1. 下列二次根式中，与$\sqrt{2}$是同类二次根式的是(
A.$\sqrt{4}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{12}$
C
)A.$\sqrt{4}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{12}$
答案：1.C
2. (2025·江苏徐州)下列计算错误的是(
A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$
C.$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=2$
D.$(-\sqrt{3})^{2}=3$
A
)A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$
C.$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=2$
D.$(-\sqrt{3})^{2}=3$
答案：2.A
3. 新素养 推理能力 已知$A=\sqrt{2x + 1}$，$B=\sqrt{x + 3}$，$C=\sqrt{10x + 3y}$，其中$A$，$B$为最简二次根式，且$A + B = C$，则$x + y$的值为(
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
C
)A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
答案：3.C
解析：
因为$A + B = C$，所以$\sqrt{2x + 1} + \sqrt{x + 3} = \sqrt{10x + 3y}$。
两边平方得：$(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{x + 3})^2 = (\sqrt{10x + 3y})^2$，
即$2x + 1 + 2\sqrt{(2x + 1)(x + 3)} + x + 3 = 10x + 3y$，
化简得：$3x + 4 + 2\sqrt{(2x + 1)(x + 3)} = 10x + 3y$，
移项得：$2\sqrt{(2x + 1)(x + 3)} = 7x + 3y - 4$。
因为$A$，$B$为最简二次根式，且等式左边为含有根号的项，右边为整式，所以$\sqrt{(2x + 1)(x + 3)}$必须为整式，即$(2x + 1)(x + 3)$是完全平方数。
设$2x + 1 = a^2$，$x + 3 = b^2$（$a$，$b$为正整数，且$a$，$b$互质），则$2x + 1 - 2(x + 3) = a^2 - 2b^2$，即$2x + 1 - 2x - 6 = a^2 - 2b^2$，$-5 = a^2 - 2b^2$，$2b^2 - a^2 = 5$。
尝试$b = 2$，则$2×4 - a^2 = 5$，$8 - a^2 = 5$，$a^2 = 3$，不是整数；$b = 3$，$2×9 - a^2 = 5$，$18 - a^2 = 5$，$a^2 = 13$，不是整数；$b = 1$，$2×1 - a^2 = 5$，$a^2 = -3$，舍去；$b = 4$，$2×16 - a^2 = 5$，$32 - a^2 = 5$，$a^2 = 27$，不是整数；$b = 5$，$2×25 - a^2 = 5$，$50 - a^2 = 5$，$a^2 = 45$，不是整数；$b = 0$，不符合题意。
另考虑$2x + 1$与$x + 3$是同类二次根式，所以$2x + 1 = x + 3$，解得$x = 2$。
此时$A = \sqrt{2×2 + 1} = \sqrt{5}$，$B = \sqrt{2 + 3} = \sqrt{5}$，则$C = A + B = 2\sqrt{5} = \sqrt{20}$。
又因为$C = \sqrt{10x + 3y}$，所以$10x + 3y = 20$，将$x = 2$代入得$10×2 + 3y = 20$，$20 + 3y = 20$，$3y = 0$，$y = 0$。
所以$x + y = 2 + 0 = 2$。
答案：C
两边平方得：$(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{x + 3})^2 = (\sqrt{10x + 3y})^2$，
即$2x + 1 + 2\sqrt{(2x + 1)(x + 3)} + x + 3 = 10x + 3y$，
化简得：$3x + 4 + 2\sqrt{(2x + 1)(x + 3)} = 10x + 3y$，
移项得：$2\sqrt{(2x + 1)(x + 3)} = 7x + 3y - 4$。
因为$A$，$B$为最简二次根式，且等式左边为含有根号的项，右边为整式，所以$\sqrt{(2x + 1)(x + 3)}$必须为整式，即$(2x + 1)(x + 3)$是完全平方数。
设$2x + 1 = a^2$，$x + 3 = b^2$（$a$，$b$为正整数，且$a$，$b$互质），则$2x + 1 - 2(x + 3) = a^2 - 2b^2$，即$2x + 1 - 2x - 6 = a^2 - 2b^2$，$-5 = a^2 - 2b^2$，$2b^2 - a^2 = 5$。
尝试$b = 2$，则$2×4 - a^2 = 5$，$8 - a^2 = 5$，$a^2 = 3$，不是整数；$b = 3$，$2×9 - a^2 = 5$，$18 - a^2 = 5$，$a^2 = 13$，不是整数；$b = 1$，$2×1 - a^2 = 5$，$a^2 = -3$，舍去；$b = 4$，$2×16 - a^2 = 5$，$32 - a^2 = 5$，$a^2 = 27$，不是整数；$b = 5$，$2×25 - a^2 = 5$，$50 - a^2 = 5$，$a^2 = 45$，不是整数；$b = 0$，不符合题意。
另考虑$2x + 1$与$x + 3$是同类二次根式，所以$2x + 1 = x + 3$，解得$x = 2$。
此时$A = \sqrt{2×2 + 1} = \sqrt{5}$，$B = \sqrt{2 + 3} = \sqrt{5}$，则$C = A + B = 2\sqrt{5} = \sqrt{20}$。
又因为$C = \sqrt{10x + 3y}$，所以$10x + 3y = 20$，将$x = 2$代入得$10×2 + 3y = 20$，$20 + 3y = 20$，$3y = 0$，$y = 0$。
所以$x + y = 2 + 0 = 2$。
答案：C
4. (2024·吉林长春)计算：$\sqrt{12}-\sqrt{3}=$
$\sqrt{3}$
.答案：4.$\sqrt{3}$
解析：
$\sqrt{12}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$
5. 若$a$，$b$为有理数，且$\sqrt{8}+\sqrt{18}+\sqrt{\frac{1}{8}}=a + b\sqrt{2}$，则$a + b=$
$\frac{21}{4}$
.答案：5.$\frac{21}{4}$
解析：
$\sqrt{8}+\sqrt{18}+\sqrt{\frac{1}{8}}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}=(2 + 3+\frac{1}{4})\sqrt{2}=\frac{21}{4}\sqrt{2}$，则$a=0$，$b=\frac{21}{4}$，$a + b=\frac{21}{4}$
6. (教材P169练习1变式)计算：
(1) $4\sqrt{5}-\sqrt{45}-\sqrt{12}+2\sqrt{3}$；
(2) $5\sqrt{\frac{x}{5}}+x\sqrt{\frac{5}{x}}-\sqrt{\frac{5x}{4}}$；
(3) $(\sqrt{24}+\sqrt{0.5})-(\sqrt{\frac{1}{8}}-\sqrt{6})$；
(4) $2a\sqrt{3ab^{2}}-\frac{b}{2}\sqrt{27a^{3}}+3ab\sqrt{\frac{1}{3}a}(b\gt0)$.
(1) $4\sqrt{5}-\sqrt{45}-\sqrt{12}+2\sqrt{3}$；
(2) $5\sqrt{\frac{x}{5}}+x\sqrt{\frac{5}{x}}-\sqrt{\frac{5x}{4}}$；
(3) $(\sqrt{24}+\sqrt{0.5})-(\sqrt{\frac{1}{8}}-\sqrt{6})$；
(4) $2a\sqrt{3ab^{2}}-\frac{b}{2}\sqrt{27a^{3}}+3ab\sqrt{\frac{1}{3}a}(b\gt0)$.
答案：6.(1)原式$=4\sqrt{5}-3\sqrt{5}-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=\sqrt{5}$.
(2)原式$=\sqrt{5x}+\sqrt{5x}-\frac{\sqrt{5x}}{2}=\frac{3\sqrt{5x}}{2}$.
(3)原式$=2\sqrt{6}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{6}=3\sqrt{6}+\frac{\sqrt{2}}{4}$.
(4)原式$=2ab\sqrt{3a}-\frac{3}{2}ab\sqrt{3a}+ab\sqrt{3a}=\frac{3}{2}ab\sqrt{3a}$.
(2)原式$=\sqrt{5x}+\sqrt{5x}-\frac{\sqrt{5x}}{2}=\frac{3\sqrt{5x}}{2}$.
(3)原式$=2\sqrt{6}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{6}=3\sqrt{6}+\frac{\sqrt{2}}{4}$.
(4)原式$=2ab\sqrt{3a}-\frac{3}{2}ab\sqrt{3a}+ab\sqrt{3a}=\frac{3}{2}ab\sqrt{3a}$.
7. 如果等腰三角形的两边长分别为$2\sqrt{3}$和$5\sqrt{2}$，那么该等腰三角形的周长为(
A.$4\sqrt{3}+5\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}+10\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3}+5\sqrt{2}$或$2\sqrt{3}+10\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3}+10\sqrt{2}$
B
)A.$4\sqrt{3}+5\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}+10\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3}+5\sqrt{2}$或$2\sqrt{3}+10\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3}+10\sqrt{2}$
答案：7.B
易错警示
解答此类问题时要考虑三角形的两边之和大于第三边，此处会遗漏，容易造成错误.
易错警示
解答此类问题时要考虑三角形的两边之和大于第三边，此处会遗漏，容易造成错误.
8. 设$m = 5\sqrt{\frac{1}{5}}-\sqrt{45}$，则实数$m$所在的范围是(
A.$m\lt - 5$
B.$-5\lt m\lt - 4$
C.$-4\lt m\lt - 3$
D.$m\gt - 3$
B
)A.$m\lt - 5$
B.$-5\lt m\lt - 4$
C.$-4\lt m\lt - 3$
D.$m\gt - 3$
答案：8.B
解析：
解：$m = 5\sqrt{\frac{1}{5}}-\sqrt{45}$
$=5×\frac{\sqrt{5}}{5}-3\sqrt{5}$
$=\sqrt{5}-3\sqrt{5}$
$=-2\sqrt{5}$
因为$4\lt5\lt9$，所以$\sqrt{4}\lt\sqrt{5}\lt\sqrt{9}$，即$2\lt\sqrt{5}\lt3$。
则$4\lt2\sqrt{5}\lt6$，两边同乘$-1$得$-6\lt-2\sqrt{5}\lt-4$。
又因为$\sqrt{5}\approx2.236$，所以$-2\sqrt{5}\approx-4.472$，故$-5\lt m\lt-4$。
B
$=5×\frac{\sqrt{5}}{5}-3\sqrt{5}$
$=\sqrt{5}-3\sqrt{5}$
$=-2\sqrt{5}$
因为$4\lt5\lt9$，所以$\sqrt{4}\lt\sqrt{5}\lt\sqrt{9}$，即$2\lt\sqrt{5}\lt3$。
则$4\lt2\sqrt{5}\lt6$，两边同乘$-1$得$-6\lt-2\sqrt{5}\lt-4$。
又因为$\sqrt{5}\approx2.236$，所以$-2\sqrt{5}\approx-4.472$，故$-5\lt m\lt-4$。
B
9. 已知$m$，$n$是有理数，且$(\sqrt{5}+2)m+(3 - 2\sqrt{5})n + 7 = 0$，则$m=$
$-2$
，$n=$无对应答案
.答案：9.$-2$
解析：
$-2$;$-1$
10. 亮点原创 已知$\sqrt{a^{2}+6}$是最简二次根式，且与$\sqrt{\frac{5}{8}}$的和为单项式，则$a$的值为
$\pm2$
.答案：10.$\pm2$
解析：
$\sqrt{\frac{5}{8}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，因为$\sqrt{a^2 + 6}$与$\sqrt{\frac{5}{8}}$的和为单项式，所以它们是同类二次根式，即$a^2 + 6 = 10$，解得$a^2 = 4$，$a = \pm 2$。