8. 已知关于$x$的分式方程$\frac{mx}{(x - 3)(x - 6)} + \frac{2}{x - 3} = \frac{3}{x - 6}$无解，且一次函数$y = (m - \frac{1}{2})x + m - \frac{3}{2}$的图象不经过第二象限，则符合条件的所有$m$的值之和为(
A.$\frac{9}{2}$
B.$\frac{7}{2}$
C.$\frac{5}{2}$
D.$\frac{3}{2}$
C
)A.$\frac{9}{2}$
B.$\frac{7}{2}$
C.$\frac{5}{2}$
D.$\frac{3}{2}$
答案：8.C
解析：
解分式方程
方程两边同乘$(x - 3)(x - 6)$得：
$mx + 2(x - 6) = 3(x - 3)$
化简得：$mx + 2x - 12 = 3x - 9$
整理得：$(m - 1)x = 3$
分式方程无解的条件
1. 整式方程无解：$m - 1 = 0$，即$m = 1$时，方程$0x = 3$无解。
2. 整式方程的解为增根：
增根为$x = 3$时，代入$(m - 1)x = 3$得$3(m - 1) = 3$，解得$m = 2$。
增根为$x = 6$时，代入$(m - 1)x = 3$得$6(m - 1) = 3$，解得$m = \frac{3}{2}$。
综上，$m = 1$或$m = 2$或$m = \frac{3}{2}$。
一次函数图象不经过第二象限的条件
一次函数$y = (m - \frac{1}{2})x + m - \frac{3}{2}$不经过第二象限，则：
$\begin{cases} m - \frac{1}{2} ＞ 0 \\ m - \frac{3}{2} \leq 0 \end{cases}$
解得：$\frac{1}{2} ＜ m \leq \frac{3}{2}$。
符合条件的$m$值
结合分式方程无解的$m$值，满足$\frac{1}{2} ＜ m \leq \frac{3}{2}$的有$m = 1$和$m = \frac{3}{2}$。
求和
$1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$
答案：$\frac{5}{2}$
方程两边同乘$(x - 3)(x - 6)$得：
$mx + 2(x - 6) = 3(x - 3)$
化简得：$mx + 2x - 12 = 3x - 9$
整理得：$(m - 1)x = 3$
分式方程无解的条件
1. 整式方程无解：$m - 1 = 0$，即$m = 1$时，方程$0x = 3$无解。
2. 整式方程的解为增根：
增根为$x = 3$时，代入$(m - 1)x = 3$得$3(m - 1) = 3$，解得$m = 2$。
增根为$x = 6$时，代入$(m - 1)x = 3$得$6(m - 1) = 3$，解得$m = \frac{3}{2}$。
综上，$m = 1$或$m = 2$或$m = \frac{3}{2}$。
一次函数图象不经过第二象限的条件
一次函数$y = (m - \frac{1}{2})x + m - \frac{3}{2}$不经过第二象限，则：
$\begin{cases} m - \frac{1}{2} ＞ 0 \\ m - \frac{3}{2} \leq 0 \end{cases}$
解得：$\frac{1}{2} ＜ m \leq \frac{3}{2}$。
符合条件的$m$值
结合分式方程无解的$m$值，满足$\frac{1}{2} ＜ m \leq \frac{3}{2}$的有$m = 1$和$m = \frac{3}{2}$。
求和
$1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$
答案：$\frac{5}{2}$
9. 亮点原创 若关于$x$的分式方程$\frac{m}{x - 2} = \frac{2}{x}$有正整数解，则整数$m$的值是
$-2$或$1$
.答案：9.$-2$或$1$
解析：
解：方程两边同乘$x(x - 2)$，得$mx = 2(x - 2)$，
去括号，得$mx = 2x - 4$，
移项、合并同类项，得$(m - 2)x = -4$，
解得$x = \frac{4}{2 - m}$。
因为方程有正整数解，所以$\frac{4}{2 - m}$为正整数，且$x \neq 0$，$x \neq 2$。
$2 - m$是$4$的正因数，$2 - m = 1$时，$m = 1$，$x = 4$；
$2 - m = 2$时，$m = 0$，$x = 2$（舍去）；
$2 - m = 4$时，$m = -2$，$x = 1$。
整数$m$的值是$-2$或$1$。
去括号，得$mx = 2x - 4$，
移项、合并同类项，得$(m - 2)x = -4$，
解得$x = \frac{4}{2 - m}$。
因为方程有正整数解，所以$\frac{4}{2 - m}$为正整数，且$x \neq 0$，$x \neq 2$。
$2 - m$是$4$的正因数，$2 - m = 1$时，$m = 1$，$x = 4$；
$2 - m = 2$时，$m = 0$，$x = 2$（舍去）；
$2 - m = 4$时，$m = -2$，$x = 1$。
整数$m$的值是$-2$或$1$。
10. 若关于$x$的分式方程$\frac{1}{x - 3} + \frac{m}{x + 3} = \frac{3 + m}{x^{2} - 9}$无解，则$m =$
$-1$或$-\frac{3}{7}$或$3$
.答案：10.$-1$或$-\frac{3}{7}$或$3$
解析：
解：方程两边同乘$(x - 3)(x + 3)$得：$x + 3 + m(x - 3) = 3 + m$
整理得：$(1 + m)x = 4m$
情况1：当$1 + m = 0$，即$m = -1$时，方程无解。
情况2：当$1 + m \neq 0$时，$x = \frac{4m}{1 + m}$
若$x = 3$，则$\frac{4m}{1 + m} = 3$，解得$m = 3$
若$x = -3$，则$\frac{4m}{1 + m} = -3$，解得$m = -\frac{3}{7}$
综上，$m = -1$或$-\frac{3}{7}$或$3$
整理得：$(1 + m)x = 4m$
情况1：当$1 + m = 0$，即$m = -1$时，方程无解。
情况2：当$1 + m \neq 0$时，$x = \frac{4m}{1 + m}$
若$x = 3$，则$\frac{4m}{1 + m} = 3$，解得$m = 3$
若$x = -3$，则$\frac{4m}{1 + m} = -3$，解得$m = -\frac{3}{7}$
综上，$m = -1$或$-\frac{3}{7}$或$3$
11. 当$m$为何值时，关于$x$的分式方程$\frac{2}{x - 2} + \frac{mx}{x^{2} - 4} = \frac{3}{x + 2}$会产生增根？
答案：11.去分母，得$2(x + 2) + mx = 3(x - 2)$。因为原分式方程有增根，所以$x - 2 = 0$或$x + 2 = 0$，解得$x = 2$或$x = -2$。所以当$x = 2$时，$2×4 + 2m = 0$，解得$m = -4$；当$x = -2$时，$-2m = 3×(-4)$，解得$m = 6$。所以当$m = -4$或$6$时，原方程会产生增根。
解析：
解：方程两边同乘$(x + 2)(x - 2)$，得$mx = 3(x - 2)$。
因为原分式方程有增根，所以$(x + 2)(x - 2) = 0$，解得$x = 2$或$x = -2$。
当$x = 2$时，代入$mx = 3(x - 2)$，得$2m = 3×(2 - 2)$，解得$m = 0$；
当$x = -2$时，代入$mx = 3(x - 2)$，得$-2m = 3×(-2 - 2)$，解得$m = 6$。
所以当$m = 0$或$6$时，原方程会产生增根。
因为原分式方程有增根，所以$(x + 2)(x - 2) = 0$，解得$x = 2$或$x = -2$。
当$x = 2$时，代入$mx = 3(x - 2)$，得$2m = 3×(2 - 2)$，解得$m = 0$；
当$x = -2$时，代入$mx = 3(x - 2)$，得$-2m = 3×(-2 - 2)$，解得$m = 6$。
所以当$m = 0$或$6$时，原方程会产生增根。
12. 已知关于$x$的分式方程$\frac{2}{x} + \frac{4}{x - 1} = \frac{7x + p}{x(x - 1)}$有解，求$p$的取值范围.
答案：12.解分式方程$\frac{2}{x} + \frac{4}{x - 1} = \frac{7x + p}{x(x - 1)}$，得$x = -2 - p$。因为方程有解，所以$x(x - 1)\neq0$，即$x\neq0$，$x\neq1$。所以$-2 - p\neq0$，$-2 - p\neq1$，解得$p\neq -2$，$p\neq -3$。则$p$的取值范围是$p\neq -2$，$p\neq -3$。
解析：
解：方程两边同乘$x(x - 1)$，得$2(x - 1) + 4x = 7x + p$，
去括号，得$2x - 2 + 4x = 7x + p$，
移项、合并同类项，得$-x = p + 2$，
解得$x = -p - 2$。
因为分式方程有解，所以$x(x - 1) \neq 0$，即$x \neq 0$且$x \neq 1$，
所以$-p - 2 \neq 0$且$-p - 2 \neq 1$，
解得$p \neq -2$且$p \neq -3$。
故$p$的取值范围是$p \neq -2$且$p \neq -3$。
去括号，得$2x - 2 + 4x = 7x + p$，
移项、合并同类项，得$-x = p + 2$，
解得$x = -p - 2$。
因为分式方程有解，所以$x(x - 1) \neq 0$，即$x \neq 0$且$x \neq 1$，
所以$-p - 2 \neq 0$且$-p - 2 \neq 1$，
解得$p \neq -2$且$p \neq -3$。
故$p$的取值范围是$p \neq -2$且$p \neq -3$。
13. 若关于$x$的分式方程$\frac{3x - a}{x - 3} + \frac{x + 1}{3 - x} = 1$的解为正数，且关于$y$的不等式组$\begin{cases}y + 9 \leq 2(y + 2),\frac{2y - a}{3} ＞ 1\end{cases}$的解集为$y \geq 5$，则所有满足条件的整数$a$的值之和为( )
A.13
B.15
C.18
D.20
A.13
B.15
C.18
D.20
答案：13.A 解析：解分式方程$\frac{3x - a}{x - 3} + \frac{x + 1}{3 - x} = 1$，得$x = a - 2$。因为分式方程的解为正数，且$x - 3\neq0$，所以$x ＞ 0$且$x\neq3$，即$a - 2 ＞ 0$且$a - 2\neq3$，解得$a ＞ 2$且$a\neq5$。解不等式$y + 9\leq2(y + 2)$，得$y\geq5$；解不等式$\frac{2y - a}{3} ＞ 1$，得$y ＞ \frac{a + 3}{2}$。又不等式组的解集为$y\geq5$，所以$\frac{a + 3}{2} ＜ 5$，解得$a ＜ 7$。则$a$的取值范围为$2 ＜ a ＜ 7$且$a\neq5$。所以所有满足条件的整数$a$的值为$3$，$4$，$6$，它们的和为$3 + 4 + 6 = 13$。
14. 若关于$x$的分式方程$\frac{1}{(x - 3)(x + 1)} - \frac{k}{(x + 1)(x + 7)} = \frac{x + 1}{x^{3} + 5x^{2} - 17x - 21}$无解，则$k$的值为
$-\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{5}$或$0$
.答案：14.$-\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{5}$或$0$ 解析：$(x - 3)(x + 1)(x + 7) = x^3 + 5x^2 - 17x - 21$。方程两边同乘$(x - 3)(x + 1)(x + 7)$，得$(x + 7) - k(x - 3) = x + 1$，所以$x = \frac{3k + 6}{k}$。因为原方式方程无解，所以$x - 3 = 0$或$x + 1 = 0$或$x + 7 = 0$或$k = 0$，即$x = 3$或$x = -1$或$x = -7$或$k = 0$。当$x = 3$时，$\frac{3k + 6}{k} = 3$，无解；当$x = -1$时，$\frac{3k + 6}{k} = -1$，解得$k = -\frac{3}{2}$；当$x = -7$时，$\frac{3k + 6}{k} = -7$，解得$k = -\frac{3}{5}$。综上，$k$的值为$-\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{5}$或$0$。
解析：
解：将方程右边分母因式分解，得$x^3 + 5x^2 - 17x - 21=(x - 3)(x + 1)(x + 7)$。
方程两边同乘$(x - 3)(x + 1)(x + 7)$，得：
$(x + 7) - k(x - 3) = x + 1$
整理得：
$x + 7 - kx + 3k = x + 1 \implies -kx + 3k + 6 = 0 \implies x = \frac{3k + 6}{k} \quad (k \neq 0)$
原分式方程无解，分以下情况：
1. 当$k = 0$时，整式方程化为$0x + 6 = 0$，无解，符合题意；
2. 当$k \neq 0$时，$x = \frac{3k + 6}{k}$为增根，即$x - 3 = 0$或$x + 1 = 0$或$x + 7 = 0$：
若$x = 3$，则$\frac{3k + 6}{k} = 3$，无解；
若$x = -1$，则$\frac{3k + 6}{k} = -1$，解得$k = -\frac{3}{2}$；
若$x = -7$，则$\frac{3k + 6}{k} = -7$，解得$k = -\frac{3}{5}$。
综上，$k$的值为$-\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{5}$或$0$。
$-\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{5}$或$0$
方程两边同乘$(x - 3)(x + 1)(x + 7)$，得：
$(x + 7) - k(x - 3) = x + 1$
整理得：
$x + 7 - kx + 3k = x + 1 \implies -kx + 3k + 6 = 0 \implies x = \frac{3k + 6}{k} \quad (k \neq 0)$
原分式方程无解，分以下情况：
1. 当$k = 0$时，整式方程化为$0x + 6 = 0$，无解，符合题意；
2. 当$k \neq 0$时，$x = \frac{3k + 6}{k}$为增根，即$x - 3 = 0$或$x + 1 = 0$或$x + 7 = 0$：
若$x = 3$，则$\frac{3k + 6}{k} = 3$，无解；
若$x = -1$，则$\frac{3k + 6}{k} = -1$，解得$k = -\frac{3}{2}$；
若$x = -7$，则$\frac{3k + 6}{k} = -7$，解得$k = -\frac{3}{5}$。
综上，$k$的值为$-\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{5}$或$0$。
$-\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{5}$或$0$
15. 新素养 应用意识（2025·江苏南京期末）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：① 若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；② 若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”.
（1）判断一元一次方程$3 - 2(1 - x) = 4x$与分式方程$\frac{2x + 1}{2x - 1} - 1 = \frac{4}{4x^{2} - 1}$是否为“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于$x$，$y$的方程$y = mx + 6$与关于$s$，$t$的方程$s = t + 4m$是“相伴方程”，求正整数$m$的值.
（1）判断一元一次方程$3 - 2(1 - x) = 4x$与分式方程$\frac{2x + 1}{2x - 1} - 1 = \frac{4}{4x^{2} - 1}$是否为“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于$x$，$y$的方程$y = mx + 6$与关于$s$，$t$的方程$s = t + 4m$是“相伴方程”，求正整数$m$的值.
答案：15.(1)一元一次方程$3 - 2(1 - x) = 4x$与分式方程$\frac{2x + 1}{2x - 1} - 1 = \frac{4}{4x^2 - 1}$不是“相似方程”。理由如下：
解一元一次方程$3 - 2(1 - x) = 4x$，得$x = \frac{1}{2}$。解分式方程$\frac{2x + 1}{2x - 1} - 1 = \frac{4}{4x^2 - 1}$，得$x = \frac{1}{2}$。经检验，$x = \frac{1}{2}$是原方程的增根，所以原方程无解。所以一元一次方程$3 - 2(1 - x) = 4x$与分式方程$\frac{2x + 1}{2x - 1} - 1 = \frac{4}{4x^2 - 1}$不是“相似方程”。
(2)当$x = t$，$y = s$时，由题意，得$mx + 6 = x - 4m$，所以$(m - 1)x = 6 + 4m$。若$m - 1 = 0$，即$m = 1$，则方程无解；若$m - 1\neq0$，即$m\neq1$，则$x = \frac{4m - 6}{m - 1}$，所以$x = 4 - \frac{2}{m - 1}$。因为$x$，$y$均为整数，且$m$为正整数，所以$m - 1 = 1$或$2$，即$m = 2$或$3$。当$x = s$，$y = t$时，由题意，得$mx + 6 = x - 4m$，所以$(1 - m)x = 6 + 4m$。若$1 - m = 0$，即$m = 1$，则方程无解；若$1 - m\neq0$，即$m\neq1$，则$x = \frac{6 + 4m}{1 - m}$。所以$x = -4 + \frac{10}{1 - m}$。因为$x$，$y$均为整数，且$m$为正整数，所以$1 - m = -1$或$-2$或$-5$或$-10$，即$m = 2$，$3$，$6$，$11$。综上，正整数$m$的值为$2$或$3$或$6$或$11$。
解一元一次方程$3 - 2(1 - x) = 4x$，得$x = \frac{1}{2}$。解分式方程$\frac{2x + 1}{2x - 1} - 1 = \frac{4}{4x^2 - 1}$，得$x = \frac{1}{2}$。经检验，$x = \frac{1}{2}$是原方程的增根，所以原方程无解。所以一元一次方程$3 - 2(1 - x) = 4x$与分式方程$\frac{2x + 1}{2x - 1} - 1 = \frac{4}{4x^2 - 1}$不是“相似方程”。
(2)当$x = t$，$y = s$时，由题意，得$mx + 6 = x - 4m$，所以$(m - 1)x = 6 + 4m$。若$m - 1 = 0$，即$m = 1$，则方程无解；若$m - 1\neq0$，即$m\neq1$，则$x = \frac{4m - 6}{m - 1}$，所以$x = 4 - \frac{2}{m - 1}$。因为$x$，$y$均为整数，且$m$为正整数，所以$m - 1 = 1$或$2$，即$m = 2$或$3$。当$x = s$，$y = t$时，由题意，得$mx + 6 = x - 4m$，所以$(1 - m)x = 6 + 4m$。若$1 - m = 0$，即$m = 1$，则方程无解；若$1 - m\neq0$，即$m\neq1$，则$x = \frac{6 + 4m}{1 - m}$。所以$x = -4 + \frac{10}{1 - m}$。因为$x$，$y$均为整数，且$m$为正整数，所以$1 - m = -1$或$-2$或$-5$或$-10$，即$m = 2$，$3$，$6$，$11$。综上，正整数$m$的值为$2$或$3$或$6$或$11$。