一、压强
1. 一个实心小正方体放置于水平地面上，它对地面的压强为 $ p $。现取若干个这样的小正方体，恰好可以在水平地面上摆成一个较大的实心正方体，大正方体对地面的压强为 $ 3p $；若用这些小正方体在水平地面上摆成一个实心长方体，则长方体对地面的压强最大为(
A.$ 3p $
B.$ 9p $
C.$ 27p $
D.$ 81p $
1. 一个实心小正方体放置于水平地面上，它对地面的压强为 $ p $。现取若干个这样的小正方体，恰好可以在水平地面上摆成一个较大的实心正方体，大正方体对地面的压强为 $ 3p $；若用这些小正方体在水平地面上摆成一个实心长方体，则长方体对地面的压强最大为(
C
)A.$ 3p $
B.$ 9p $
C.$ 27p $
D.$ 81p $
答案：1. C
解析：
设小正方体边长为$a$，密度为$\rho$，则小正方体对地面压强$p = \rho ga$。
设小正方体个数为$n$，摆成大正方体时边长为$ka$，则$n = k^3$，大正方体对地面压强$3p=\rho g(ka)$，可得$k = 3$，故$n=3^3=27$。
摆成长方体时，设长、宽、高分别为$x a$、$y a$、$z a$（$x,y,z$为正整数），则$xyz=27$，压强$p'=\rho g(z a)=\rho ga · z = pz$。要使$p'$最大，需$z$最大，当$x=y=1$，$z=27$时，$p'=27p$。
C
设小正方体个数为$n$，摆成大正方体时边长为$ka$，则$n = k^3$，大正方体对地面压强$3p=\rho g(ka)$，可得$k = 3$，故$n=3^3=27$。
摆成长方体时，设长、宽、高分别为$x a$、$y a$、$z a$（$x,y,z$为正整数），则$xyz=27$，压强$p'=\rho g(z a)=\rho ga · z = pz$。要使$p'$最大，需$z$最大，当$x=y=1$，$z=27$时，$p'=27p$。
C
2. 一个密度为 $ \rho $ 的实心零件，由粗细不同的两部分圆柱体组成，两圆柱体的高度均为 $ h $，如图甲所示放置时，零件对水平面的压强为 $ 1.2\rho gh $，则粗、细圆柱体的底面积 $ S_{\mathrm{粗}}:S_{\mathrm{细}} = $
$5:1$
；如图乙所示放置时，零件对水平面的压强为$6\rho gh$
(用字母 $ \rho $、$ g $、$ h $ 表示)。答案：2. $5:1$ $6\rho gh$
解析：
设粗圆柱体底面积为$S_{\mathrm{粗}}$，细圆柱体底面积为$S_{\mathrm{细}}$。
零件总质量$m = \rho V = \rho(S_{\mathrm{粗}}h + S_{\mathrm{细}}h) = \rho h(S_{\mathrm{粗}} + S_{\mathrm{细}})$，总重力$G = mg = \rho gh(S_{\mathrm{粗}} + S_{\mathrm{细}})$。
图甲放置时，受力面积$S = S_{\mathrm{粗}}$，压强$p_{\mathrm{甲}}=\frac{G}{S_{\mathrm{粗}}}=\frac{\rho gh(S_{\mathrm{粗}} + S_{\mathrm{细}})}{S_{\mathrm{粗}}}=1.2\rho gh$，即$\frac{S_{\mathrm{粗}} + S_{\mathrm{细}}}{S_{\mathrm{粗}}}=1.2$，$1+\frac{S_{\mathrm{细}}}{S_{\mathrm{粗}}}=1.2$，$\frac{S_{\mathrm{细}}}{S_{\mathrm{粗}}}=0.2=\frac{1}{5}$，故$S_{\mathrm{粗}}:S_{\mathrm{细}} = 5:1$。
图乙放置时，受力面积$S' = S_{\mathrm{细}}$，压强$p_{\mathrm{乙}}=\frac{G}{S_{\mathrm{细}}}=\frac{\rho gh(S_{\mathrm{粗}} + S_{\mathrm{细}})}{S_{\mathrm{细}}}=\rho gh(\frac{S_{\mathrm{粗}}}{S_{\mathrm{细}}}+1)=\rho gh(5 + 1)=6\rho gh$。
$5:1$；$6\rho gh$
零件总质量$m = \rho V = \rho(S_{\mathrm{粗}}h + S_{\mathrm{细}}h) = \rho h(S_{\mathrm{粗}} + S_{\mathrm{细}})$，总重力$G = mg = \rho gh(S_{\mathrm{粗}} + S_{\mathrm{细}})$。
图甲放置时，受力面积$S = S_{\mathrm{粗}}$，压强$p_{\mathrm{甲}}=\frac{G}{S_{\mathrm{粗}}}=\frac{\rho gh(S_{\mathrm{粗}} + S_{\mathrm{细}})}{S_{\mathrm{粗}}}=1.2\rho gh$，即$\frac{S_{\mathrm{粗}} + S_{\mathrm{细}}}{S_{\mathrm{粗}}}=1.2$，$1+\frac{S_{\mathrm{细}}}{S_{\mathrm{粗}}}=1.2$，$\frac{S_{\mathrm{细}}}{S_{\mathrm{粗}}}=0.2=\frac{1}{5}$，故$S_{\mathrm{粗}}:S_{\mathrm{细}} = 5:1$。
图乙放置时，受力面积$S' = S_{\mathrm{细}}$，压强$p_{\mathrm{乙}}=\frac{G}{S_{\mathrm{细}}}=\frac{\rho gh(S_{\mathrm{粗}} + S_{\mathrm{细}})}{S_{\mathrm{细}}}=\rho gh(\frac{S_{\mathrm{粗}}}{S_{\mathrm{细}}}+1)=\rho gh(5 + 1)=6\rho gh$。
$5:1$；$6\rho gh$
3. 为节约资源，建筑上普遍采用空心砖代替实心砖，空心砖的每一个孔均为圆筒形孔。如图所示，某空心砖的规格为 $ 0.2\mathrm{m}×0.15\mathrm{m}×0.2\mathrm{m} $，实心部分的密度为 $ 2000\mathrm{kg/m}^3 $，砖的实心部分占总体积的 $ 50\% $。
(1) 求该砖块对地面的压力。
(2) 将一块同尺寸的空心砖的不同表面平放在水平地面上，可能会对地面产生的压强不同，写出对地面压强最大的放置方法，并求出压强最大值。
(1) 求该砖块对地面的压力。
(2) 将一块同尺寸的空心砖的不同表面平放在水平地面上，可能会对地面产生的压强不同，写出对地面压强最大的放置方法，并求出压强最大值。
答案：3. 解：(1)由题意可得，砖的实心部分的体积
$V_{实}=50\%×0.2m×0.15m×0.2m=3×10^{-3}m^{3}$，
由$\rho=\frac{m}{V}$得该砖块的质量
$m=\rho V_{实}=2000kg/m^{3}×3×10^{-3}m^{3}=6kg$，
该砖块对地面的压力
$F=G=mg=6kg×9.8N/kg=58.8N$。
(2)不同的放置方法，对地面的压力相同，但将空心砖有孔的面朝下放置在水平面上，受力面积最小，此时对水平面产生的压强最大。
由题意和题图可得，最小受力面积
$S_{最小}=50\%×0.2m×0.15m=0.015m^{2}$，
对地面产生的最大压强
$p_{最大}=\frac{F}{S_{最小}}=\frac{58.8N}{0.015m^{2}}=3920Pa$。
$V_{实}=50\%×0.2m×0.15m×0.2m=3×10^{-3}m^{3}$，
由$\rho=\frac{m}{V}$得该砖块的质量
$m=\rho V_{实}=2000kg/m^{3}×3×10^{-3}m^{3}=6kg$，
该砖块对地面的压力
$F=G=mg=6kg×9.8N/kg=58.8N$。
(2)不同的放置方法，对地面的压力相同，但将空心砖有孔的面朝下放置在水平面上，受力面积最小，此时对水平面产生的压强最大。
由题意和题图可得，最小受力面积
$S_{最小}=50\%×0.2m×0.15m=0.015m^{2}$，
对地面产生的最大压强
$p_{最大}=\frac{F}{S_{最小}}=\frac{58.8N}{0.015m^{2}}=3920Pa$。