1. 已知$\sqrt{(2 - 3|x|)^2} = 2 + 3x$，则$x$的取值范围是(
A.$-\dfrac{2}{3}\leqslant x\leqslant\dfrac{2}{3}$
B.$-\dfrac{2}{3}\leqslant x\leqslant0$
C.$0\leqslant x\leqslant\dfrac{2}{3}$
D.$x\leqslant\dfrac{2}{3}$或$x\geqslant\dfrac{2}{3}$
B
)A.$-\dfrac{2}{3}\leqslant x\leqslant\dfrac{2}{3}$
B.$-\dfrac{2}{3}\leqslant x\leqslant0$
C.$0\leqslant x\leqslant\dfrac{2}{3}$
D.$x\leqslant\dfrac{2}{3}$或$x\geqslant\dfrac{2}{3}$
答案：1. B
解析：
$\sqrt{(2 - 3|x|)^2} = |2 - 3|x||$，则$|2 - 3|x|| = 2 + 3x$。
因为等式右边$2 + 3x \geq 0$，所以$3x \geq -2$，即$x \geq -\dfrac{2}{3}$。
当$x \geq 0$时，$|x| = x$，原方程化为$|2 - 3x| = 2 + 3x$。
若$2 - 3x \geq 0$，即$x \leq \dfrac{2}{3}$，则$2 - 3x = 2 + 3x$，解得$x = 0$；
若$2 - 3x ＜ 0$，即$x ＞ \dfrac{2}{3}$，则$3x - 2 = 2 + 3x$，$-2 = 2$，无解。
当$x ＜ 0$时，$|x| = -x$，原方程化为$|2 + 3x| = 2 + 3x$，所以$2 + 3x \geq 0$，即$x \geq -\dfrac{2}{3}$，故$-\dfrac{2}{3} \leq x ＜ 0$。
综上，$x$的取值范围是$-\dfrac{2}{3} \leq x \leq 0$。
B
因为等式右边$2 + 3x \geq 0$，所以$3x \geq -2$，即$x \geq -\dfrac{2}{3}$。
当$x \geq 0$时，$|x| = x$，原方程化为$|2 - 3x| = 2 + 3x$。
若$2 - 3x \geq 0$，即$x \leq \dfrac{2}{3}$，则$2 - 3x = 2 + 3x$，解得$x = 0$；
若$2 - 3x ＜ 0$，即$x ＞ \dfrac{2}{3}$，则$3x - 2 = 2 + 3x$，$-2 = 2$，无解。
当$x ＜ 0$时，$|x| = -x$，原方程化为$|2 + 3x| = 2 + 3x$，所以$2 + 3x \geq 0$，即$x \geq -\dfrac{2}{3}$，故$-\dfrac{2}{3} \leq x ＜ 0$。
综上，$x$的取值范围是$-\dfrac{2}{3} \leq x \leq 0$。
B
2. 若$\sqrt{x} + \sqrt{\dfrac{1}{x}} = \sqrt{5}$，则$\sqrt{\dfrac{x}{x^2 + x + 1}} - \sqrt{\dfrac{x}{x^2 - x + 1}}$的值为(
A.$\dfrac{1 - \sqrt{2}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2} - 1}{2}$
C.$2 + 2\sqrt{2}$
D.$-2 - 2\sqrt{2}$
A
)A.$\dfrac{1 - \sqrt{2}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2} - 1}{2}$
C.$2 + 2\sqrt{2}$
D.$-2 - 2\sqrt{2}$
答案：2. A
解析：
设$\sqrt{x} = t$（$t ＞ 0$），则$\sqrt{\dfrac{1}{x}} = \dfrac{1}{t}$，已知$t + \dfrac{1}{t} = \sqrt{5}$。
两边平方得：$t^2 + 2 + \dfrac{1}{t^2} = 5$，即$t^2 + \dfrac{1}{t^2} = 3$。
$\sqrt{\dfrac{x}{x^2 + x + 1}} = \sqrt{\dfrac{1}{x + 1 + \dfrac{1}{x}}} = \sqrt{\dfrac{1}{t^2 + \dfrac{1}{t^2} + 1}} = \sqrt{\dfrac{1}{3 + 1}} = \dfrac{1}{2}$。
$\sqrt{\dfrac{x}{x^2 - x + 1}} = \sqrt{\dfrac{1}{x - 1 + \dfrac{1}{x}}} = \sqrt{\dfrac{1}{t^2 + \dfrac{1}{t^2} - 1}} = \sqrt{\dfrac{1}{3 - 1}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
则原式$= \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1 - \sqrt{2}}{2}$。
A
两边平方得：$t^2 + 2 + \dfrac{1}{t^2} = 5$，即$t^2 + \dfrac{1}{t^2} = 3$。
$\sqrt{\dfrac{x}{x^2 + x + 1}} = \sqrt{\dfrac{1}{x + 1 + \dfrac{1}{x}}} = \sqrt{\dfrac{1}{t^2 + \dfrac{1}{t^2} + 1}} = \sqrt{\dfrac{1}{3 + 1}} = \dfrac{1}{2}$。
$\sqrt{\dfrac{x}{x^2 - x + 1}} = \sqrt{\dfrac{1}{x - 1 + \dfrac{1}{x}}} = \sqrt{\dfrac{1}{t^2 + \dfrac{1}{t^2} - 1}} = \sqrt{\dfrac{1}{3 - 1}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
则原式$= \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1 - \sqrt{2}}{2}$。
A
3. 已知$a = \dfrac{1}{2}\sqrt{2 + \dfrac{1}{8}} - \dfrac{1}{8}\sqrt{2}$，则$a^2 + \sqrt{a^4 + a + 1}$的值为(
A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$4$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
A
)A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$4$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
答案：3. A 解析：因为$a = \frac {1}{2}\sqrt {2} + \frac {1}{8} - \frac {1}{8}\sqrt {2}$，所以$a + \frac {1}{8}\sqrt {2} = \frac {1}{2}\sqrt {2} + \frac {1}{8}$. 两边平方并化简，得$2\sqrt {2}a^{2} + a = 1$. 所以$a^{2} = \frac {\sqrt {2} - \sqrt {2}a}{4}$，即$a^{4} = \frac {a^{2} - 2a + 1}{8}$. 又$( \frac {1}{2}\sqrt {2} + \frac {1}{8} )^{2} - ( \frac {1}{8}\sqrt {2} )^{2} = \frac {\sqrt {2}}{4} ＞ 0$，所以$a ＞ 0$. 所以$a^{2} + \sqrt {a^{4} + a + 1} = a^{2} + \sqrt {\frac {a^{2} - 2a + 1}{8} + a + 1} = a^{2} + \sqrt {\frac {a^{2} + 6a + 9}{8}} = a^{2} + \frac {a + 3}{2\sqrt {2}} = \frac {2\sqrt {2}a^{2} + a + 3}{2\sqrt {2}} = \frac {1 + 3}{2\sqrt {2}} = \sqrt {2}$.
4. 已知某直角三角形的周长为$4 + 2\sqrt{6}$，斜边的中线长为$2$，则它的面积是
2
。答案：4. 2 解析：设该直角三角形两直角边及斜边的长分别为$a,b,c$，则$a + b + c = 4 + 2\sqrt {6}$，$c = 2 × 2 = 4$. 所以$a + b = 2\sqrt {6}$，$a^{2} + b^{2} = c^{2} = 16$. 因为$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$，所以$ab = \frac {(a + b)^{2} - a^{2} - b^{2}}{2} = 4$. 所以该直角三角形的面积为$\frac {1}{2}ab = 2$.
解析：
设该直角三角形两直角边及斜边的长分别为$a$，$b$，$c$。
因为直角三角形斜边的中线长为$2$，所以斜边$c = 2×2 = 4$。
已知周长为$4 + 2\sqrt{6}$，则$a + b + c = 4 + 2\sqrt{6}$，可得$a + b = 2\sqrt{6}$。
由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2 = 16$。
因为$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，所以$(2\sqrt{6})^2 = 16 + 2ab$，即$24 = 16 + 2ab$，解得$ab = 4$。
该直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}×4 = 2$。
2
因为直角三角形斜边的中线长为$2$，所以斜边$c = 2×2 = 4$。
已知周长为$4 + 2\sqrt{6}$，则$a + b + c = 4 + 2\sqrt{6}$，可得$a + b = 2\sqrt{6}$。
由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2 = 16$。
因为$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，所以$(2\sqrt{6})^2 = 16 + 2ab$，即$24 = 16 + 2ab$，解得$ab = 4$。
该直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}×4 = 2$。
2
5. 定义新运算：$\sum_{i = 1}^{n}f(i) = f(1) + f(2) + ··· + f(n)$，则$(\sqrt{3m + 2} + \dfrac{2}{\sqrt{2}}) · \sum_{i = 1}^{m}\dfrac{1}{\sqrt{3i + 2} + \sqrt{3i - 1}}$的值为
m
。(用含$m$的代数式表示)答案：5. $m$ 解析：由题意，得$( \sqrt {3m + 2} + \frac {2}{\sqrt {2}} ) · \sum _i = 1^{m} \frac {1}{\sqrt {3i + 2} + \sqrt {3i - 1}} = (\sqrt {3m + 2} + \sqrt {2}) · ( \frac {1}{\sqrt {5} + \sqrt {2}} + \frac {1}{\sqrt {8} + \sqrt {5}} + ··· + \frac {1}{\sqrt {3m + 2} + \sqrt {3m - 1}} ) = (\sqrt {3m + 2} + \sqrt {2}) · ( \frac {\sqrt {5} - \sqrt {2}}{3} + \frac {\sqrt {8} - \sqrt {5}}{3} + ··· + \frac {\sqrt {3m + 2} - \sqrt {3m - 1}}{3} ) = (\sqrt {3m + 2} + \sqrt {2}) · \frac {\sqrt {3m + 2} - \sqrt {2}}{3} = m$.
6. 已知$x = \sqrt{50 + \sqrt{14a}} + \sqrt{50 - \sqrt{14a}}$，其中$a$为正整数，则所有使得$x$为整数的$a$的值之和为
158
。答案：6. 158 解析：由题意，得$x ＞ 0$，$50 - \sqrt {14a} ＞ 0$，所以$a \leq 178$. 因为$x = \sqrt {50 + \sqrt {14a}} + \sqrt {50 - \sqrt {14a}}$，所以$x^{2} = 100 + 2\sqrt {2500 - 14a}$. 所以$100 ＜ x^{2} ＜ 100 + 2\sqrt {2500}$，即$100 ＜ x^{2} ＜ 200$. 因为$10^{2} = 100$，$14^{2} = 196$，$15^{2} = 225$，所以$11 \leq x \leq 14$. 当$x = 11$时，$x^{2} = 121$，所以$121 = 100 + 2\sqrt {2500 - 14a}$，即$\sqrt {2500 - 14a} = \frac {21}{2}$，显然$a$不是正整数；当$x = 12$时，$x^{2} = 144$，所以$144 = 100 + 2\sqrt {2500 - 14a}$，即$\sqrt {2500 - 14a} = 22$，解得$a = 144$；当$x = 13$时，$x^{2} = 169$，所以$169 = 100 + 2\sqrt {2500 - 14a}$，即$\sqrt {2500 - 14a} = \frac {69}{2}$，显然$a$不是正整数；当$x = 14$时，$x^{2} = 196$，所以$196 = 100 + 2\sqrt {2500 - 14a}$，即$\sqrt {2500 - 14a} = 48$，解得$a = 14$. 综上，$a = 14$或$144$. 则所有使得$x$为整数的$a$的值之和为$14 + 144 = 158$.
7. （1）已知正整数$n$满足不等式$\dfrac{7}{8} ＜ \dfrac{1}{\sqrt{2} + 2} + \dfrac{1}{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}} + \dfrac{1}{3\sqrt{4} + 4\sqrt{3}} + ··· + \dfrac{1}{n\sqrt{n + 1} + (n + 1)\sqrt{n}} ＜ \dfrac{8}{9}$，求$n$的最大值与最小值之差；
（2）已知$\sqrt{x} = \sqrt{a} + \dfrac{1}{\sqrt{a}}(0 ＜ a ＜ 1)$，求代数式$\dfrac{x^2 + x - 6}{x} ÷ \dfrac{x + 3}{x^2 - 2x} - \dfrac{x - 2 + \sqrt{x^2 - 4x}}{x - 2 - \sqrt{x^2 - 4x}}$的值（用含$a$的代数式表示）。
（2）已知$\sqrt{x} = \sqrt{a} + \dfrac{1}{\sqrt{a}}(0 ＜ a ＜ 1)$，求代数式$\dfrac{x^2 + x - 6}{x} ÷ \dfrac{x + 3}{x^2 - 2x} - \dfrac{x - 2 + \sqrt{x^2 - 4x}}{x - 2 - \sqrt{x^2 - 4x}}$的值（用含$a$的代数式表示）。
答案：7. (1) 因为$\frac {1}{n\sqrt {n + 1} + (n + 1)\sqrt {n}} = \frac {\sqrt {n + 1} - \sqrt {n}}{[ n\sqrt {n + 1} + (n + 1)\sqrt {n} ] ( \sqrt {n + 1} - \sqrt {n} )} = \frac {\sqrt {n + 1} - \sqrt {n}}{\sqrt {n(n + 1)}}$，所以$\frac {1}{\sqrt {n}} \frac {1}{\sqrt {n + 1}} = \frac {\sqrt {n + 1} - \sqrt {n}}{\sqrt {n(n + 1)}}$，$\frac {1}{n\sqrt {n + 1} + (n + 1)\sqrt {n}} = \frac {1}{\sqrt {n}} - \frac {1}{\sqrt {n + 1}}$. 则原不等式可化为$\frac {7}{8} ＜ 1 - \frac {1}{\sqrt {n + 1}} ＜ \frac {8}{9}$，解得$63 ＜ n ＜ 80$. 又$n$为正整数，所以$n$的最小值为$64$，$n$的最大值为$79$，即$n$的最大值与最小值之差为$79 - 64 = 15$.
(2) 因为$\sqrt {x} = \sqrt {a} + \frac {1}{\sqrt {a}}$，所以$x = a + \frac {1}{a} + 2$. 所以$x - 2 = a + \frac {1}{a}$，即$(x - 2)^{2} = ( a + \frac {1}{a} )^{2}$. 所以$x^{2} - 4x = a^{2} + \frac {1}{a^{2}} - 2 = ( a - \frac {1}{a} )^{2}$. 所以原式$= \frac {(x + 3)(x - 2)}{x} · \frac {x(x - 2)}{x + 3} - \frac {x - 2 + \sqrt {x^{2} - 4x}}{x - 2 - \sqrt {x^{2} - 4x}} = ( a + \frac {1}{a} ) · \frac {\sqrt {3m + 2} - \sqrt {3m - 1}}{3} = \frac {a + \frac {1}{a} + \sqrt {( a - \frac {1}{a} )^{2}}}{a + \frac {1}{a} - \sqrt {( a - \frac {1}{a} )^{2}}}$. 又$0 ＜ a ＜ 1$，所以$a - \frac {1}{a} a + \frac {1}{a} - a \frac {1}{a} = \frac {a^{2} + \frac {1}{a^{2}} + 2 - \frac {1}{a^{2}}}{a^{2} + 2 - \frac {1}{a^{2}}} = a^{2} + 2$.
(2) 因为$\sqrt {x} = \sqrt {a} + \frac {1}{\sqrt {a}}$，所以$x = a + \frac {1}{a} + 2$. 所以$x - 2 = a + \frac {1}{a}$，即$(x - 2)^{2} = ( a + \frac {1}{a} )^{2}$. 所以$x^{2} - 4x = a^{2} + \frac {1}{a^{2}} - 2 = ( a - \frac {1}{a} )^{2}$. 所以原式$= \frac {(x + 3)(x - 2)}{x} · \frac {x(x - 2)}{x + 3} - \frac {x - 2 + \sqrt {x^{2} - 4x}}{x - 2 - \sqrt {x^{2} - 4x}} = ( a + \frac {1}{a} ) · \frac {\sqrt {3m + 2} - \sqrt {3m - 1}}{3} = \frac {a + \frac {1}{a} + \sqrt {( a - \frac {1}{a} )^{2}}}{a + \frac {1}{a} - \sqrt {( a - \frac {1}{a} )^{2}}}$. 又$0 ＜ a ＜ 1$，所以$a - \frac {1}{a} a + \frac {1}{a} - a \frac {1}{a} = \frac {a^{2} + \frac {1}{a^{2}} + 2 - \frac {1}{a^{2}}}{a^{2} + 2 - \frac {1}{a^{2}}} = a^{2} + 2$.
8. 新素养 抽象能力 已知实数$x$，$y$满足$(x + \sqrt{x^2 + 1})(y + \sqrt{y^2 + 1}) = 1$，求证：$x + y = 0$。
证法一（分母有理化）：
证法二（等式两边乘有理化因式）：
证法一（分母有理化）：
证法二（等式两边乘有理化因式）：
答案：8. 证法一：因为$(x + \sqrt {x^{2} + 1})(y + \sqrt {y^{2} + 1}) = 1$，所以$x + \sqrt {x^{2} + 1} = \frac {1}{y + \sqrt {y^{2} + 1}} = \sqrt {y^{2} + 1} - y$. 所以$(y + \sqrt {y^{2} + 1})(\sqrt {y^{2} + 1} - y) = \sqrt {y^{2} + 1} - y$，即$y + \sqrt {y^{2} + 1} = \sqrt {y^{2} + 1} - y$①，$x + \sqrt {x^{2} + 1} = \sqrt {y^{2} + 1} - y$②. 由① + ②，得$x + y + \sqrt {x^{2} + 1} + \sqrt {y^{2} + 1} = \sqrt {x^{2} + 1} + \sqrt {y^{2} + 1} - (x + y)$，即$x + y = -(x + y)$. 则$x + y = 0$.
证法二：因为$(x + \sqrt {x^{2} + 1})(y + \sqrt {y^{2} + 1}) = 1$，所以$(\sqrt {x^{2} + 1} - x)(x + \sqrt {x^{2} + 1})(y + \sqrt {y^{2} + 1}) · (\sqrt {y^{2} + 1} - y) = \sqrt {y^{2} + 1} - y$，即
证法二：因为$(x + \sqrt {x^{2} + 1})(y + \sqrt {y^{2} + 1}) = 1$，所以$(\sqrt {x^{2} + 1} - x)(x + \sqrt {x^{2} + 1})(y + \sqrt {y^{2} + 1}) · (\sqrt {y^{2} + 1} - y) = \sqrt {y^{2} + 1} - y$，即