一、选择题(每小题5分,共25分)
1. 当$x = 1$时,下列式子没有意义的是 (
A.$\frac{1 - x}{x + 1}$
B.$\frac{x + 1}{x}$
C.$\sqrt{x - 1}$
D.$\frac{\sqrt{x}}{x - 1}$
1. 当$x = 1$时,下列式子没有意义的是 (
D
)A.$\frac{1 - x}{x + 1}$
B.$\frac{x + 1}{x}$
C.$\sqrt{x - 1}$
D.$\frac{\sqrt{x}}{x - 1}$
答案：1.D
2. 下列运算正确的是 (
A.$\frac{-x - y}{-x + y} = \frac{x - y}{x + y}$
B.$\frac{2a + b}{5a + b} = \frac{2}{5}$
C.$\frac{x - 1}{1 - x^{2}} = \frac{1}{x + 1}$
D.$\frac{a^{2} - b^{2}}{(a - b)^{2}} = \frac{a + b}{a - b}$
D
)A.$\frac{-x - y}{-x + y} = \frac{x - y}{x + y}$
B.$\frac{2a + b}{5a + b} = \frac{2}{5}$
C.$\frac{x - 1}{1 - x^{2}} = \frac{1}{x + 1}$
D.$\frac{a^{2} - b^{2}}{(a - b)^{2}} = \frac{a + b}{a - b}$
答案：2.D
3. 如图,矩形$ABCD$的顶点$B$,$D$在数轴上,且点$B$表示的数为$-3$,点$D$表示的数为$4$,则$AC$的长为 (
A.12
B.7
C.6
D.1
B
)A.12
B.7
C.6
D.1
答案：3.B
解析：
解：
∵点$B$表示的数为$-3$，点$D$表示的数为$4$，
$\therefore BD = |4 - (-3)| = 7$。
∵四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AC = BD = 7$。
答案：B
∵点$B$表示的数为$-3$，点$D$表示的数为$4$，
$\therefore BD = |4 - (-3)| = 7$。
∵四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AC = BD = 7$。
答案：B
4. 对于$M = x + 1$,$N = \frac{4x}{x + 1}$,有以下两个结论:①若$x ＞ - 1$,则$M ＞ N$;②若$M ＜ N$,则$x ＜ - 1$. 对于这两个结论,说法正确的是 (
A.①对,②不对
B.①不对,②对
C.①②都对
D.①②都不对
B
)A.①对,②不对
B.①不对,②对
C.①②都对
D.①②都不对
答案：4.B
解析：
结论①验证：
当$x ＞ -1$时，$M - N = x + 1 - \frac{4x}{x + 1} = \frac{(x + 1)^2 - 4x}{x + 1} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x + 1} = \frac{(x - 1)^2}{x + 1}$。
分子$(x - 1)^2 ≥ 0$，分母$x + 1 ＞ 0$，则$M - N ≥ 0$。
当$x = 1$时，$M - N = 0$，即$M = N$。
结论①错误（存在$x ＞ -1$使$M = N$）。
结论②验证：
若$M ＜ N$，则$\frac{(x - 1)^2}{x + 1} ＜ 0$。
分子$(x - 1)^2 ≥ 0$且仅当$x = 1$时为$0$，此时$M - N = 0$不满足$M ＜ N$，故分子$(x - 1)^2 ＞ 0$。
不等式成立需分母$x + 1 ＜ 0$，即$x ＜ -1$。
结论②正确。
答案：B
当$x ＞ -1$时，$M - N = x + 1 - \frac{4x}{x + 1} = \frac{(x + 1)^2 - 4x}{x + 1} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x + 1} = \frac{(x - 1)^2}{x + 1}$。
分子$(x - 1)^2 ≥ 0$，分母$x + 1 ＞ 0$，则$M - N ≥ 0$。
当$x = 1$时，$M - N = 0$，即$M = N$。
结论①错误（存在$x ＞ -1$使$M = N$）。
结论②验证：
若$M ＜ N$，则$\frac{(x - 1)^2}{x + 1} ＜ 0$。
分子$(x - 1)^2 ≥ 0$且仅当$x = 1$时为$0$，此时$M - N = 0$不满足$M ＜ N$，故分子$(x - 1)^2 ＞ 0$。
不等式成立需分母$x + 1 ＜ 0$，即$x ＜ -1$。
结论②正确。
答案：B
5. (2024·甘肃)如图①,动点$P$从菱形$ABCD$的点$A$出发,沿边$AB \to BC$匀速运动,运动到点$C$时停止. 设点$P$的运动路程为$x$,$PO$的长为$y$,$y$与$x$的函数图象如图②所示,当点$P$运动到$BC$中点时,$PO$的长为 (
A.2
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{2}$
C
)A.2
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{2}$
答案：5.C
二、填空题(每小题5分,共25分)
6. 对我国福建号航母各零部件质量情况的调查,最适合采用的调查方式是
6. 对我国福建号航母各零部件质量情况的调查,最适合采用的调查方式是
普查
.(填“普查”或“抽样调查”)答案：6.普查
7. 计算:$(2 + \sqrt{3})^{2024}(2 - \sqrt{3})^{2025} =$
$2 - \sqrt{3}$
.答案：7.$2 - \sqrt{3}$
解析：
$(2 + \sqrt{3})^{2024}(2 - \sqrt{3})^{2025}$
$=(2 + \sqrt{3})^{2024}(2 - \sqrt{3})^{2024}(2 - \sqrt{3})$
$=[(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})]^{2024}(2 - \sqrt{3})$
$=(4 - 3)^{2024}(2 - \sqrt{3})$
$=1^{2024}(2 - \sqrt{3})$
$=2 - \sqrt{3}$
$=(2 + \sqrt{3})^{2024}(2 - \sqrt{3})^{2024}(2 - \sqrt{3})$
$=[(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})]^{2024}(2 - \sqrt{3})$
$=(4 - 3)^{2024}(2 - \sqrt{3})$
$=1^{2024}(2 - \sqrt{3})$
$=2 - \sqrt{3}$
8. 已知分式$\frac{4x + m}{x + n}$($m$,$n$为常数)满足表格中的信息,则$k =$
−1
.答案：8.−1
解析：
解：当分式无意义时，分母为0，即$1 + n = 0$，解得$n = -1$。
当$x = 0.5$时，分式值为0，分子为0，即$4×0.5 + m = 0$，$2 + m = 0$，解得$m = -2$。
分式为$\frac{4x - 2}{x - 1}$，当$x = k$时，值为3，即$\frac{4k - 2}{k - 1} = 3$，$4k - 2 = 3(k - 1)$，$4k - 2 = 3k - 3$，$k = -1$。
$-1$
当$x = 0.5$时，分式值为0，分子为0，即$4×0.5 + m = 0$，$2 + m = 0$，解得$m = -2$。
分式为$\frac{4x - 2}{x - 1}$，当$x = k$时，值为3，即$\frac{4k - 2}{k - 1} = 3$，$4k - 2 = 3(k - 1)$，$4k - 2 = 3k - 3$，$k = -1$。
$-1$
9. 如图,正方形$ABCD$的边长为$4$,动点$P$从点$B$出发,沿$BD$方向匀速运动,运动到点$D$时停止,同时另一个动点$Q$从点$D$出发,以与点$P$相同的速度沿$DA$方向匀速运动. 点$P$停止运动时点$Q$也停止运动,连接$CP$,$BQ$,则$CP + BQ$的最小值为
$4\sqrt{3}$
.答案：9.$4\sqrt{3}$
解析：
解：设点$P$运动速度为$v$，运动时间为$t$，则$BP = DQ = vt$。
正方形$ABCD$边长为$4$，$BD = 4\sqrt{2}$，$0 ≤ vt ≤ 4\sqrt{2}$。
以$B$为原点，$BC$为$x$轴，$BA$为$y$轴建立坐标系，
则$B(0,0)$，$C(4,0)$，$D(4,4)$，$A(0,4)$。
$BD$所在直线方程为$y = x$，点$P$坐标为$(\frac{\sqrt{2}}{2}vt, \frac{\sqrt{2}}{2}vt)$，
点$Q$坐标为$(4 - vt, 4)$。
$CP = \sqrt{(4 - \frac{\sqrt{2}}{2}vt)^2 + (0 - \frac{\sqrt{2}}{2}vt)^2}$，
$BQ = \sqrt{(4 - vt - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(4 - vt)^2 + 16}$。
令$x = vt$，则$CP + BQ = \sqrt{(4 - \frac{\sqrt{2}}{2}x)^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2}x)^2} + \sqrt{(4 - x)^2 + 16}$，
化简得$CP + BQ = \sqrt{x^2 - 4\sqrt{2}x + 16} + \sqrt{x^2 - 8x + 32}$。
构造点$E(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$，$F(4, -4)$，则$CP = \sqrt{(x - 2\sqrt{2})^2 + (0 - 2\sqrt{2})^2}$，$BQ = \sqrt{(x - 4)^2 + (4 - (-4))^2}$，即$CP + BQ$为$x$轴上点$(x,0)$到$E$、$F$距离之和。
作$E$关于$x$轴对称点$E'(2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$，则$CP + BQ$最小值为$E'F$的距离。
$E'F = \sqrt{(4 - 2\sqrt{2})^2 + (-4 + 2\sqrt{2})^2} = 4\sqrt{3}$。
故$CP + BQ$的最小值为$4\sqrt{3}$。
$4\sqrt{3}$
正方形$ABCD$边长为$4$，$BD = 4\sqrt{2}$，$0 ≤ vt ≤ 4\sqrt{2}$。
以$B$为原点，$BC$为$x$轴，$BA$为$y$轴建立坐标系，
则$B(0,0)$，$C(4,0)$，$D(4,4)$，$A(0,4)$。
$BD$所在直线方程为$y = x$，点$P$坐标为$(\frac{\sqrt{2}}{2}vt, \frac{\sqrt{2}}{2}vt)$，
点$Q$坐标为$(4 - vt, 4)$。
$CP = \sqrt{(4 - \frac{\sqrt{2}}{2}vt)^2 + (0 - \frac{\sqrt{2}}{2}vt)^2}$，
$BQ = \sqrt{(4 - vt - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(4 - vt)^2 + 16}$。
令$x = vt$，则$CP + BQ = \sqrt{(4 - \frac{\sqrt{2}}{2}x)^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2}x)^2} + \sqrt{(4 - x)^2 + 16}$，
化简得$CP + BQ = \sqrt{x^2 - 4\sqrt{2}x + 16} + \sqrt{x^2 - 8x + 32}$。
构造点$E(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$，$F(4, -4)$，则$CP = \sqrt{(x - 2\sqrt{2})^2 + (0 - 2\sqrt{2})^2}$，$BQ = \sqrt{(x - 4)^2 + (4 - (-4))^2}$，即$CP + BQ$为$x$轴上点$(x,0)$到$E$、$F$距离之和。
作$E$关于$x$轴对称点$E'(2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$，则$CP + BQ$最小值为$E'F$的距离。
$E'F = \sqrt{(4 - 2\sqrt{2})^2 + (-4 + 2\sqrt{2})^2} = 4\sqrt{3}$。
故$CP + BQ$的最小值为$4\sqrt{3}$。
$4\sqrt{3}$