1. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$O$ 为对角线 $AC$，$BD$ 的交点，$E$，$F$ 分别为边 $BC$，$CD$ 上的点，且 $OE⊥ OF$，连接 $EF$。若 $∠ AOE = 150^{\circ}$，$DF = \sqrt{2}$，则 $OF$ 的长为
2
。答案：1. 2
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AC⊥BD$，$∠ODF=∠OCE=45^{\circ}$，$OD=OC$，
∴$∠COD=90^{\circ}$，即$∠COF+∠DOF=90^{\circ}$。
∵$OE⊥OF$，
∴$∠EOF=90^{\circ}$，即$∠COF+∠COE=90^{\circ}$，
∴$∠DOF=∠COE$。
在$△ DOF$和$△ COE$中，
$\begin{cases}∠ODF=∠OCE \\ OD=OC \\ ∠DOF=∠COE\end{cases}$，
∴$△ DOF≌△ COE(ASA)$，
∴$OE=OF$。
∵$AC$，$BD$为正方形对角线，
∴$∠AOD=90^{\circ}$。
∵$∠AOE=150^{\circ}$，$∠AOE=∠AOD+∠DOE$，
∴$∠DOE=∠AOE - ∠AOD=150^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}$。
∵$∠EOF=90^{\circ}$，
∴$∠DOF=∠EOF - ∠DOE=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
在$Rt△ DOF$中，$∠ODF=45^{\circ}$，$∠DOF=30^{\circ}$，$DF=\sqrt{2}$，
由正弦定理：$\frac{DF}{\sin∠DOF}=\frac{OF}{\sin∠ODF}$，
即$\frac{\sqrt{2}}{\sin30^{\circ}}=\frac{OF}{\sin45^{\circ}}$，
$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{OF}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，解得$OF=2$。
答案：$2$
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AC⊥BD$，$∠ODF=∠OCE=45^{\circ}$，$OD=OC$，
∴$∠COD=90^{\circ}$，即$∠COF+∠DOF=90^{\circ}$。
∵$OE⊥OF$，
∴$∠EOF=90^{\circ}$，即$∠COF+∠COE=90^{\circ}$，
∴$∠DOF=∠COE$。
在$△ DOF$和$△ COE$中，
$\begin{cases}∠ODF=∠OCE \\ OD=OC \\ ∠DOF=∠COE\end{cases}$，
∴$△ DOF≌△ COE(ASA)$，
∴$OE=OF$。
∵$AC$，$BD$为正方形对角线，
∴$∠AOD=90^{\circ}$。
∵$∠AOE=150^{\circ}$，$∠AOE=∠AOD+∠DOE$，
∴$∠DOE=∠AOE - ∠AOD=150^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}$。
∵$∠EOF=90^{\circ}$，
∴$∠DOF=∠EOF - ∠DOE=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
在$Rt△ DOF$中，$∠ODF=45^{\circ}$，$∠DOF=30^{\circ}$，$DF=\sqrt{2}$，
由正弦定理：$\frac{DF}{\sin∠DOF}=\frac{OF}{\sin∠ODF}$，
即$\frac{\sqrt{2}}{\sin30^{\circ}}=\frac{OF}{\sin45^{\circ}}$，
$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{OF}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，解得$OF=2$。
答案：$2$
2. 如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$，$E$ 为与点 $D$ 不重合的动点，以 $DE$ 为一边作正方形 $DEFG$。设 $DE = m_1$，点 $F$，$G$ 与点 $C$ 的距离分别为 $m_2$，$m_3$，则 $m_1 + m_2 + m_3$ 的最小值为
$\sqrt{2}$
。答案：
2. $\sqrt{2}$ 点拨: 如答图, 连接 $AE,AC,CG,CF$. $\because$ 四边形 $DEFG$ 是正方形, $\therefore ∠ EDG = 90^{\circ},EF = DE = DG$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形, $\therefore ∠ ADC = 90^{\circ},AD = CD$, $\therefore ∠ ADE = ∠ CDG$, $\therefore △ ADE ≌ △ CDG(SAS)$, $\therefore AE = CG$, $\therefore m_1 + m_2 + m_3 = EF + CF + AE$, $\therefore$ 当点 $A,E,F,C$ 在同一条直线上时, $EF + CF + AE$ 的值最小, 即 $m_1 + m_2 + m_3$ 的值最小, $\therefore m_1 + m_2 + m_3$ 的最小值为 $AC$ 的长. 在 $Rt△ ACD$ 中, $AC = \sqrt{2}AB = \sqrt{2}$, $\therefore m_1 + m_2 + m_3$ 的最小值为 $\sqrt{2}$.
2. $\sqrt{2}$ 点拨: 如答图, 连接 $AE,AC,CG,CF$. $\because$ 四边形 $DEFG$ 是正方形, $\therefore ∠ EDG = 90^{\circ},EF = DE = DG$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形, $\therefore ∠ ADC = 90^{\circ},AD = CD$, $\therefore ∠ ADE = ∠ CDG$, $\therefore △ ADE ≌ △ CDG(SAS)$, $\therefore AE = CG$, $\therefore m_1 + m_2 + m_3 = EF + CF + AE$, $\therefore$ 当点 $A,E,F,C$ 在同一条直线上时, $EF + CF + AE$ 的值最小, 即 $m_1 + m_2 + m_3$ 的值最小, $\therefore m_1 + m_2 + m_3$ 的最小值为 $AC$ 的长. 在 $Rt△ ACD$ 中, $AC = \sqrt{2}AB = \sqrt{2}$, $\therefore m_1 + m_2 + m_3$ 的最小值为 $\sqrt{2}$.
3. (2024·北京期末)如图，$E$ 是正方形 $ABCD$ 内部一点，$BE = BA$，连接 $AE$，$CE$，过点 $C$ 作 $CF⊥ AE$ 交 $AE$ 的延长线于点 $F$。
(1) 依题意补全图形，求 $∠ CEF$ 的度数；
(2) 连接 $DF$，用等式表示线段 $AF$，$DF$，$CF$ 之间的数量关系，并证明。
(1) 依题意补全图形，求 $∠ CEF$ 的度数；
(2) 连接 $DF$，用等式表示线段 $AF$，$DF$，$CF$ 之间的数量关系，并证明。
答案：
3. 解: (1) 如答图①.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形, $\therefore AB = BC, ∠ ABC = 90^{\circ}$.
$\because BE = BA, \therefore AB = BE = BC$.
设 $∠ BAE = ∠ BEA = x^{\circ}, ∠ BEC = ∠ BCE = y^{\circ}$.
$\because$ 四边形 $ABCE$ 的内角和为 $360^{\circ}$,
$\therefore 2x + 2y + 90 = 360$,
$\therefore x + y = 135, \therefore ∠ AEC = 135^{\circ}, \therefore ∠ CEF = 45^{\circ}$.
(2) $AF = \sqrt{2}DF + CF$, 证明如下:
如答图②, 作 $DH ⊥ DF$, 交 $AF$ 于点 $H$,
$\therefore ∠ ADH = ∠ CDF = 90^{\circ} - ∠ HDC$.
$\because ∠ EFC = 90^{\circ}, ∠ CEF = 45^{\circ}$,
$\therefore ∠ CEF = ∠ FCE = 45^{\circ}, \therefore △ EFC$ 是等腰直角三角形,
$\therefore EF = FC$.
$\because ∠ DAB = 90^{\circ}$, 设 $∠ BAE = ∠ BEA = m, ∠ BEC = ∠ BCE = n, \therefore ∠ DAH = 90^{\circ} - m$.
$\because ∠ DCE = 90^{\circ} - n, \therefore ∠ FCD = 45^{\circ} - (90^{\circ} - n) = n - 45^{\circ}$.
又 $\because m + n = 135^{\circ}, \therefore n = 135^{\circ} - m$,
$\therefore ∠ FCD = 90^{\circ} - m, \therefore ∠ DAH = ∠ DCF$.
在 $△ DAH$ 和 $△ DCF$ 中, $\{\begin{array}{l} ∠ DAH = ∠ DCF, \\ AD = CD, \\ ∠ ADH = ∠ CDF, \end{array} $
$\therefore △ DAH ≌ △ DCF(ASA)$,
$\therefore AH = CF, DH = DF$,
$\therefore △ DHF$ 是等腰直角三角形, $\therefore HF = \sqrt{2}DF$.
$\because AF = HF + AH, \therefore AF = \sqrt{2}DF + CF$.
3. 解: (1) 如答图①.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形, $\therefore AB = BC, ∠ ABC = 90^{\circ}$.
$\because BE = BA, \therefore AB = BE = BC$.
设 $∠ BAE = ∠ BEA = x^{\circ}, ∠ BEC = ∠ BCE = y^{\circ}$.
$\because$ 四边形 $ABCE$ 的内角和为 $360^{\circ}$,
$\therefore 2x + 2y + 90 = 360$,
$\therefore x + y = 135, \therefore ∠ AEC = 135^{\circ}, \therefore ∠ CEF = 45^{\circ}$.
(2) $AF = \sqrt{2}DF + CF$, 证明如下:
如答图②, 作 $DH ⊥ DF$, 交 $AF$ 于点 $H$,
$\therefore ∠ ADH = ∠ CDF = 90^{\circ} - ∠ HDC$.
$\because ∠ EFC = 90^{\circ}, ∠ CEF = 45^{\circ}$,
$\therefore ∠ CEF = ∠ FCE = 45^{\circ}, \therefore △ EFC$ 是等腰直角三角形,
$\therefore EF = FC$.
$\because ∠ DAB = 90^{\circ}$, 设 $∠ BAE = ∠ BEA = m, ∠ BEC = ∠ BCE = n, \therefore ∠ DAH = 90^{\circ} - m$.
$\because ∠ DCE = 90^{\circ} - n, \therefore ∠ FCD = 45^{\circ} - (90^{\circ} - n) = n - 45^{\circ}$.
又 $\because m + n = 135^{\circ}, \therefore n = 135^{\circ} - m$,
$\therefore ∠ FCD = 90^{\circ} - m, \therefore ∠ DAH = ∠ DCF$.
在 $△ DAH$ 和 $△ DCF$ 中, $\{\begin{array}{l} ∠ DAH = ∠ DCF, \\ AD = CD, \\ ∠ ADH = ∠ CDF, \end{array} $
$\therefore △ DAH ≌ △ DCF(ASA)$,
$\therefore AH = CF, DH = DF$,
$\therefore △ DHF$ 是等腰直角三角形, $\therefore HF = \sqrt{2}DF$.
$\because AF = HF + AH, \therefore AF = \sqrt{2}DF + CF$.