1. 若 $ 7^{m}=11 $，$ 11^{n}=7 $，则 $ \frac{m}{m + 1}+\frac{n}{n + 1} $ 的值为(
A.1
B.-1
C.7
D.11
A
)A.1
B.-1
C.7
D.11
答案：1. A
解析：
解：由$7^{m}=11$，两边取对数得$m=\log_{7}11$；由$11^{n}=7$，两边取对数得$n=\log_{11}7$。
因为$\log_{a}b · \log_{b}a = 1$，所以$m · n = \log_{7}11 · \log_{11}7 = 1$。
$\begin{aligned}\frac{m}{m + 1}+\frac{n}{n + 1}&=\frac{m(n + 1) + n(m + 1)}{(m + 1)(n + 1)}\\&=\frac{mn + m + mn + n}{mn + m + n + 1}\\&=\frac{2mn + m + n}{mn + m + n + 1}\end{aligned}$
将$mn = 1$代入上式：
$\frac{2×1 + m + n}{1 + m + n + 1}=\frac{m + n + 2}{m + n + 2}=1$
A
因为$\log_{a}b · \log_{b}a = 1$，所以$m · n = \log_{7}11 · \log_{11}7 = 1$。
$\begin{aligned}\frac{m}{m + 1}+\frac{n}{n + 1}&=\frac{m(n + 1) + n(m + 1)}{(m + 1)(n + 1)}\\&=\frac{mn + m + mn + n}{mn + m + n + 1}\\&=\frac{2mn + m + n}{mn + m + n + 1}\end{aligned}$
将$mn = 1$代入上式：
$\frac{2×1 + m + n}{1 + m + n + 1}=\frac{m + n + 2}{m + n + 2}=1$
A
2. 要使代数式 $ (\frac{a + 1}{a - 1}-\frac{a^{2}+1}{a^{2}-2a + 1})÷\frac{1}{a - 1} $ 的值是负整数，则整数 $ a $ 的值为(
A.1 或 2
B.2 或 3
C.1
D.3
B
)A.1 或 2
B.2 或 3
C.1
D.3
答案：2. B
解析：
原式$=[\frac{a+1}{a-1}-\frac{a^2+1}{(a-1)^2}]·(a-1)$
$=\frac{(a+1)(a-1)-(a^2+1)}{(a-1)^2}·(a-1)$
$=\frac{a^2-1 - a^2 - 1}{a-1}$
$=\frac{-2}{a-1}$
要使原式的值为负整数，则$\frac{-2}{a-1}$为负整数，即$\frac{2}{a-1}$为正整数。
$\frac{2}{a-1}$为正整数，所以$a-1$是$2$的正因数，$a-1=1$或$2$。
当$a-1=1$时，$a=2$；当$a-1=2$时，$a=3$。
又因为分母不能为$0$，即$a-1\neq0$，$a\neq1$。
综上，整数$a$的值为$2$或$3$。
B
$=\frac{(a+1)(a-1)-(a^2+1)}{(a-1)^2}·(a-1)$
$=\frac{a^2-1 - a^2 - 1}{a-1}$
$=\frac{-2}{a-1}$
要使原式的值为负整数，则$\frac{-2}{a-1}$为负整数，即$\frac{2}{a-1}$为正整数。
$\frac{2}{a-1}$为正整数，所以$a-1$是$2$的正因数，$a-1=1$或$2$。
当$a-1=1$时，$a=2$；当$a-1=2$时，$a=3$。
又因为分母不能为$0$，即$a-1\neq0$，$a\neq1$。
综上，整数$a$的值为$2$或$3$。
B
3. 新素养 推理能力 简单的规则可以涌现出丰富的代数结构，对单项式 $ x $ 进行如下操作：规定 $ a_{1}=b_{1}=c_{1}=x $，计算 $ a_{2}=\frac{1 + a_{1}}{1 - a_{1}}=\frac{1 + x}{1 - x} $，$ b_{2}=a_{1}a_{2}=\frac{x + x^{2}}{1 - x} $，$ c_{2}=a_{1}+a_{2}=\frac{-x^{2}+2x + 1}{1 - x} $，称为第一次操作；计算 $ a_{3}=\frac{1 + a_{2}}{1 - a_{2}}=-\frac{1}{x} $，$ b_{3}=a_{1}a_{2}a_{3}=\frac{1 + x}{x - 1} $，$ c_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=\frac{x^{3}-2x^{2}-2x + 1}{x^{2}-x} $，称为第二次操作……以此类推，有下列说法：① $ a_{5}=-x $；② $ \frac{a_{5}}{a_{8}}=\frac{a_{6}}{a_{7}} $；③ 当 $ x = 2 $ 时，$ c_{2401}=-698 $；④ 对任意正整数 $ n $，等式 $ b_{4n + 3}(c_{4n}-c_{4n + 1})=b_{4n + 2} $ 总成立。其中，正确的个数为(
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案：3. C
解析：
① $a_1=x$，$a_2=\frac{1+x}{1-x}$，$a_3=-\frac{1}{x}$，$a_4=\frac{x-1}{x+1}$，$a_5=x$，故①错误；
② $a_5=x$，$a_6=\frac{1+x}{1-x}$，$a_7=-\frac{1}{x}$，$a_8=\frac{x-1}{x+1}$，$\frac{a_5}{a_8}=\frac{x(x+1)}{x-1}$，$\frac{a_6}{a_7}=-\frac{x(1+x)}{1-x}=\frac{x(x+1)}{x-1}$，故②正确；
③ $c_n$周期为4，$c_1=x$，$c_2=\frac{-x^2+2x+1}{1-x}$，$c_3=\frac{x^3-2x^2-2x+1}{x(x-1)}$，$c_4=\frac{-x^3-2x^2+2x+1}{x(x+1)}$，$2401=4×600+1$，$c_{2401}=c_1=2$，故③错误；
④ $b_n$周期为4，$b_{4n+3}=b_3=-\frac{1+x}{x}$，$c_{4n}-c_{4n+1}=c_4-c_1=\frac{-x^3-2x^2+2x+1}{x(x+1)}-x=\frac{-2x^3-2x^2+2x+1}{x(x+1)}$，$b_{4n+3}(c_{4n}-c_{4n+1})=b_{4n+2}$，故④正确。
正确个数为2，答案：B
② $a_5=x$，$a_6=\frac{1+x}{1-x}$，$a_7=-\frac{1}{x}$，$a_8=\frac{x-1}{x+1}$，$\frac{a_5}{a_8}=\frac{x(x+1)}{x-1}$，$\frac{a_6}{a_7}=-\frac{x(1+x)}{1-x}=\frac{x(x+1)}{x-1}$，故②正确；
③ $c_n$周期为4，$c_1=x$，$c_2=\frac{-x^2+2x+1}{1-x}$，$c_3=\frac{x^3-2x^2-2x+1}{x(x-1)}$，$c_4=\frac{-x^3-2x^2+2x+1}{x(x+1)}$，$2401=4×600+1$，$c_{2401}=c_1=2$，故③错误；
④ $b_n$周期为4，$b_{4n+3}=b_3=-\frac{1+x}{x}$，$c_{4n}-c_{4n+1}=c_4-c_1=\frac{-x^3-2x^2+2x+1}{x(x+1)}-x=\frac{-2x^3-2x^2+2x+1}{x(x+1)}$，$b_{4n+3}(c_{4n}-c_{4n+1})=b_{4n+2}$，故④正确。
正确个数为2，答案：B
4. 设 $ a $，$ b $，$ c $ 均为正数，且 $ \frac{c}{a + b}＜\frac{a}{b + c}＜\frac{b}{a + c} $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 三个数的大小关系是(
A.$ c ＜ a ＜ b $
B.$ b ＜ c ＜ a $
C.$ a ＜ b ＜ c $
D.$ c ＜ b ＜ a $
A
)A.$ c ＜ a ＜ b $
B.$ b ＜ c ＜ a $
C.$ a ＜ b ＜ c $
D.$ c ＜ b ＜ a $
答案：4. A
解析：
因为$a$，$b$，$c$均为正数，$\frac{c}{a + b}＜\frac{a}{b + c}$，所以$c(b + c)＜a(a + b)$，即$bc + c^2＜a^2 + ab$，移项得$c^2 - a^2 + bc - ab＜0$，因式分解得$(c - a)(c + a) + b(c - a)＜0$，即$(c - a)(a + b + c)＜0$，因为$a + b + c＞0$，所以$c - a＜0$，即$c＜a$；
又因为$\frac{a}{b + c}＜\frac{b}{a + c}$，所以$a(a + c)＜b(b + c)$，即$a^2 + ac＜b^2 + bc$，移项得$a^2 - b^2 + ac - bc＜0$，因式分解得$(a - b)(a + b) + c(a - b)＜0$，即$(a - b)(a + b + c)＜0$，因为$a + b + c＞0$，所以$a - b＜0$，即$a＜b$；
综上可得$c＜a＜b$。
A
又因为$\frac{a}{b + c}＜\frac{b}{a + c}$，所以$a(a + c)＜b(b + c)$，即$a^2 + ac＜b^2 + bc$，移项得$a^2 - b^2 + ac - bc＜0$，因式分解得$(a - b)(a + b) + c(a - b)＜0$，即$(a - b)(a + b + c)＜0$，因为$a + b + c＞0$，所以$a - b＜0$，即$a＜b$；
综上可得$c＜a＜b$。
A
5. 若 $ a^{3}+3a^{2}+a = 0 $，则 $ \frac{2025a^{2}}{a^{4}-2025a^{2}+1}= $
0 或$-\frac{2025}{2018}$
。答案：5. 0 或$-\frac{2025}{2018}$
解析：
由$a^{3}+3a^{2}+a = 0$，得$a(a^{2}+3a + 1)=0$，则$a = 0$或$a^{2}+3a + 1=0$。
当$a = 0$时，$\frac{2025a^{2}}{a^{4}-2025a^{2}+1}=0$。
当$a^{2}+3a + 1=0$，且$a\neq0$，两边同除以$a$得$a+\frac{1}{a}=-3$，平方得$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=7$。
$a^{4}-2025a^{2}+1=a^{2}(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}-2025)=a^{2}(7 - 2025)=-2018a^{2}$，则$\frac{2025a^{2}}{a^{4}-2025a^{2}+1}=\frac{2025a^{2}}{-2018a^{2}}=-\frac{2025}{2018}$。
综上，答案为$0$或$-\frac{2025}{2018}$。
当$a = 0$时，$\frac{2025a^{2}}{a^{4}-2025a^{2}+1}=0$。
当$a^{2}+3a + 1=0$，且$a\neq0$，两边同除以$a$得$a+\frac{1}{a}=-3$，平方得$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=7$。
$a^{4}-2025a^{2}+1=a^{2}(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}-2025)=a^{2}(7 - 2025)=-2018a^{2}$，则$\frac{2025a^{2}}{a^{4}-2025a^{2}+1}=\frac{2025a^{2}}{-2018a^{2}}=-\frac{2025}{2018}$。
综上，答案为$0$或$-\frac{2025}{2018}$。
6. 若 $ a $，2，3 是 $ \triangle ABC $ 的三边长，且 $ a $ 为整数，则 $ \frac{a}{a^{2}-4}·\frac{a + 2}{a^{2}-3a}-\frac{1}{2 - a}= $
1
。答案：6. 1
解析：
解：由三角形三边关系得$3 - 2 ＜ a ＜ 3 + 2$，即$1 ＜ a ＜ 5$，$a$为整数，故$a=2$，$3$，$4$。又$a\neq2$（分母不为$0$），所以$a=3$或$4$。
原式$=\frac{a}{(a - 2)(a + 2)} · \frac{a + 2}{a(a - 3)} + \frac{1}{a - 2}$
$=\frac{1}{(a - 2)(a - 3)} + \frac{1}{a - 2}$
$=\frac{1 + (a - 3)}{(a - 2)(a - 3)}$
$=\frac{a - 2}{(a - 2)(a - 3)}$
$=\frac{1}{a - 3}$。
当$a=4$时，$\frac{1}{4 - 3}=1$；$a=3$时分母为$0$舍去。
故答案为$1$。
原式$=\frac{a}{(a - 2)(a + 2)} · \frac{a + 2}{a(a - 3)} + \frac{1}{a - 2}$
$=\frac{1}{(a - 2)(a - 3)} + \frac{1}{a - 2}$
$=\frac{1 + (a - 3)}{(a - 2)(a - 3)}$
$=\frac{a - 2}{(a - 2)(a - 3)}$
$=\frac{1}{a - 3}$。
当$a=4$时，$\frac{1}{4 - 3}=1$；$a=3$时分母为$0$舍去。
故答案为$1$。
7. 若关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}\frac{x + 2}{3}＞\frac{x}{2}+1,\\4x + a ＜ x - 1\end{cases}$ 的解集为 $ x ＜ -2 $，且关于 $ y $ 的分式方程 $ \frac{a + 2}{y - 1}+\frac{y + 2}{1 - y}=2 $ 的解为正数，则所有满足条件的整数 $ a $ 的值之和为 ______ 。
答案：7. 13 解析:解不等式$\frac{x+2}{3}＞\frac{x}{2}+1$，得$x＜-2$;解不等式$4x+a＜x-1$，得$x＜\frac{-a-1}{3}$.又不等式组的解集为$x＜-2$，所以$\frac{-a-1}{3}\geqslant-2$，解得$a\leqslant5$.解分式方程$\frac{a+2}{y-1}+\frac{y+2}{1-y}=2$，得$y=\frac{a+2}{3}$.又该方程的解为正数，$y-1\neq0$，所以$y＞0,y\neq1$，即$\frac{a+2}{3}＞0$且$\frac{a+2}{3}\neq1$，解得$a＞-2$且$a\neq1$.所以$-2＜a\leqslant5$且$a\neq1$.又$a$是整数，所以所有满足条件的整数$a$的值之和为$-1+0+2+3+4+5=13$.
解析：
解不等式$\frac{x + 2}{3}＞\frac{x}{2}+1$，得$x＜-2$；解不等式$4x + a ＜ x - 1$，得$x＜\frac{-a - 1}{3}$。
因为不等式组的解集为$x＜-2$，所以$\frac{-a - 1}{3}\geqslant -2$，解得$a\leqslant5$。
解分式方程$\frac{a + 2}{y - 1}+\frac{y + 2}{1 - y}=2$，方程两边同乘$y - 1$得：$a + 2 - (y + 2) = 2(y - 1)$，化简得$a + 2 - y - 2 = 2y - 2$，即$a - y = 2y - 2$，移项得$-3y = -a - 2$，解得$y = \frac{a + 2}{3}$。
因为分式方程的解为正数，且$y - 1\neq0$，所以$\frac{a + 2}{3}＞0$且$\frac{a + 2}{3}\neq1$，解得$a＞-2$且$a\neq1$。
综上，$-2＜a\leqslant5$且$a\neq1$，满足条件的整数$a$为$-1,0,2,3,4,5$，其和为$-1 + 0 + 2 + 3 + 4 + 5 = 13$。
13
因为不等式组的解集为$x＜-2$，所以$\frac{-a - 1}{3}\geqslant -2$，解得$a\leqslant5$。
解分式方程$\frac{a + 2}{y - 1}+\frac{y + 2}{1 - y}=2$，方程两边同乘$y - 1$得：$a + 2 - (y + 2) = 2(y - 1)$，化简得$a + 2 - y - 2 = 2y - 2$，即$a - y = 2y - 2$，移项得$-3y = -a - 2$，解得$y = \frac{a + 2}{3}$。
因为分式方程的解为正数，且$y - 1\neq0$，所以$\frac{a + 2}{3}＞0$且$\frac{a + 2}{3}\neq1$，解得$a＞-2$且$a\neq1$。
综上，$-2＜a\leqslant5$且$a\neq1$，满足条件的整数$a$为$-1,0,2,3,4,5$，其和为$-1 + 0 + 2 + 3 + 4 + 5 = 13$。
13
8. 某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上运动。甲、乙两名同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍。已知甲走了 24 级到扶梯顶部，乙走了 16 级到扶梯顶部（甲、乙两名同学每次只跨一级台阶）。
（1）扶梯露在外面的部分有多少级？
（2）如果与扶梯并排的位置有一从二楼到一楼的楼梯，台阶数与扶梯露在外面部分的级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速下楼梯到一楼再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，则甲第 1 次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走过的级数是多少？
（1）扶梯露在外面的部分有多少级？
（2）如果与扶梯并排的位置有一从二楼到一楼的楼梯，台阶数与扶梯露在外面部分的级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速下楼梯到一楼再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，则甲第 1 次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走过的级数是多少？
答案：8. (1)设扶梯露在外面的部分有$x$级，乙每分钟走动的级数为$a$，扶梯每分钟向上运动的级数为$b$，则甲每分钟走动的级数为$2a$.由题意，得$\begin{cases} \frac{24}{2a}=\frac{x}{2a+b}&①\frac{16}{a}=\frac{x}{a+b}&②\end{cases}$由①÷②，得$\frac{3}{4}=\frac{a+b}{2a+b}$，整理，得$b=2a$.把$b=2a$代入②中，得$x=48$，所以扶梯露在外面的部分有48级.
(2)设甲第1次追上乙时，甲在扶梯上走了$m$遍，在楼梯上走了$n$遍，则乙在扶梯上走了$(m-1)$遍，在楼梯上走了$(n-1)$遍.由题意，得$\frac{48m}{4a}+\frac{48n}{2a}=\frac{48(m-1)}{3a}+\frac{48(n-1)}{a}$，整理，得$m+6n=16$，这里$m,n$中至少有一个是正整数，且$0\leqslant m-n\leqslant1$.分类讨论如下:①若$m$为正整数，则$n=\frac{16-m}{6}$.所以$\begin{cases}m=1,\=\frac{5}{2}\end{cases}$(不符合题意，舍去)或$\begin{cases}m=2,\=\frac{7}{3}\end{cases}$(不符合题意，舍去)或$\begin{cases}m=3,\=\frac{13}{6}\end{cases}$(不符合题意，舍去)或$\begin{cases}m=4,\=2\end{cases}$
$\begin{cases}m=5,\=\frac{11}{6}\end{cases}$(不符合题意，舍去)或$\begin{cases}m=6,\=\frac{5}{3}\end{cases}$(均不符合题意，舍去)……(均不符合题意，舍去);②若$n$为正整数，则$m=16-6n$.所以$\begin{cases}n=1,\\m=10,\end{cases}\begin{cases}n=2,\\m=4,\end{cases}\begin{cases}n=3,\\m=-2\end{cases}$……这些均不符合题意.综上，$\begin{cases}m=3,\=\frac{13}{6}\end{cases}$此时，甲在楼梯上，且他已经走过的级数是$(\frac{48m}{4a}+\frac{48n}{2a})×2a=24m+48n=72+104=176$.
(2)设甲第1次追上乙时，甲在扶梯上走了$m$遍，在楼梯上走了$n$遍，则乙在扶梯上走了$(m-1)$遍，在楼梯上走了$(n-1)$遍.由题意，得$\frac{48m}{4a}+\frac{48n}{2a}=\frac{48(m-1)}{3a}+\frac{48(n-1)}{a}$，整理，得$m+6n=16$，这里$m,n$中至少有一个是正整数，且$0\leqslant m-n\leqslant1$.分类讨论如下:①若$m$为正整数，则$n=\frac{16-m}{6}$.所以$\begin{cases}m=1,\=\frac{5}{2}\end{cases}$(不符合题意，舍去)或$\begin{cases}m=2,\=\frac{7}{3}\end{cases}$(不符合题意，舍去)或$\begin{cases}m=3,\=\frac{13}{6}\end{cases}$(不符合题意，舍去)或$\begin{cases}m=4,\=2\end{cases}$
$\begin{cases}m=5,\=\frac{11}{6}\end{cases}$(不符合题意，舍去)或$\begin{cases}m=6,\=\frac{5}{3}\end{cases}$(均不符合题意，舍去)……(均不符合题意，舍去);②若$n$为正整数，则$m=16-6n$.所以$\begin{cases}n=1,\\m=10,\end{cases}\begin{cases}n=2,\\m=4,\end{cases}\begin{cases}n=3,\\m=-2\end{cases}$……这些均不符合题意.综上，$\begin{cases}m=3,\=\frac{13}{6}\end{cases}$此时，甲在楼梯上，且他已经走过的级数是$(\frac{48m}{4a}+\frac{48n}{2a})×2a=24m+48n=72+104=176$.