1. (3分)如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段FE(点E在边BC上)。若四边形ECDF为菱形，则a的值为(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案：1.B
解析：
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，AD//BC，AB=CD=4。
∵线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段FE，
∴FE=AB=4，FE//AB，AF=a。
∵AD//BC，FE//AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴BE=AF=a。
∵BC=6，
∴EC=BC-BE=6-a。
∵四边形ECDF为菱形，
∴EC=CD=4，
即6-a=4，
解得a=2。
答案：B
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，AD//BC，AB=CD=4。
∵线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段FE，
∴FE=AB=4，FE//AB，AF=a。
∵AD//BC，FE//AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴BE=AF=a。
∵BC=6，
∴EC=BC-BE=6-a。
∵四边形ECDF为菱形，
∴EC=CD=4，
即6-a=4，
解得a=2。
答案：B
2. (2025·云南·3分)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O。若AC=6，BD=5，则菱形ABCD的面积是
15
。答案：2.15
解析：
解：因为四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=5，
菱形的面积等于对角线乘积的一半，
所以菱形ABCD的面积为$\frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2} × 6 × 5 = 15$。
15
菱形的面积等于对角线乘积的一半，
所以菱形ABCD的面积为$\frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2} × 6 × 5 = 15$。
15
3. (2025·甘肃兰州·3分)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE=CE。若AB=√{48}，则AF=
4
。答案：3.4
解析：
解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴ $AB = BC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$，且 $AE ⊥ BC$，$BE = CE$，
∴ $AE$ 垂直平分 $BC$，故 $AB = AC$，
∴ $\triangle ABC$ 是等边三角形，
∴ $\angle ABC = 60°$，$BE = \frac{1}{2}BC = 2\sqrt{3}$，
在 $\mathrm{Rt}\triangle ABE$ 中，$AE = AB · \sin 60° = 4\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 6$，
∵ 菱形对角线平分内角，
∴ $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle ABC = 30°$，
在 $\mathrm{Rt}\triangle BEF$ 中，$EF = BE · \tan 30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3} = 2$，
∴ $AF = AE - EF = 6 - 2 = 4$。
答案： $4$
∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴ $AB = BC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$，且 $AE ⊥ BC$，$BE = CE$，
∴ $AE$ 垂直平分 $BC$，故 $AB = AC$，
∴ $\triangle ABC$ 是等边三角形，
∴ $\angle ABC = 60°$，$BE = \frac{1}{2}BC = 2\sqrt{3}$，
在 $\mathrm{Rt}\triangle ABE$ 中，$AE = AB · \sin 60° = 4\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 6$，
∵ 菱形对角线平分内角，
∴ $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle ABC = 30°$，
在 $\mathrm{Rt}\triangle BEF$ 中，$EF = BE · \tan 30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3} = 2$，
∴ $AF = AE - EF = 6 - 2 = 4$。
答案： $4$
4. (3分)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=70°，延长BC到点E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM=15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F。若DF=4，则对角线BD的长为
8
。答案：4.8 解析:连接AC，交BD于点O.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BD = 2OD，AB//CD，$∠ABD = \frac{1}{2}∠ABC，$即$∠CDB = ∠ABD = \frac{1}{2}∠ABC，$∠DCE = ∠ABC.又∠ABC = 70°，所以∠DCE = 70°，∠CDB = 35°，即∠ACD = 90°-∠CDB = 55°.又∠ECM = 15°，所以∠DCF = 55°，即∠ACD = ∠DCF.所以CD平分∠ACM.又DF⊥CM，所以OD = DF.又DF = 4，所以OD = 4，即BD = 8.
解析：
证明：连接AC，交BD于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD=2OD，AB//CD，∠ABD=∠CBD=1/2∠ABC，∠DCE=∠ABC。
∵∠ABC=70°，
∴∠DCE=70°，∠CBD=35°。
∵AC⊥BD，
∴∠BCD=180°-∠CBD-∠BDC=180°-35°-35°=110°，
∴∠ACD=1/2∠BCD=55°。
∵∠ECM=15°，
∴∠DCF=∠DCE-∠ECM=70°-15°=55°，
∴∠ACD=∠DCF，即CD平分∠ACF。
∵DF⊥CM，DO⊥AC，
∴OD=DF=4。
∵BD=2OD，
∴BD=8。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD=2OD，AB//CD，∠ABD=∠CBD=1/2∠ABC，∠DCE=∠ABC。
∵∠ABC=70°，
∴∠DCE=70°，∠CBD=35°。
∵AC⊥BD，
∴∠BCD=180°-∠CBD-∠BDC=180°-35°-35°=110°，
∴∠ACD=1/2∠BCD=55°。
∵∠ECM=15°，
∴∠DCF=∠DCE-∠ECM=70°-15°=55°，
∴∠ACD=∠DCF，即CD平分∠ACF。
∵DF⊥CM，DO⊥AC，
∴OD=DF=4。
∵BD=2OD，
∴BD=8。
5. (6分)新素养 推理能力 如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，E是AD的中点，M是边AB上的一个动点（不与点A重合），连接ME并延长，交CD的延长线于点N，连接MD，AN。
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）当AM的长为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由。
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）当AM的长为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由。
答案：5.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AB//CD，AB = AD，即∠AME = ∠DNE，∠MAE = ∠NDE.又E为AD的中点，所以AE = DE.所以△AME≌△DNE(AAS).所以ME = NE.所以四边形AMDN是平行四边形.
(2)当AM = 1时，四边形AMDN是矩形.理由如下:由(1)，得AB = AD，四边形AMDN是平行四边形.连接BD，因为∠DAB = 60°，所以△ABD是等边三角形.要使四边形AMDN是矩形，则∠AMD = 90°，即DM⊥AB.所以$AM = \frac{1}{2}AB.$又AB = 2，所以AM = 1.所以当AM = 1时，四边形AMDN是矩形.
(2)当AM = 1时，四边形AMDN是矩形.理由如下:由(1)，得AB = AD，四边形AMDN是平行四边形.连接BD，因为∠DAB = 60°，所以△ABD是等边三角形.要使四边形AMDN是矩形，则∠AMD = 90°，即DM⊥AB.所以$AM = \frac{1}{2}AB.$又AB = 2，所以AM = 1.所以当AM = 1时，四边形AMDN是矩形.
6. (2024·湖北武汉·3分)如图，小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长度为半径作弧，分别交AM，AN于B，D两点；③分别以B，D两点为圆心，1个单位长度为半径作弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD。若∠A=44°，则∠CBD的度数为(
A.64°
B.66°
C.68°
D.70°
C
)A.64°
B.66°
C.68°
D.70°
答案：6.C
解析：
证明：由题意得，$AB = AD = 1$，$BC = CD = 1$，
$\therefore AB = BC = CD = AD$，
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
$\therefore AD // BC$，
$\therefore \angle A + \angle ABC = 180°$，
$\because \angle A = 44°$，
$\therefore \angle ABC = 180° - 44° = 136°$，
$\because AB = AD$，
$\therefore \triangle ABD$ 是等腰三角形，
$\therefore \angle ABD = \angle ADB = \frac{180° - \angle A}{2} = \frac{180° - 44°}{2} = 68°$，
$\because BC = CD$，
$\therefore \triangle BCD$ 是等腰三角形，
$\because AD // BC$，
$\therefore \angle ADB = \angle CBD$（内错角相等），
$\therefore \angle CBD = 68°$。
答案：C
$\therefore AB = BC = CD = AD$，
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
$\therefore AD // BC$，
$\therefore \angle A + \angle ABC = 180°$，
$\because \angle A = 44°$，
$\therefore \angle ABC = 180° - 44° = 136°$，
$\because AB = AD$，
$\therefore \triangle ABD$ 是等腰三角形，
$\therefore \angle ABD = \angle ADB = \frac{180° - \angle A}{2} = \frac{180° - 44°}{2} = 68°$，
$\because BC = CD$，
$\therefore \triangle BCD$ 是等腰三角形，
$\because AD // BC$，
$\therefore \angle ADB = \angle CBD$（内错角相等），
$\therefore \angle CBD = 68°$。
答案：C