1. 分式方程的增根：如果分式方程转化得到的整式方程的根使最简公分母为 0(使分式方程中某一个或几个分母为 0)，那么这个根叫作分式方程的
增根
。答案：1. 增根
2. 产生增根的原因：
方程两边同乘值为 0 的代数式
。答案：2. 方程两边同乘值为 0 的代数式
1. 若关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{2x + m}{x - 3} = 1$ 有增根，则 $ m $ 的值为(
A.$-6$
B.$5$
C.$6$
D.$4$
A
)A.$-6$
B.$5$
C.$6$
D.$4$
答案：1. A
解析：
方程两边同乘$x - 3$，得$2x + m = x - 3$。
因为分式方程有增根，所以$x - 3 = 0$，即$x = 3$。
将$x = 3$代入$2x + m = x - 3$，得$2×3 + m = 3 - 3$，解得$m = -6$。
A
因为分式方程有增根，所以$x - 3 = 0$，即$x = 3$。
将$x = 3$代入$2x + m = x - 3$，得$2×3 + m = 3 - 3$，解得$m = -6$。
A
2. 若关于 $ x $ 的方程 $\frac{2x + a}{x + 2} = -1$ 的解是负数，则 $ a $ 的取值范围是(
A.$a ＜ -2$
B.$a ＞ -2$ 且 $a ≠ 4$
C.$a ＞ -2$ 且 $a ≠ 0$
D.$a ≠ 0$
B
)A.$a ＜ -2$
B.$a ＞ -2$ 且 $a ≠ 4$
C.$a ＞ -2$ 且 $a ≠ 0$
D.$a ≠ 0$
答案：2. B
解析：
解方程$\frac{2x + a}{x + 2} = -1$，两边同乘$x + 2$得：$2x + a = - (x + 2)$，
$2x + a = -x - 2$，
$2x + x = -2 - a$，
$3x = -2 - a$，
$x = \frac{-2 - a}{3}$。
因为方程的解是负数，所以$\frac{-2 - a}{3} ＜ 0$，
$-2 - a ＜ 0$，
$-a ＜ 2$，
$a ＞ -2$。
又因为分母不能为$0$，即$x + 2 ≠ 0$，$\frac{-2 - a}{3} + 2 ≠ 0$，
$\frac{-2 - a + 6}{3} ≠ 0$，
$\frac{4 - a}{3} ≠ 0$，
$4 - a ≠ 0$，
$a ≠ 4$。
综上，$a$的取值范围是$a ＞ -2$且$a ≠ 4$。
B
$2x + a = -x - 2$，
$2x + x = -2 - a$，
$3x = -2 - a$，
$x = \frac{-2 - a}{3}$。
因为方程的解是负数，所以$\frac{-2 - a}{3} ＜ 0$，
$-2 - a ＜ 0$，
$-a ＜ 2$，
$a ＞ -2$。
又因为分母不能为$0$，即$x + 2 ≠ 0$，$\frac{-2 - a}{3} + 2 ≠ 0$，
$\frac{-2 - a + 6}{3} ≠ 0$，
$\frac{4 - a}{3} ≠ 0$，
$4 - a ≠ 0$，
$a ≠ 4$。
综上，$a$的取值范围是$a ＞ -2$且$a ≠ 4$。
B
3. 关于分式方程 $\frac{1 - x}{x - 2} = \frac{1}{2 - x}$ 的解，下列说法正确的是(
A.解是 $x = 2$
B.解是 $x = 4$
C.解是 $x = -4$
D.无解
D
)A.解是 $x = 2$
B.解是 $x = 4$
C.解是 $x = -4$
D.无解
答案：3. D
解析：
方程两边同乘$x - 2$，得$1 - x = -1$，解得$x = 2$。检验：当$x = 2$时，$x - 2 = 0$，所以$x = 2$是增根，原分式方程无解。D
4. 解下列分式方程：
(1) $\frac{1 + x}{2 - x} - 3 = \frac{1}{x - 2}$；
(2) $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3x}{4x - 4}$；
(3) $\frac{x}{x - 2} - \frac{1 - x}{x^2 - 4} = 1$；
(4) $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{(x - 1)(x + 2)}$；
(5) $\frac{x - 1}{x + 3} - 2 = \frac{x}{3 - x}$。
(1) $\frac{1 + x}{2 - x} - 3 = \frac{1}{x - 2}$；
(2) $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3x}{4x - 4}$；
(3) $\frac{x}{x - 2} - \frac{1 - x}{x^2 - 4} = 1$；
(4) $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{(x - 1)(x + 2)}$；
(5) $\frac{x - 1}{x + 3} - 2 = \frac{x}{3 - x}$。
答案：4. 解：(1) 方程两边同乘$(x - 2)$，得$-1 - x - 3x + 6 = 1$，解得$x = 1$，
检验：当$x = 1$时，$x - 2 ≠ 0$，所以原方程的解为$x = 1$。
(2) 方程两边同乘$4(x - 1)$，得$4x - 4x + 4 = 3x$，解得$x = \frac{4}{3}$，
检验：当$x = \frac{4}{3}$时，$4(x - 1) ≠ 0$，所以原方程的解为$x = \frac{4}{3}$。
(3) 方程两边同乘$(x - 2)(x + 2)$，得$x^{2} + 2x - 1 + x = x^{2} - 4$，解得$x = -1$，
检验：当$x = -1$时，$(x - 2)(x + 2) ≠ 0$，所以原方程的解为$x = -1$。
(4) 方程两边同乘$(x - 1)(x + 2)$，得$x^{2} + 2x - x^{2} - x + 2 = 3$，解得$x = 1$，
检验：当$x = 1$时，$(x - 1)(x + 2) = 0$，$x = 1$是增根，所以原分式方程无解。
(5) 方程两边同乘$(x + 3)(x - 3)$，得$(x - 1)(x - 3) - 2(x + 3)(x - 3) = -x(x + 3)$，解得$x = 21$，
检验：当$x = 21$时，$(x + 3)(x - 3) ≠ 0$，所以原方程的解为$x = 21$。
检验：当$x = 1$时，$x - 2 ≠ 0$，所以原方程的解为$x = 1$。
(2) 方程两边同乘$4(x - 1)$，得$4x - 4x + 4 = 3x$，解得$x = \frac{4}{3}$，
检验：当$x = \frac{4}{3}$时，$4(x - 1) ≠ 0$，所以原方程的解为$x = \frac{4}{3}$。
(3) 方程两边同乘$(x - 2)(x + 2)$，得$x^{2} + 2x - 1 + x = x^{2} - 4$，解得$x = -1$，
检验：当$x = -1$时，$(x - 2)(x + 2) ≠ 0$，所以原方程的解为$x = -1$。
(4) 方程两边同乘$(x - 1)(x + 2)$，得$x^{2} + 2x - x^{2} - x + 2 = 3$，解得$x = 1$，
检验：当$x = 1$时，$(x - 1)(x + 2) = 0$，$x = 1$是增根，所以原分式方程无解。
(5) 方程两边同乘$(x + 3)(x - 3)$，得$(x - 1)(x - 3) - 2(x + 3)(x - 3) = -x(x + 3)$，解得$x = 21$，
检验：当$x = 21$时，$(x + 3)(x - 3) ≠ 0$，所以原方程的解为$x = 21$。