7. 新趋势 推导探究 问题情境：如图①，矩形纸片 $ABCD$ 的边 $AB = 6\mathrm{cm}$，$BC = 8\mathrm{cm}$，沿对角线 $AC$ 剪开，得到两张三角形纸片，分别为 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ADC$。令 $\triangle ABC$ 固定不动，把 $\triangle ADC$ 平移得到 $\triangle A'D'C'$，设平移的距离是 $m\mathrm{cm}(0 ＜ m ＜ 10)$。
（1）操作探究：如图②，把 $\triangle ADC$ 沿射线 $CB$ 平移得到 $\triangle A'D'C'$，当四边形 $ABC'D'$ 是正方形时，直接写出 $m$ 的值；
（2）拓展探究：如图③，把 $\triangle ADC$ 沿射线 $CA$ 平移得到 $\triangle A'D'C'$，连接 $AD'$，$A'B$，$BC'$。
① 求证：四边形 $ABC'D'$ 是平行四边形；
② 当四边形 $ABC'D'$ 是菱形时，求 $A'B$ 的长。
（1）操作探究：如图②，把 $\triangle ADC$ 沿射线 $CB$ 平移得到 $\triangle A'D'C'$，当四边形 $ABC'D'$ 是正方形时，直接写出 $m$ 的值；
（2）拓展探究：如图③，把 $\triangle ADC$ 沿射线 $CA$ 平移得到 $\triangle A'D'C'$，连接 $AD'$，$A'B$，$BC'$。
① 求证：四边形 $ABC'D'$ 是平行四边形；
② 当四边形 $ABC'D'$ 是菱形时，求 $A'B$ 的长。
答案：7.(1)m的值为2.
(2)①因为四边形ABCD是矩形，所以AB = CD，AB//CD.所以∠DCA = ∠BAC.把△ADC沿射线CA平移得到△A'D'C'，则∠D'C'A' = ∠DCA = ∠BAC，C'D' = CD = AB，即AB//C'D'.所以四边形ABC'D'是平行四边形.
②因为四边形ABC'D'是菱形，所以AB = AD'，∠BAC' = ∠D'AC'，即∠BAA' = ∠D'AA'.又AA' = AA'，所以△BAA'≌△DAA'(SAS).所以A'B = A'D'.因为△ADC沿射线CA平移得到△A'D'C'，且0＜m＜10，所以A'D' = AD，即A'B = AD.由(1)，得AD = 8cm，所以A'B = 8cm.
(2)①因为四边形ABCD是矩形，所以AB = CD，AB//CD.所以∠DCA = ∠BAC.把△ADC沿射线CA平移得到△A'D'C'，则∠D'C'A' = ∠DCA = ∠BAC，C'D' = CD = AB，即AB//C'D'.所以四边形ABC'D'是平行四边形.
②因为四边形ABC'D'是菱形，所以AB = AD'，∠BAC' = ∠D'AC'，即∠BAA' = ∠D'AA'.又AA' = AA'，所以△BAA'≌△DAA'(SAS).所以A'B = A'D'.因为△ADC沿射线CA平移得到△A'D'C'，且0＜m＜10，所以A'D' = AD，即A'B = AD.由(1)，得AD = 8cm，所以A'B = 8cm.
8. 如图①，在平行四边形 $ABCD$ 中，$AB = 5\mathrm{cm}$，$BC = 2\mathrm{cm}$，$\angle BCD = 120^{\circ}$，$CE$ 平分 $\angle BCD$ 交 $AB$ 于点 $E$，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $AB$ 方向以 $1\mathrm{cm/s}$ 的速度运动，连接 $CP$，将 $\triangle PCE$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转 $60^{\circ}$，使 $CE$ 与 $CB$ 重合，得到 $\triangle QCB$，连接 $PQ$。
（1）求证：$\triangle PCQ$ 是等边三角形；
（2）如图②，当点 $P$ 在线段 $EB$ 上运动时，$\triangle PBQ$ 的周长是否存在最小值？若存在，求出 $\triangle PBQ$ 周长的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，当点 $P$ 在射线 $AM$ 上运动时，是否存在以 $P$，$B$，$Q$ 三点为顶点的直角三角形？若存在，求出此时 $t$ 的值；若不存在，请说明理由。
（1）求证：$\triangle PCQ$ 是等边三角形；
（2）如图②，当点 $P$ 在线段 $EB$ 上运动时，$\triangle PBQ$ 的周长是否存在最小值？若存在，求出 $\triangle PBQ$ 周长的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，当点 $P$ 在射线 $AM$ 上运动时，是否存在以 $P$，$B$，$Q$ 三点为顶点的直角三角形？若存在，求出此时 $t$ 的值；若不存在，请说明理由。
答案：8.(1)由旋转的性质，得CP = CQ，∠PCQ = 60°，所以△PCQ是等边三角形.
(2)存在.因为CE平分∠BCD，且∠BCD = 120°，所以∠BCE = ∠DCE = $\frac{1}{2}$∠BCD = 60°.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD.所以∠BEC = ∠DCE = 60°，∠ABC + ∠BCD = 180°，即∠ABC = 60°.所以△BCE是等边三角形.所以BE = BC = CE.又BC = 2cm，所以BE = 2cm.由(1)，得△PCQ是等边三角形，所以CP = PQ = CQ，∠PCQ = 60°.所以∠BCE - ∠BCP = ∠PCQ - ∠BCP，即∠PCE = ∠QCB.所以△PCE≌△QCB(SAS).所以EP = BQ.所以C△PBQ = PB + BQ + PQ = PB + EP + CP = BE + CP = 2 + CP.又点P在线段EB上运动，所以当CP⊥AB时，CP的长最小，即△PBQ的周长最小.此时∠CPB = 90°.所以∠BCP = 90° - ∠ABC = 30°.所以BP = $\frac{1}{2}$BC = 1cm.在Rt△BPC中，由勾股定理，得CP = $\sqrt{BC² - BP²}$ = $\sqrt{3}$cm.所以△PBQ的周长的最小值为(2 + $\sqrt{3}$)cm.
(3)存在.同(1)，得△PCQ是等边三角形.所以∠CPQ = ∠PQC = 60°，CP = CQ = PQ.当t = 5时，P，B两点重合，不符合题意；当点P在线段AE上，即0≤t＜3时，同(2)，得△PCE≌△QCB，所以∠CPE = ∠CQB.因为∠CPQ = ∠CPB + ∠BPQ = 60°，所以∠BPQ + ∠CQB = 60°.又∠BPQ + ∠PQC + ∠CQB + ∠PBQ = 180°，所以∠PBQ = 60°.又∠BPQ＜∠CPQ = 60°，所以∠PQB = 90°，即∠BPQ + ∠PBQ = 90°.所以∠BPQ = 30°，即∠BPC = 30°.由(2)，得△BCE是等边三角形，BE = 2cm，所以∠BEC = 60°，CE = 2cm.所以∠PCE = ∠BEC - ∠BPC = 30°，即∠PCE = ∠EPC.所以PE = CE = 2cm.所以AP = AB - BE - PE = 1cm.又AP = tcm，所以t = 1；当点P在线段BE上，即3≤t＜5时，同理，得∠CBQ = ∠CEB = 60°.又∠ABC = 60°，所以∠PBQ = ∠ABC + ∠CBQ = 120°.所以△PBQ是钝角三角形，不符合题意；当点P在射线BM上，即t＞5时，同理，得∠CBQ = ∠CEB = 60°，所以∠PBQ = 180° - ∠ABC - ∠CBQ = 60°.又∠BQP＜∠CQP = 60°，所以此时只有∠BPQ = 90°这一种情形.又∠CPQ = 60°，所以∠CPB = ∠BPQ - ∠CPQ = 30°.又∠ABC = ∠BCP + ∠CPB，所以∠BCP = 30°，即∠BCP = ∠CPB.所以BP = BC = 2cm.所以AP = AB + BP = 7cm.又AP = tcm，所以t = 7，符合题意.综上，当t的值为1或7时，以P，B，Q三点为顶点的三角形是直角三角形.
(2)存在.因为CE平分∠BCD，且∠BCD = 120°，所以∠BCE = ∠DCE = $\frac{1}{2}$∠BCD = 60°.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD.所以∠BEC = ∠DCE = 60°，∠ABC + ∠BCD = 180°，即∠ABC = 60°.所以△BCE是等边三角形.所以BE = BC = CE.又BC = 2cm，所以BE = 2cm.由(1)，得△PCQ是等边三角形，所以CP = PQ = CQ，∠PCQ = 60°.所以∠BCE - ∠BCP = ∠PCQ - ∠BCP，即∠PCE = ∠QCB.所以△PCE≌△QCB(SAS).所以EP = BQ.所以C△PBQ = PB + BQ + PQ = PB + EP + CP = BE + CP = 2 + CP.又点P在线段EB上运动，所以当CP⊥AB时，CP的长最小，即△PBQ的周长最小.此时∠CPB = 90°.所以∠BCP = 90° - ∠ABC = 30°.所以BP = $\frac{1}{2}$BC = 1cm.在Rt△BPC中，由勾股定理，得CP = $\sqrt{BC² - BP²}$ = $\sqrt{3}$cm.所以△PBQ的周长的最小值为(2 + $\sqrt{3}$)cm.
(3)存在.同(1)，得△PCQ是等边三角形.所以∠CPQ = ∠PQC = 60°，CP = CQ = PQ.当t = 5时，P，B两点重合，不符合题意；当点P在线段AE上，即0≤t＜3时，同(2)，得△PCE≌△QCB，所以∠CPE = ∠CQB.因为∠CPQ = ∠CPB + ∠BPQ = 60°，所以∠BPQ + ∠CQB = 60°.又∠BPQ + ∠PQC + ∠CQB + ∠PBQ = 180°，所以∠PBQ = 60°.又∠BPQ＜∠CPQ = 60°，所以∠PQB = 90°，即∠BPQ + ∠PBQ = 90°.所以∠BPQ = 30°，即∠BPC = 30°.由(2)，得△BCE是等边三角形，BE = 2cm，所以∠BEC = 60°，CE = 2cm.所以∠PCE = ∠BEC - ∠BPC = 30°，即∠PCE = ∠EPC.所以PE = CE = 2cm.所以AP = AB - BE - PE = 1cm.又AP = tcm，所以t = 1；当点P在线段BE上，即3≤t＜5时，同理，得∠CBQ = ∠CEB = 60°.又∠ABC = 60°，所以∠PBQ = ∠ABC + ∠CBQ = 120°.所以△PBQ是钝角三角形，不符合题意；当点P在射线BM上，即t＞5时，同理，得∠CBQ = ∠CEB = 60°，所以∠PBQ = 180° - ∠ABC - ∠CBQ = 60°.又∠BQP＜∠CQP = 60°，所以此时只有∠BPQ = 90°这一种情形.又∠CPQ = 60°，所以∠CPB = ∠BPQ - ∠CPQ = 30°.又∠ABC = ∠BCP + ∠CPB，所以∠BCP = 30°，即∠BCP = ∠CPB.所以BP = BC = 2cm.所以AP = AB + BP = 7cm.又AP = tcm，所以t = 7，符合题意.综上，当t的值为1或7时，以P，B，Q三点为顶点的三角形是直角三角形.