16. (2025·射阳县校级月考)如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“智慧数”，如$8 = 3^{2}-1^{2}$，$16 = 5^{2}-3^{2}$，则 8，16 均为“智慧数”，在不超过 321 的正整数中，所有的“智慧数”之和为
6560
。答案：16. 6560
解析：
设两个连续奇数为$2n-1$和$2n+1$（$n$为正整数），则“智慧数”可表示为：
$\begin{aligned}(2n+1)^2-(2n-1)^2&=(4n^2 + 4n + 1)-(4n^2 - 4n + 1)\\&=8n\end{aligned}$
即“智慧数”是$8$的正整数倍。
由$8n ≤ 321$，得$n ≤ \frac{321}{8}=40.125$，故$n$最大取$40$。
所有“智慧数”之和为：
$8×(1 + 2 + ··· + 40)=8×\frac{40×(40 + 1)}{2}=8×820 = 6560$
6560
$\begin{aligned}(2n+1)^2-(2n-1)^2&=(4n^2 + 4n + 1)-(4n^2 - 4n + 1)\\&=8n\end{aligned}$
即“智慧数”是$8$的正整数倍。
由$8n ≤ 321$，得$n ≤ \frac{321}{8}=40.125$，故$n$最大取$40$。
所有“智慧数”之和为：
$8×(1 + 2 + ··· + 40)=8×\frac{40×(40 + 1)}{2}=8×820 = 6560$
6560
三、解答题（共 68 分）
17. (8 分)(2024·崇川区校级期末)分解因式：
(1)$a^{3}b^{2}-4a$；
(2)$(x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}$；
(3)$x^{2}-4xy + 4y^{2}$；
(4)$9x^{2}(a - b)+16y^{2}(b - a)$。
17. (8 分)(2024·崇川区校级期末)分解因式：
(1)$a^{3}b^{2}-4a$；
(2)$(x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}$；
(3)$x^{2}-4xy + 4y^{2}$；
(4)$9x^{2}(a - b)+16y^{2}(b - a)$。
答案：17. 解：(1) 原式 $ = a(a^2b^2 - 4) = a(ab + 2)(ab - 2) $。
(2) 原式 $ = (x^2 + y^2 + 2xy)(x^2 + y^2 - 2xy) = (x + y)^2(x - y)^2 $。
(3) 原式 $ = (x - 2y)^2 $。
(4) 原式 $ = (a - b)(9x^2 - 16y^2) = (a - b)(3x - 4y)(3x + 4y) $。
(2) 原式 $ = (x^2 + y^2 + 2xy)(x^2 + y^2 - 2xy) = (x + y)^2(x - y)^2 $。
(3) 原式 $ = (x - 2y)^2 $。
(4) 原式 $ = (a - b)(9x^2 - 16y^2) = (a - b)(3x - 4y)(3x + 4y) $。
18. (8 分)(2024·睢宁县期中)将下列各式分解因式：
(1)$(a + b)-a^{2}(a + b)$；
(2)$x^{4}-8x^{2}+16$；
(3)$a^{3}-4a^{2}+4a$；
(4)$a^{2}(m + n)-9(m + n)$。
(1)$(a + b)-a^{2}(a + b)$；
(2)$x^{4}-8x^{2}+16$；
(3)$a^{3}-4a^{2}+4a$；
(4)$a^{2}(m + n)-9(m + n)$。
答案：18. 解：(1) 原式 $ = (a + b)(1 - a^2) = (a + b)(1 + a)(1 - a) $。
(2) 原式 $ = (x^2 - 4)^2 = [(x + 2)(x - 2)]^2 = (x + 2)^2 · (x - 2)^2 $。
(3) 原式 $ = a(a^2 - 4a + 4) = a(a - 2)^2 $。
(4) 原式 $ = (m + n)(a^2 - 9) = (m + n)(a + 3)(a - 3) $。
(2) 原式 $ = (x^2 - 4)^2 = [(x + 2)(x - 2)]^2 = (x + 2)^2 · (x - 2)^2 $。
(3) 原式 $ = a(a^2 - 4a + 4) = a(a - 2)^2 $。
(4) 原式 $ = (m + n)(a^2 - 9) = (m + n)(a + 3)(a - 3) $。
19. (8 分)(2025·阜宁县期中)观察下列算式，解答问题。
算式①：$4^{2}-2^{2}=12 = 4×3$；
算式②：$6^{2}-4^{2}=20 = 4×5$；
算式③：$8^{2}-6^{2}=28 = 4×7$；
算式④：$10^{2}-8^{2}=36 = 4×9$；
……
(1)按照以上算式的规律，请写出算式⑥：
(2)小明将上述算式用文字表示为：“两个连续偶数的平方差一定是 4 的倍数”。你认为这句话正确吗？为什么？
算式①：$4^{2}-2^{2}=12 = 4×3$；
算式②：$6^{2}-4^{2}=20 = 4×5$；
算式③：$8^{2}-6^{2}=28 = 4×7$；
算式④：$10^{2}-8^{2}=36 = 4×9$；
……
(1)按照以上算式的规律，请写出算式⑥：
$ 14^2 - 12^2 = 52 = 4 × 13 $
；(2)小明将上述算式用文字表示为：“两个连续偶数的平方差一定是 4 的倍数”。你认为这句话正确吗？为什么？
答案：19. (1) $ 14^2 - 12^2 = 52 = 4 × 13 $
(2) 解：正确. 理由如下：
设这两个连续的偶数为 $ 2n $ 和 $ 2n + 2 $。
$ (2n + 2)^2 - (2n)^2 = 4n^2 + 8n + 4 - 4n^2 = 8n + 4 = 4(2n + 1) $。
因为 $ 2n + 1 $ 是整数，
所以 $ 4(2n + 1) $ 一定能被 4 整除。
(2) 解：正确. 理由如下：
设这两个连续的偶数为 $ 2n $ 和 $ 2n + 2 $。
$ (2n + 2)^2 - (2n)^2 = 4n^2 + 8n + 4 - 4n^2 = 8n + 4 = 4(2n + 1) $。
因为 $ 2n + 1 $ 是整数，
所以 $ 4(2n + 1) $ 一定能被 4 整除。