∠ BAD+∠ D = 180^{\circ}$
D.$AB = CD$
答案：1. D
2. 将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若 $∠ BAD=α$，$∠ CBE=β$，则 $β=$(
A.$45^{\circ}+\dfrac{1}{2}α$
B.$45^{\circ}+\dfrac{3}{2}α$
C.$90^{\circ}-\dfrac{1}{2}α$
D.$90^{\circ}-\dfrac{3}{2}α$
D
)A.$45^{\circ}+\dfrac{1}{2}α$
B.$45^{\circ}+\dfrac{3}{2}α$
C.$90^{\circ}-\dfrac{1}{2}α$
D.$90^{\circ}-\dfrac{3}{2}α$
答案：2. D
3. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，下列条件：① $AC⊥ BD$；② $AB = BC$；③ $∠ ACB = 45^{\circ}$；④ $OA = OB$.其中能使矩形 $ABCD$ 是正方形的是(
A.①②③④
B.①②③
C.②③④
D.①③④
B
)A.①②③④
B.①②③
C.②③④
D.①③④
答案：3. B
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$OA=OB=OC=OD$（矩形对角线相等且互相平分），故④不符合题意。
①若$AC⊥BD$，则矩形$ABCD$是正方形（对角线互相垂直的矩形是正方形）；
②若$AB=BC$，则矩形$ABCD$是正方形（邻边相等的矩形是正方形）；
③若$∠ACB=45^{\circ}$，则$∠BAC=45^{\circ}$，$AB=BC$，矩形$ABCD$是正方形（邻边相等的矩形是正方形）。
综上，能使矩形$ABCD$是正方形的条件是①②③。
答案：B
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$OA=OB=OC=OD$（矩形对角线相等且互相平分），故④不符合题意。
①若$AC⊥BD$，则矩形$ABCD$是正方形（对角线互相垂直的矩形是正方形）；
②若$AB=BC$，则矩形$ABCD$是正方形（邻边相等的矩形是正方形）；
③若$∠ACB=45^{\circ}$，则$∠BAC=45^{\circ}$，$AB=BC$，矩形$ABCD$是正方形（邻边相等的矩形是正方形）。
综上，能使矩形$ABCD$是正方形的条件是①②③。
答案：B
二、填空题(每小题 10 分，共 30 分)
4. (2024·北京人大附中)小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图①所示的菱形，并测得 $∠ B = 60^{\circ}$，对角线 $AC$ 的长为 $1\ \mathrm{dm}$，接着活动学具成为图②所示的正方形，则图②中对角线 $AC$ 的长为
4. (2024·北京人大附中)小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图①所示的菱形，并测得 $∠ B = 60^{\circ}$，对角线 $AC$ 的长为 $1\ \mathrm{dm}$，接着活动学具成为图②所示的正方形，则图②中对角线 $AC$ 的长为
$\sqrt{2}$
$\mathrm{dm}$.答案：4. $\sqrt{2}$
解析：
在图①菱形中，连接对角线$AC$，$BD$交于点$O$。
∵菱形四边相等，$∠ B = 60°$，
∴$△ ABC$为等边三角形，$AB = AC = 1\ \mathrm{dm}$。
在图②正方形中，边长$AB = 1\ \mathrm{dm}$，
根据勾股定理，对角线$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$。
$\sqrt{2}$
∵菱形四边相等，$∠ B = 60°$，
∴$△ ABC$为等边三角形，$AB = AC = 1\ \mathrm{dm}$。
在图②正方形中，边长$AB = 1\ \mathrm{dm}$，
根据勾股定理，对角线$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$。
$\sqrt{2}$
5. 如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$DE// AC$，$CE// BD$，若 $BD = 2$，则四边形 $DOCE$ 的周长为
4
.答案：5. 4
解析：
证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AC = BD = 2$，且 $O$ 为 $AC$、$BD$ 中点，
∴ $OD = \frac{1}{2}BD = 1$，$OC = \frac{1}{2}AC = 1$。
∵ $DE // AC$，$CE // BD$，
∴ 四边形 $DOCE$ 是平行四边形。
又
∵ $OD = OC = 1$，
∴ 平行四边形 $DOCE$ 是菱形。
∴ 四边形 $DOCE$ 的周长为 $4 × OD = 4 × 1 = 4$。
4
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AC = BD = 2$，且 $O$ 为 $AC$、$BD$ 中点，
∴ $OD = \frac{1}{2}BD = 1$，$OC = \frac{1}{2}AC = 1$。
∵ $DE // AC$，$CE // BD$，
∴ 四边形 $DOCE$ 是平行四边形。
又
∵ $OD = OC = 1$，
∴ 平行四边形 $DOCE$ 是菱形。
∴ 四边形 $DOCE$ 的周长为 $4 × OD = 4 × 1 = 4$。
4
6. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是边 $AB$，$AD$ 上的动点，$P$ 是线段 $EF$ 的中点，$PG⊥ BC$，$PH⊥ CD$，$G$，$H$ 为垂足，连接 $GH$.若 $AB = 8$，$AD = 6$，$EF = 5$，则 $GH$ 的最小值是
7.5
.答案：6. 7.5
解析：
解：设点$E(a,0)$，$F(0,b)$，则$P(\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2})$。
因为$EF = 5$，所以$\sqrt{a^{2}+b^{2}}=5$，即$a^{2}+b^{2}=25$。
由于$PG⊥ BC$，$PH⊥ CD$，可得$G(8,\dfrac{b}{2})$，$H(\dfrac{a}{2},6)$。
则$GH=\sqrt{(8 - \dfrac{a}{2})^{2}+(6 - \dfrac{b}{2})^{2}}$，化简得$GH=\dfrac{1}{2}\sqrt{(16 - a)^{2}+(12 - b)^{2}}$。
设$Q(16,12)$，$EF$上一点$M(a,b)$，则$GH=\dfrac{1}{2}QM$。
当$QM⊥ EF$时，$QM$最小，此时$QM=\sqrt{16^{2}+12^{2}} - 5=15$。
所以$GH$的最小值为$\dfrac{1}{2}×15 = 7.5$。
7.5
因为$EF = 5$，所以$\sqrt{a^{2}+b^{2}}=5$，即$a^{2}+b^{2}=25$。
由于$PG⊥ BC$，$PH⊥ CD$，可得$G(8,\dfrac{b}{2})$，$H(\dfrac{a}{2},6)$。
则$GH=\sqrt{(8 - \dfrac{a}{2})^{2}+(6 - \dfrac{b}{2})^{2}}$，化简得$GH=\dfrac{1}{2}\sqrt{(16 - a)^{2}+(12 - b)^{2}}$。
设$Q(16,12)$，$EF$上一点$M(a,b)$，则$GH=\dfrac{1}{2}QM$。
当$QM⊥ EF$时，$QM$最小，此时$QM=\sqrt{16^{2}+12^{2}} - 5=15$。
所以$GH$的最小值为$\dfrac{1}{2}×15 = 7.5$。
7.5