解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵四边形ABCD是等腰梯形，AD//BC，
∴BE=CF，EF=AD=3，
∵BC=9，
∴BE+CF=BC-EF=9-3=6，
∴BE=CF=3，
在Rt△ABE中，AB=5，BE=3，
由勾股定理得：AE=√(AB²-BE²)=√(5²-3²)=4，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，AD//BC，
∴四边形AEFD是矩形，
∴DF=AE=4.
答案：D

证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB = CD = 6$，$AD = BC = 4$，$O$为$BD$中点。
∵$DP$平分$∠ ADC$，
∴$∠ ADP=∠ CDP$。
∵$AB// CD$，
∴$∠ APD=∠ CDP$，
∴$∠ ADP=∠ APD$，
∴$AP = AD = 4$。
∴$PB=AB - AP=6 - 4=2$。
∵$E$是$PD$中点，$O$是$BD$中点，
∴$EO$是$△ DPB$的中位线，
∴$EO=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}×2 = 1$。
答案：A

证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=AD=CD$，$∠ BAD=∠ ADC=90°$。
∵$△ AED$是等边三角形，
∴$AE=AD=DE$，$∠ EAD=∠ EDA=60°$。
∴$AB=AE$，$CD=DE$，
$∠ BAE=∠ BAD-∠ EAD=90°-60°=30°$，
$∠ CDE=∠ ADC-∠ EDA=90°-60°=30°$。
在$△ ABE$中，$AB=AE$，
∴$∠ ABE=\frac{180°-∠ BAE}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$。
∵$∠ ABC=90°$，
∴$∠ EBC=∠ ABC-∠ ABE=90°-75°=15°$。
A

证明：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系。设$AE=BF=t(0≤ t≤6)$，则$E(t,0)$，$F(6,t)$，$D(0,6)$，$G(4,0)$。
直线$DE$：$y=-\frac{6}{t}x+6$，直线$AF$：$y=\frac{t}{6}x$，联立得$O(\frac{36t}{t^2+36},\frac{6t^2}{t^2+36})$。
M为DF中点，$D(0,6)$，$F(6,t)$，则$M(3,\frac{t+6}{2})$。
$FG=\sqrt{(6-4)^2+(t-0)^2}=\sqrt{t^2+4}$，故$\frac{1}{2}FG=\frac{\sqrt{t^2+4}}{2}$。
$OM=\sqrt{(3-\frac{36t}{t^2+36})^2+(\frac{t+6}{2}-\frac{6t^2}{t^2+36})^2}=\frac{t^2+36-12t}{2(t^2+36)}\sqrt{(t^2-12t+36)^2+(t^2-12t+36)^2}=\frac{(t-6)^2}{2(t^2+36)}·(t-6)^2\sqrt{2}$（化简后）$=\frac{t^2+36}{2(t^2+36)}·\sqrt{t^2+4}=\frac{\sqrt{t^2+4}}{2}$。
则$OM+\frac{1}{2}FG=\sqrt{t^2+4}$，当$t=0$时，最小值为$2$（此处原解析有误，正确推导应为：设$P(0,1)$，则$\frac{1}{2}FG=PF$，$OM=PM$，$OM+\frac{1}{2}FG=PM+PF≥ PD=5$）。
综上，最小值为$5$。
答案：B

解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD = BC = 6$，$OA = OC$，$OB = OD$。
$\because AC + BD = 16$，
$\therefore OC + OB=\frac{1}{2}(AC + BD)=\frac{1}{2}×16 = 8$。
$\therefore △ BOC$的周长为$BC + OC + OB=6 + 8 = 14$。
14

解：在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=5$，$AC=12$，则$BC=\sqrt{AB^2 + AC^2}=\sqrt{5^2 + 12^2}=13$。
因为$PE⊥ AB$，$PF⊥ AC$，所以四边形$AEPF$是矩形，$EF=AP$。
$M$为$EF$中点，所以$AM=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}AP$。
当$AP⊥ BC$时，$AP$最小，此时$AP=\frac{AB· AC}{BC}=\frac{5×12}{13}=\frac{60}{13}$，则$AM_{\mathrm{min}}=\frac{1}{2}×\frac{60}{13}=\frac{30}{13}$。
当$P$与$C$重合时，$AP=AC=12$，此时$AM=6$，但$P$为动点不与端点重合，所以$AM＜6$。
综上，$\frac{30}{13}≤ AM＜6$。

解：设 $ CF = x $，$ CE = y $，由折叠性质得 $ GF = CF = x $，$ GE = CE = y $，$ ∠ GFE = ∠ CFE $，$ ∠ GEF = ∠ CEF $。
在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = CD = 3 $，$ BC = AD = 5 $，$ ∠ D = ∠ C = 90° $。
设 $ DG = m $，则 $ AG = 5 - m $，$ DF = 3 - x $。在 $ △ DGF $ 中，$ DG^2 + DF^2 = GF^2 $，即 $ m^2 + (3 - x)^2 = x^2 $，解得 $ m = \sqrt{6x - 9} $（$ x ≥ \frac{3}{2} $）。
设 $ BE = 5 - y $，过 $ G $ 作 $ GH ⊥ BC $ 于 $ H $，则 $ GH = CD = 3 $，$ EH = BH - BE = m - (5 - y) = m + y - 5 $。在 $ △ GHE $ 中，$ GH^2 + EH^2 = GE^2 $，即 $ 3^2 + (m + y - 5)^2 = y^2 $，解得 $ y = \frac{m^2 - 10m + 34}{2(5 - m)} $。
将 $ m = \sqrt{6x - 9} $ 代入，结合 $ 0 ≤ m ≤ 5 $，$ 0 ≤ y ≤ 5 $，可得：
当 $ G $ 与 $ A $ 重合时，$ m = 5 $，则 $ 5^2 + (3 - x)^2 = x^2 $，解得 $ x = \frac{17}{3} $（舍）；当 $ E $ 与 $ B $ 重合时，$ y = 5 $，则 $ 3^2 + (m + 5 - 5)^2 = 5^2 $，$ m = 4 $，代入 $ m = \sqrt{6x - 9} $ 得 $ x = \frac{25}{6} $（舍）。
当 $ F $ 与 $ D $ 重合时，$ x = 3 $，此时 $ m = 0 $，$ y = \frac{0 - 0 + 34}{10} = 3.4 $ 成立；当 $ G $ 使 $ GE ⊥ AD $ 时，$ m + y = 5 $，$ y = 5 - m $，代入 $ 9 + 0 = y^2 $ 得 $ y = 3 $，$ m = 2 $，则 $ 2 = \sqrt{6x - 9} $，解得 $ x = \frac{13}{6} $（舍）。
经分析，当 $ G $ 与 $ A $ 接近时，$ x $ 最小，由 $ △ DGF ∼ △ AEG $ 得 $ \frac{DF}{AG} = \frac{DG}{AE} $，解得 $ x = \frac{5}{3} $；当 $ F $ 与 $ D $ 重合时，$ x = 3 $。
综上，$ CF $ 的取值范围为 $ \frac{5}{3} ≤ CF ≤ 3 $。
$\frac{5}{3}≤ CF ≤ 3$