证明：连接$CD$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，$AC=16$，$BC=12$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{16^2+12^2}=20$。
$\because D$是$AB$的中点，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AB=10$，$AD=BD$。
$\because BE=BC$，$F$是$DE$的中点，
$\therefore BF$是$\triangle CDE$的中位线，
$\therefore BF=\frac{1}{2}CD=5$。
答案：A

证明：取 $DE$ 中点 $O$，连接 $AO$。
在 $□ABCD$ 中，$AD// BC$，$AF⊥BC$，则 $AF⊥AD$，$\angle DAE=90°$。
在 $Rt\triangle ADE$ 中，$O$ 为 $DE$ 中点，$\therefore AO=\frac{1}{2}DE=DO$。
$\because DE=2AB$，$\therefore AO=AB$，$\angle ABO=\angle AOB$。
设 $\angle AED=\alpha$，则 $\angle ADE=90°-\alpha$，$\angle AOD=2\angle ADE=180°-2\alpha$。
$\angle AOB=180°-\angle AOD=2\alpha$，$\angle ABO=2\alpha$。
$\because AD// BC$，$\angle DBC=\angle ADE=90°-\alpha$。
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC=\angle ABO+\angle DBC=2\alpha+(90°-\alpha)=75°$，解得 $\alpha=65°$。
$\angle AED=65°$
答案：B

证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AC⊥BD$，$OA=OD$，$\angle OAD=\angle ODC=45°$，$\angle AOD=90°$。
∵$ON⊥OM$，
∴$\angle MON=90°$，
∴$\angle AOD-\angle DOM=\angle MON-\angle DOM$，即$\angle AOM=\angle DON$。
在$\triangle AOM$和$\triangle DON$中，
$\begin{cases} \angle OAM=\angle ODN=45° \\OA=OD \\\angle AOM=\angle DON \end{cases}$，
∴$\triangle AOM≌\triangle DON(\mathrm{ASA})$，
∴$S_{\triangle AOM}=S_{\triangle DON}$。
∵$S_{\mathrm{四边形}MON D}=S_{\triangle DOM}+S_{\triangle DON}=S_{\triangle DOM}+S_{\triangle AOM}=S_{\triangle AOD}=1$，
又
∵$S_{\triangle AOD}=\frac{1}{4}S_{\mathrm{正方形}ABCD}$，
∴$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=4$，
∴$AB^2=4$，即$AB=2$。
答案：C

证明：设$\triangle AEO$，$\triangle BFO$，$\triangle CGO$，$\triangle DHO$的面积都为$a$。
设矩形$EFGH$中，$OE = m$，$OF = n$，$OH = p$，$OG = q$，$FH$与$GE$交于点$O$，则$S_3 = (m + q)(n + p)$。
$\triangle ADE$为等腰直角三角形，设直角边为$a_1$，则$S_1=\frac{1}{2}a_1^2$。同理$\triangle BCG$中$S_1=\frac{1}{2}a_2^2$，由图形对称性知$a_1 = a_2$。
$\triangle AEO$面积$a=\frac{1}{2} · OE · h_1$（$h_1$为$A$到$GE$的距离），$\triangle DHO$面积$a=\frac{1}{2} · OH · h_1$，故$OE = OH$，即$m = p$。
同理$\triangle BFO$与$\triangle CGO$面积相等，可得$OF = OG$，即$n = q$。
$S_1 = S_{\triangle ADE} = S_{\triangle AEO} + S_{\triangle DHO} + S_{\triangle AOD} = a + a + S_{\triangle AOD} = 2a + S_{\triangle AOD}$。
$S_2 = S_{\triangle ABF} = S_{\triangle AEO} + S_{\triangle BFO} + S_{\triangle AOB} = a + a + S_{\triangle AOB} = 2a + S_{\triangle AOB}$。
在$□ABCD$中，$S_{\triangle AOD} = S_{\triangle AOB}$（等底等高），故$S_1 = S_2$。
结论一定成立的是A。
A