1. 分解因式:$(x^{2}-4x + 2)(x^{2}-4x + 6)+4=$
$(x - 2)^4$
.答案：1. $(x - 2)^4$
解析：
解：设$y = x^2 - 4x + 4$，则原式可化为$(y - 2)(y + 2) + 4$
$= y^2 - 4 + 4$
$= y^2$
$= (x^2 - 4x + 4)^2$
$= (x - 2)^4$
$= y^2 - 4 + 4$
$= y^2$
$= (x^2 - 4x + 4)^2$
$= (x - 2)^4$
2. 小实将$(2025x + 2026)^{2}$展开后得到$a_{1}x^{2}+b_{1}x + c_{1}$;小鼓将$(2026x - 2025)^{2}$展开后得到$a_{2}x^{2}+b_{2}x + c_{2}$,若两人计算过程无误,则$c_{1}-c_{2}$的值为
4051
.答案：2. 4051
解析：
$(2025x + 2026)^{2}=2025^{2}x^{2}+2×2025×2026x + 2026^{2}$，故$c_{1}=2026^{2}$；
$(2026x - 2025)^{2}=2026^{2}x^{2}-2×2026×2025x + 2025^{2}$，故$c_{2}=2025^{2}$；
$c_{1}-c_{2}=2026^{2}-2025^{2}=(2026 - 2025)(2026 + 2025)=1×4051=4051$。
$(2026x - 2025)^{2}=2026^{2}x^{2}-2×2026×2025x + 2025^{2}$，故$c_{2}=2025^{2}$；
$c_{1}-c_{2}=2026^{2}-2025^{2}=(2026 - 2025)(2026 + 2025)=1×4051=4051$。
3. 阅读材料:已知多项式$x^{4}+mx^{3}+nx - 16$含有因式$(x - 1)$和$(x - 2)$,求$m,n$的值.
解:设$x^{4}+mx^{3}+nx - 16 = A(x - 1)(x - 2)$(其中$A$为整式),
取$x = 1$,得$1 + m + n - 16 = 0$,①
取$x = 2$,得$16 + 8m + 2n - 16 = 0$,②
由①②解得$m = - 5,n = 20$.
根据以上材料解决下列问题:
(1)若多项式$3x^{3}+ax^{2}-2$含有因式$(x - 1)$,求$a$的值;
(2)若多项式$2x^{2}+mxy + ny^{2}-4x + 2y$含有因式$(x + y - 2)$,求$m,n$的值;
(3)如果一个多项式与某个非负数的差含有某个一次因式,则称这个非负数是这个多项式除以该一次因式的余数.请求出多项式$x^{2020}+2x^{1010}+3$除以一次因式$(x + 1)$的余数.
解:设$x^{4}+mx^{3}+nx - 16 = A(x - 1)(x - 2)$(其中$A$为整式),
取$x = 1$,得$1 + m + n - 16 = 0$,①
取$x = 2$,得$16 + 8m + 2n - 16 = 0$,②
由①②解得$m = - 5,n = 20$.
根据以上材料解决下列问题:
(1)若多项式$3x^{3}+ax^{2}-2$含有因式$(x - 1)$,求$a$的值;
(2)若多项式$2x^{2}+mxy + ny^{2}-4x + 2y$含有因式$(x + y - 2)$,求$m,n$的值;
(3)如果一个多项式与某个非负数的差含有某个一次因式,则称这个非负数是这个多项式除以该一次因式的余数.请求出多项式$x^{2020}+2x^{1010}+3$除以一次因式$(x + 1)$的余数.
答案：3. 解：(1)设$3x^3 + ax^2 - 2 = M(x - 1)$(其中$M$为整式)，取$x = 1$，得$3 + a - 2 = 0$，解得$a = - 1$。
(2)设$2x^2 + mxy + ny^2 - 4x + 2y = N(x + y - 2)$(其中$N$为整式)，取$x = 0$，$y = 2$，得$4n + 4 = 0$①；取$x = 1$，$y = 1$，得$2 + m + n - 4 + 2 = 0$②。由①②得$m = 1$，$n = - 1$。
(3)设这个非负数为$a$，另一因式为$Q$，可得$x^{2020} + 2x^{1010} + 3 - a = Q(x + 1)$，将$x = - 1$代入，得$1 + 2 + 3 - a = 0$，解得$a = 6$，故$x^{2020} + 2x^{1010} + 3$除以一次因式$(x + 1)$的余数为6。
(2)设$2x^2 + mxy + ny^2 - 4x + 2y = N(x + y - 2)$(其中$N$为整式)，取$x = 0$，$y = 2$，得$4n + 4 = 0$①；取$x = 1$，$y = 1$，得$2 + m + n - 4 + 2 = 0$②。由①②得$m = 1$，$n = - 1$。
(3)设这个非负数为$a$，另一因式为$Q$，可得$x^{2020} + 2x^{1010} + 3 - a = Q(x + 1)$，将$x = - 1$代入，得$1 + 2 + 3 - a = 0$，解得$a = 6$，故$x^{2020} + 2x^{1010} + 3$除以一次因式$(x + 1)$的余数为6。