1. 有下列各式：① $ x^{2}-6x + 9 $；② $ 25a^{2}+10a - 1 $；③ $ x^{2}-4x - 4 $；④ $ 4x^{2}-x+\frac{1}{4} $。其中不能用完全平方公式分解因式的个数为 (
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案：1. C
解析：
① $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$，能用完全平方公式分解因式；
② $25a^2 + 10a - 1$，常数项为$-1$，不能用完全平方公式分解因式；
③ $x^2 - 4x - 4$，常数项为$-4$，不能用完全平方公式分解因式；
④ $4x^2 - x + \frac{1}{4}$，中间项应为$\pm 2 × 2x × \frac{1}{2} = \pm 2x$，原式中间项为$-x$，不能用完全平方公式分解因式。
不能用完全平方公式分解因式的有②③④，共3个。
C
② $25a^2 + 10a - 1$，常数项为$-1$，不能用完全平方公式分解因式；
③ $x^2 - 4x - 4$，常数项为$-4$，不能用完全平方公式分解因式；
④ $4x^2 - x + \frac{1}{4}$，中间项应为$\pm 2 × 2x × \frac{1}{2} = \pm 2x$，原式中间项为$-x$，不能用完全平方公式分解因式。
不能用完全平方公式分解因式的有②③④，共3个。
C
2. 已知多项式 $ m^{2}-9 $ 和 $ m^{2}+6m + 9 $ 有相同的因式，则该因式为 (
A.$ m + 3 $
B.$ m - 3 $
C.$ m + 9 $
D.$ m - 9 $
A
)A.$ m + 3 $
B.$ m - 3 $
C.$ m + 9 $
D.$ m - 9 $
答案：2. A
解析：
$m^{2}-9=(m+3)(m-3)$，$m^{2}+6m + 9=(m+3)^{2}$，相同的因式为$m+3$。A
3. 分解因式：
(1)(2025·甘肃白银)$ x^{2}-6x + 9 = $
(2)$ -x^{2}-4y^{2}+4xy = $
(3)$ (x - 1)^{2}-2(x - 1)+1 = $
(1)(2025·甘肃白银)$ x^{2}-6x + 9 = $
$(x - 3)^2$
；(2)$ -x^{2}-4y^{2}+4xy = $
$- (x - 2y)^2$
；(3)$ (x - 1)^{2}-2(x - 1)+1 = $
$(x - 2)^2$
。答案：$3. (1) (x - 3)^2 (2) - (x - 2y)^2 (3) (x - 2)^2$
4. 新素养 运算能力 若 $ a(a - 1)+b - a^{2} = -4 $，则 $ \frac{a^{2}+b^{2}}{2}-ab $ 的值为
8
。答案：4. 8
解析：
由 $a(a - 1) + b - a^2 = -4$，展开得 $a^2 - a + b - a^2 = -4$，化简得 $-a + b = -4$，即 $b - a = -4$，所以 $a - b = 4$。
$\frac{a^2 + b^2}{2} - ab = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{2} = \frac{(a - b)^2}{2}$，将 $a - b = 4$ 代入，得 $\frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$。
8
$\frac{a^2 + b^2}{2} - ab = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{2} = \frac{(a - b)^2}{2}$，将 $a - b = 4$ 代入，得 $\frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$。
8
5. 已知 $ x^{2}+4mx + 16 $ 能用完全平方公式分解因式，则常数 $ m $ 的值为
±2
。答案：5. ±2
解析：
解：因为$x^{2}+4mx + 16$能用完全平方公式分解因式，所以$x^{2}+4mx + 16=(x\pm4)^{2}$。
展开$(x + 4)^{2}=x^{2}+8x + 16$，对比系数可得$4m = 8$，解得$m = 2$；
展开$(x - 4)^{2}=x^{2}-8x + 16$，对比系数可得$4m=-8$，解得$m=-2$。
综上，$m=\pm2$。
展开$(x + 4)^{2}=x^{2}+8x + 16$，对比系数可得$4m = 8$，解得$m = 2$；
展开$(x - 4)^{2}=x^{2}-8x + 16$，对比系数可得$4m=-8$，解得$m=-2$。
综上，$m=\pm2$。
6. （教材 P113 练习 2 变式）把下列各式分解因式：
（1）$ a^{2}-\frac{1}{2}a+\frac{1}{16} $；
（2）$ (a - b)^{2}+4ab $；
（3）$ x^{2}-6x(y + 1)+9(y + 1)^{2} $；
（4）$ 16x^{4}-8x^{2}y^{2}+y^{4} $。
（1）$ a^{2}-\frac{1}{2}a+\frac{1}{16} $；
（2）$ (a - b)^{2}+4ab $；
（3）$ x^{2}-6x(y + 1)+9(y + 1)^{2} $；
（4）$ 16x^{4}-8x^{2}y^{2}+y^{4} $。
答案：6. (1) 原式$ = (a - \frac{1}{4})^2.$
(2) 原式$ = a^2 - 2ab + b^2 + 4ab = a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2.$
(3) 原式$ = (x - 3y - 3)^2.$
(4) 原式$ = (4x^2 - y^2)^2 = (2x + y)^2(2x - y)^2.$
(2) 原式$ = a^2 - 2ab + b^2 + 4ab = a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2.$
(3) 原式$ = (x - 3y - 3)^2.$
(4) 原式$ = (4x^2 - y^2)^2 = (2x + y)^2(2x - y)^2.$
7. 已知 $ x $ 是有理数，则多项式 $ \frac{2}{3}x - 1-\frac{1}{9}x^{2} $ 的值 (
A.一定为负数
B.不可能为正数
C.一定为正数
D.不可能为负数
B
)A.一定为负数
B.不可能为正数
C.一定为正数
D.不可能为负数
答案：7. B
解析：
$\frac{2}{3}x - 1 - \frac{1}{9}x^2 = -(\frac{1}{9}x^2 - \frac{2}{3}x + 1) = -(\frac{1}{3}x - 1)^2$
因为$(\frac{1}{3}x - 1)^2 \geq 0$，所以$-(\frac{1}{3}x - 1)^2 \leq 0$，即多项式的值不可能为正数。
B
因为$(\frac{1}{3}x - 1)^2 \geq 0$，所以$-(\frac{1}{3}x - 1)^2 \leq 0$，即多项式的值不可能为正数。
B
8. 亮点原创 已知 $ m $，$ n $ 都为有理数，且 $ P = 3m^{2}-15mn + n^{2} $，$ Q = -m^{2}-3mn - 8n^{2} $，则 $ P $ 与 $ Q $ 之间的大小关系为 (
A.$ P \geqslant Q $
B.$ P \leqslant Q $
C.$ P ＞ Q $
D.$ P ＜ Q $
A
)A.$ P \geqslant Q $
B.$ P \leqslant Q $
C.$ P ＞ Q $
D.$ P ＜ Q $
答案：8. A
解析：
$P-Q=(3m^{2}-15mn + n^{2})-(-m^{2}-3mn - 8n^{2})$
$=3m^{2}-15mn + n^{2}+m^{2}+3mn + 8n^{2}$
$=4m^{2}-12mn + 9n^{2}$
$=(2m-3n)^{2}$
因为任何有理数的平方都大于等于零，所以$(2m-3n)^{2}\geqslant0$，即$P-Q\geqslant0$，故$P\geqslant Q$。
A
$=3m^{2}-15mn + n^{2}+m^{2}+3mn + 8n^{2}$
$=4m^{2}-12mn + 9n^{2}$
$=(2m-3n)^{2}$
因为任何有理数的平方都大于等于零，所以$(2m-3n)^{2}\geqslant0$，即$P-Q\geqslant0$，故$P\geqslant Q$。
A
9. 若 $ (x^{2}+y^{2})^{4}-8(x^{2}+y^{2})^{2}+16 = 0 $，则 $ x^{2}+y^{2} = $
2
。答案：9. 2
解析：
设$ t = x^{2} + y^{2} $，则原方程可化为$ t^{4} - 8t^{2} + 16 = 0 $。
令$ u = t^{2} $，方程变为$ u^{2} - 8u + 16 = 0 $，即$ (u - 4)^{2} = 0 $，解得$ u = 4 $。
因为$ u = t^{2} $，所以$ t^{2} = 4 $，解得$ t = 2 $或$ t = -2 $。
又因为$ x^{2} + y^{2} \geq 0 $，所以$ t = 2 $，即$ x^{2} + y^{2} = 2 $。
2
令$ u = t^{2} $，方程变为$ u^{2} - 8u + 16 = 0 $，即$ (u - 4)^{2} = 0 $，解得$ u = 4 $。
因为$ u = t^{2} $，所以$ t^{2} = 4 $，解得$ t = 2 $或$ t = -2 $。
又因为$ x^{2} + y^{2} \geq 0 $，所以$ t = 2 $，即$ x^{2} + y^{2} = 2 $。
2
10. 若有理数 $ x $，$ y $ 满足 $ x^{2}+4y^{2}-6x + 4y + 10 = 0 $，则 $ y^{x} = $
$- \frac{1}{8}$
。答案：$10. - \frac{1}{8}$
解析：
解：$x^{2}+4y^{2}-6x + 4y + 10 = 0$，
$x^{2}-6x + 9 + 4y^{2}+4y + 1 = 0$，
$(x - 3)^{2} + (2y + 1)^{2} = 0$，
$\because (x - 3)^{2} \geq 0$，$(2y + 1)^{2} \geq 0$，
$\therefore x - 3 = 0$，$2y + 1 = 0$，
解得$x = 3$，$y = -\frac{1}{2}$，
$\therefore y^{x} = (-\frac{1}{2})^{3} = -\frac{1}{8}$。
$-\frac{1}{8}$
$x^{2}-6x + 9 + 4y^{2}+4y + 1 = 0$，
$(x - 3)^{2} + (2y + 1)^{2} = 0$，
$\because (x - 3)^{2} \geq 0$，$(2y + 1)^{2} \geq 0$，
$\therefore x - 3 = 0$，$2y + 1 = 0$，
解得$x = 3$，$y = -\frac{1}{2}$，
$\therefore y^{x} = (-\frac{1}{2})^{3} = -\frac{1}{8}$。
$-\frac{1}{8}$
11. 已知 $ a $，$ b $，$ c $ 满足 $ a + b = 5 $，$ c^{2} = ab + b - 9 $，则 $ ab - c = $
6
。答案：11. 6
解析：
由$a + b = 5$得$a = 5 - b$，代入$c^{2}=ab + b - 9$，
得$c^{2}=(5 - b)b + b - 9 = 5b - b^{2}+b - 9 = -b^{2}+6b - 9 =-(b^{2}-6b + 9)=-(b - 3)^{2}$，
因为$c^{2}\geq0$，$-(b - 3)^{2}\leq0$，所以$c^{2}=0$，$(b - 3)^{2}=0$，
即$c = 0$，$b = 3$，则$a = 5 - 3 = 2$，
所以$ab - c=2×3 - 0 = 6$。
6
得$c^{2}=(5 - b)b + b - 9 = 5b - b^{2}+b - 9 = -b^{2}+6b - 9 =-(b^{2}-6b + 9)=-(b - 3)^{2}$，
因为$c^{2}\geq0$，$-(b - 3)^{2}\leq0$，所以$c^{2}=0$，$(b - 3)^{2}=0$，
即$c = 0$，$b = 3$，则$a = 5 - 3 = 2$，
所以$ab - c=2×3 - 0 = 6$。
6