1. 下列图形一定不能被边长为 4 的正方形完全覆盖的是(
A.半径为 2 的圆
B.半径为 2.5 的半圆
C.两边长分别为$\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}$的三角形
D.斜边长为 5 的直角三角形
B
)A.半径为 2 的圆
B.半径为 2.5 的半圆
C.两边长分别为$\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}$的三角形
D.斜边长为 5 的直角三角形
答案：1. B
解析：
A. 半径为2的圆，直径为4，正方形边长为4，圆的直径等于正方形边长，能被覆盖。
B. 半径为2.5的半圆，直径为5，正方形边长为4，5＞4，半圆直径大于正方形边长，不能被覆盖。
C. 两边长分别为$\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}$，根据三角形三边关系，第三边小于$\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\approx5.656$，大于$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}\approx2.828$，以$\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}$为直角边时，斜边长为$\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(3\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{2 + 18}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx4.472$，可放入边长4的正方形，能被覆盖。
D. 斜边长为5的直角三角形，两直角边平方和为25，设两直角边为a，b，$a^{2}+b^{2}=25$，当a=3，b=4时，两直角边分别为3和4，3＜4，4=4，能放入边长4的正方形，能被覆盖。
B
B. 半径为2.5的半圆，直径为5，正方形边长为4，5＞4，半圆直径大于正方形边长，不能被覆盖。
C. 两边长分别为$\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}$，根据三角形三边关系，第三边小于$\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\approx5.656$，大于$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}\approx2.828$，以$\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}$为直角边时，斜边长为$\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(3\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{2 + 18}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx4.472$，可放入边长4的正方形，能被覆盖。
D. 斜边长为5的直角三角形，两直角边平方和为25，设两直角边为a，b，$a^{2}+b^{2}=25$，当a=3，b=4时，两直角边分别为3和4，3＜4，4=4，能放入边长4的正方形，能被覆盖。
B
2. 已知矩形的周长为 $4\sqrt{5}$，其中一边的长为$\sqrt{5}-\sqrt{3}$，则该矩形的面积为
2
.答案：2. 2
解析：
设矩形的另一边长为$x$。
因为矩形周长为$4\sqrt{5}$，所以$2×(\sqrt{5}-\sqrt{3}+x)=4\sqrt{5}$，
解得$x = 2\sqrt{5}-(\sqrt{5}-\sqrt{3})=\sqrt{5}+\sqrt{3}$。
矩形面积为$(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2=5 - 3=2$。
2
因为矩形周长为$4\sqrt{5}$，所以$2×(\sqrt{5}-\sqrt{3}+x)=4\sqrt{5}$，
解得$x = 2\sqrt{5}-(\sqrt{5}-\sqrt{3})=\sqrt{5}+\sqrt{3}$。
矩形面积为$(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2=5 - 3=2$。
2
3. 已知 $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=3$，则$\frac{x}{x^{2}+2018x + 1}$的值为(
A.$\frac{1}{2025}$
B.$\frac{1}{2020}$
C.2025
D.2020
A
)A.$\frac{1}{2025}$
B.$\frac{1}{2020}$
C.2025
D.2020
答案：3. A
解析：
已知$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}} = 3$，两边平方得$x + 2+\frac{1}{x}=9$，即$x+\frac{1}{x}=7$。
等式两边同乘$x$（$x\neq0$），得$x^{2}+1 = 7x$，则$x^{2}+7x + 1=14x$（此步有误，应为$x^{2}+1=7x$，则$x^{2}+2018x + 1=2025x$）。
所以$\frac{x}{x^{2}+2018x + 1}=\frac{x}{2025x}=\frac{1}{2025}$
A
等式两边同乘$x$（$x\neq0$），得$x^{2}+1 = 7x$，则$x^{2}+7x + 1=14x$（此步有误，应为$x^{2}+1=7x$，则$x^{2}+2018x + 1=2025x$）。
所以$\frac{x}{x^{2}+2018x + 1}=\frac{x}{2025x}=\frac{1}{2025}$
A
4. 已知$\sqrt{11 - x^{2}}+\sqrt{2 + x^{2}}=5$，求$(11 - x^{2})·\sqrt{2 + x^{2}}+(2 + x^{2})·\sqrt{11 - x^{2}}$的值.
答案：4. 设$\sqrt{11 - x^2} = a$，$\sqrt{2 + x^2} = b$，则$a^2 + b^2 = 13$。又$\sqrt{11 - x^2} + \sqrt{2 + x^2} = 5$，所以$a + b = 5$，即$ab = \frac{(a + b)^2 - (a^2 + b^2)}{2} = 6$。所以$(11 - x^2) · \sqrt{2 + x^2} + (2 + x^2) · \sqrt{11 - x^2} = a^2b + ab^2 = ab(a + b) = 6 × 5 = 30$。
解析：
设$\sqrt{11 - x^2} = a$，$\sqrt{2 + x^2} = b$，则$a^2 = 11 - x^2$，$b^2 = 2 + x^2$，所以$a^2 + b^2 = (11 - x^2) + (2 + x^2) = 13$。
已知$\sqrt{11 - x^2} + \sqrt{2 + x^2} = 5$，即$a + b = 5$。
因为$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，所以$ab = \frac{(a + b)^2 - (a^2 + b^2)}{2} = \frac{5^2 - 13}{2} = \frac{25 - 13}{2} = 6$。
则$(11 - x^2)·\sqrt{2 + x^2} + (2 + x^2)·\sqrt{11 - x^2} = a^2b + ab^2 = ab(a + b) = 6×5 = 30$。
30
已知$\sqrt{11 - x^2} + \sqrt{2 + x^2} = 5$，即$a + b = 5$。
因为$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，所以$ab = \frac{(a + b)^2 - (a^2 + b^2)}{2} = \frac{5^2 - 13}{2} = \frac{25 - 13}{2} = 6$。
则$(11 - x^2)·\sqrt{2 + x^2} + (2 + x^2)·\sqrt{11 - x^2} = a^2b + ab^2 = ab(a + b) = 6×5 = 30$。
30
5. 已知在$\triangle ABC$中，$AB = 4$，$AC=\sqrt{11}$，且边 $BC$ 上的高$AD=\sqrt{7}$，则 $BC$ 的长为(
A.1
B.5
C.3
D.1 或 5
D
)A.1
B.5
C.3
D.1 或 5
答案：5. D
解析：
在$\triangle ABC$中，$AD$是边$BC$上的高，分两种情况：
情况一：高$AD$在$\triangle ABC$内部
在$\mathrm{Rt}\triangle ABD$中，$AB=4$，$AD=\sqrt{7}$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{4^2-(\sqrt{7})^2}=\sqrt{16-7}=\sqrt{9}=3$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ACD$中，$AC=\sqrt{11}$，$AD=\sqrt{7}$，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(\sqrt{11})^2-(\sqrt{7})^2}=\sqrt{11-7}=\sqrt{4}=2$。
此时$BC=BD+CD=3+2=5$。
情况二：高$AD$在$\triangle ABC$外部
在$\mathrm{Rt}\triangle ABD$中，$BD=3$；在$\mathrm{Rt}\triangle ACD$中，$CD=2$。
此时$BC=BD-CD=3-2=1$。
综上，$BC$的长为$1$或$5$。
D
情况一：高$AD$在$\triangle ABC$内部
在$\mathrm{Rt}\triangle ABD$中，$AB=4$，$AD=\sqrt{7}$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{4^2-(\sqrt{7})^2}=\sqrt{16-7}=\sqrt{9}=3$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ACD$中，$AC=\sqrt{11}$，$AD=\sqrt{7}$，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(\sqrt{11})^2-(\sqrt{7})^2}=\sqrt{11-7}=\sqrt{4}=2$。
此时$BC=BD+CD=3+2=5$。
情况二：高$AD$在$\triangle ABC$外部
在$\mathrm{Rt}\triangle ABD$中，$BD=3$；在$\mathrm{Rt}\triangle ACD$中，$CD=2$。
此时$BC=BD-CD=3-2=1$。
综上，$BC$的长为$1$或$5$。
D
6. 已知$\sqrt{(x - 2)^{2}}+\sqrt{(x - 3)^{2}}=x$，则 $x$ 的值为
$\frac{5}{3}$或$5$
.答案：6. $\frac{5}{3}$或$5$
解析：
解：$\sqrt{(x - 2)^{2}}+\sqrt{(x - 3)^{2}} = |x - 2| + |x - 3|$
当$x ＜ 2$时，$|x - 2| + |x - 3| = 2 - x + 3 - x = 5 - 2x$，则$5 - 2x = x$，解得$x = \frac{5}{3}$，符合$x ＜ 2$。
当$2 \leq x \leq 3$时，$|x - 2| + |x - 3| = x - 2 + 3 - x = 1$，则$1 = x$，解得$x = 1$，不符合$2 \leq x \leq 3$，舍去。
当$x ＞ 3$时，$|x - 2| + |x - 3| = x - 2 + x - 3 = 2x - 5$，则$2x - 5 = x$，解得$x = 5$，符合$x ＞ 3$。
综上，$x$的值为$\frac{5}{3}$或$5$。
当$x ＜ 2$时，$|x - 2| + |x - 3| = 2 - x + 3 - x = 5 - 2x$，则$5 - 2x = x$，解得$x = \frac{5}{3}$，符合$x ＜ 2$。
当$2 \leq x \leq 3$时，$|x - 2| + |x - 3| = x - 2 + 3 - x = 1$，则$1 = x$，解得$x = 1$，不符合$2 \leq x \leq 3$，舍去。
当$x ＞ 3$时，$|x - 2| + |x - 3| = x - 2 + x - 3 = 2x - 5$，则$2x - 5 = x$，解得$x = 5$，符合$x ＞ 3$。
综上，$x$的值为$\frac{5}{3}$或$5$。
7. 新趋势 推导探究 观察下列各式及其验证过程.
① $2\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$；
验证：$2\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2^{3}}{3}}=\sqrt{\frac{(2^{3}-2)+2}{2^{2}-1}}=\sqrt{\frac{2×(2^{2}-1)+2}{2^{2}-1}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$.
② $3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$.
验证：$3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{3^{3}}{8}}=\sqrt{\frac{(3^{3}-3)+3}{3^{2}-1}}=\sqrt{\frac{3×(3^{2}-1)+3}{3^{2}-1}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$.
(1) 按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 $4\sqrt{\frac{4}{15}}$ 的变形结果，并进行验证；
(2) 针对上述各式反映的规律，写出用 $n$ 表示的等式，其中 $n$ 为自然数，且 $n\geqslant2$，并进行证明.
① $2\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$；
验证：$2\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2^{3}}{3}}=\sqrt{\frac{(2^{3}-2)+2}{2^{2}-1}}=\sqrt{\frac{2×(2^{2}-1)+2}{2^{2}-1}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$.
② $3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$.
验证：$3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{3^{3}}{8}}=\sqrt{\frac{(3^{3}-3)+3}{3^{2}-1}}=\sqrt{\frac{3×(3^{2}-1)+3}{3^{2}-1}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$.
(1) 按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 $4\sqrt{\frac{4}{15}}$ 的变形结果，并进行验证；
(2) 针对上述各式反映的规律，写出用 $n$ 表示的等式，其中 $n$ 为自然数，且 $n\geqslant2$，并进行证明.
答案：7. (1)$4\sqrt{\frac{4}{15}} = \sqrt{4 + \frac{4}{15}}$。验证如下：$4\sqrt{\frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{4^3}{15}} = \sqrt{\frac{4^3 - 4 + 4}{4^2 - 1}} = \sqrt{\frac{4 × (4^2 - 1) + 4}{4^2 - 1}} = \sqrt{4 + \frac{4}{15}}$。
(2)$n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}} = \sqrt{n + \frac{n}{n^2 - 1}}$。证明如下：
$n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}} = \sqrt{\frac{n^3}{n^2 - 1}} = \sqrt{\frac{n^3 - n + n}{n^2 - 1}} = \sqrt{\frac{n(n^2 - 1) + n}{n^2 - 1}} = \sqrt{n + \frac{n}{n - 1}}$。
(2)$n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}} = \sqrt{n + \frac{n}{n^2 - 1}}$。证明如下：
$n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}} = \sqrt{\frac{n^3}{n^2 - 1}} = \sqrt{\frac{n^3 - n + n}{n^2 - 1}} = \sqrt{\frac{n(n^2 - 1) + n}{n^2 - 1}} = \sqrt{n + \frac{n}{n - 1}}$。