1. (2分)下列各式中，一定是二次根式的是(
A.$\sqrt{-2}$
B.$\sqrt[3]{2}$
C.$\sqrt{a^{2}+1}$
D.$\sqrt{a - 2}$
C
)A.$\sqrt{-2}$
B.$\sqrt[3]{2}$
C.$\sqrt{a^{2}+1}$
D.$\sqrt{a - 2}$
答案：1. C
2. (3分)有下列各式：$\sqrt{3}$，$\sqrt[3]{7}$，$\sqrt{a + 9}$，$\sqrt{m^{2}+2n + 2}$，$\sqrt{2 - x}(x\leqslant2)$，$\sqrt{-\dfrac{1}{3}}$。其中，一定是二次根式的有
2
个。答案：2. 2
解析：
$\sqrt{3}$是二次根式；$\sqrt[3]{7}$是三次根式，不是二次根式；当$a+9＜0$时，$\sqrt{a + 9}$无意义，不一定是二次根式；$m^{2}+2n + 2=(m^2)+(2n + 2)$，无法确定其是否恒大于等于0，不一定是二次根式；$\sqrt{2 - x}(x\leqslant2)$，因为$x\leqslant2$，所以$2 - x\geqslant0$，是二次根式；$\sqrt{-\dfrac{1}{3}}$中被开方数为负，无意义，不是二次根式。一定是二次根式的有$\sqrt{3}$，$\sqrt{2 - x}(x\leqslant2)$，共2个。
2
2
3. (3分)已知当$x = 3$时，$\sqrt{2x - a}$无意义；当$x = 5$时，$\sqrt{2x - a}$是二次根式，则$a$的值可能是(
A.4
B.8
C.12
D.16
B
)A.4
B.8
C.12
D.16
答案：3. B
解析：
当$x = 3$时，$\sqrt{2x - a}$无意义，所以$2x - a ＜ 0$，即$2×3 - a ＜ 0$，$6 - a ＜ 0$，解得$a ＞ 6$。
当$x = 5$时，$\sqrt{2x - a}$是二次根式，所以$2x - a \geq 0$，即$2×5 - a \geq 0$，$10 - a \geq 0$，解得$a \leq 10$。
综上，$6 ＜ a \leq 10$，选项中符合条件的是$8$。
B
当$x = 5$时，$\sqrt{2x - a}$是二次根式，所以$2x - a \geq 0$，即$2×5 - a \geq 0$，$10 - a \geq 0$，解得$a \leq 10$。
综上，$6 ＜ a \leq 10$，选项中符合条件的是$8$。
B
4. (3分)若$a$，$b$，$c$满足$\sqrt{a + b - 4}+|a - c + 2|=\sqrt{b - c}+\sqrt{c - b}$，则$a + b + c$的平方根是
$\pm\sqrt{7}$
。答案：4. $\pm\sqrt{7}$
解析：
要使$\sqrt{b - c}$和$\sqrt{c - b}$有意义，则$b - c \geq 0$且$c - b \geq 0$，即$b = c$。
将$b = c$代入原式$\sqrt{a + b - 4} + |a - c + 2| = \sqrt{b - c} + \sqrt{c - b}$，可得：
$\sqrt{a + b - 4} + |a - b + 2| = 0$
因为$\sqrt{a + b - 4} \geq 0$，$|a - b + 2| \geq 0$，所以：
$\begin{cases}a + b - 4 = 0 \\ a - b + 2 = 0\end{cases}$
解方程组：
由$a - b + 2 = 0$得$a = b - 2$，代入$a + b - 4 = 0$：
$b - 2 + b - 4 = 0$，$2b = 6$，$b = 3$
则$a = 3 - 2 = 1$，$c = b = 3$
所以$a + b + c = 1 + 3 + 3 = 7$，$7$的平方根是$\pm\sqrt{7}$
$\pm\sqrt{7}$
将$b = c$代入原式$\sqrt{a + b - 4} + |a - c + 2| = \sqrt{b - c} + \sqrt{c - b}$，可得：
$\sqrt{a + b - 4} + |a - b + 2| = 0$
因为$\sqrt{a + b - 4} \geq 0$，$|a - b + 2| \geq 0$，所以：
$\begin{cases}a + b - 4 = 0 \\ a - b + 2 = 0\end{cases}$
解方程组：
由$a - b + 2 = 0$得$a = b - 2$，代入$a + b - 4 = 0$：
$b - 2 + b - 4 = 0$，$2b = 6$，$b = 3$
则$a = 3 - 2 = 1$，$c = b = 3$
所以$a + b + c = 1 + 3 + 3 = 7$，$7$的平方根是$\pm\sqrt{7}$
$\pm\sqrt{7}$
5. (6分)已知$x$，$y$是$\mathrm{Rt}\triangle ABC$的一条直角边和斜边的长，且$y=\sqrt{x - 5}+\sqrt{5 - x}+13$。
(1) 求$2x + 3y$的算术平方根；
(2) 求$\mathrm{Rt}\triangle ABC$的面积。
(1) 求$2x + 3y$的算术平方根；
(2) 求$\mathrm{Rt}\triangle ABC$的面积。
答案：5. (1) 由题意，得$\begin{cases} x - 5 \geqslant 0, \\ 5 - x \geqslant 0, \end{cases} $则5 - x = 0，即x = 5。所以y = 13。所以2x + 3y = 49。因为$7^2 = 49，$所以2x + 3y的算术平方根为7。
(2) 设$Rt\triangle ABC$的另一直角边长为z。由(1)，得x = 5，y = 13。在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理，得$z = \sqrt{y^2 - x^2} = 12。$所以$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}xz = 30。$则$Rt\triangle ABC$的面积为30。
(2) 设$Rt\triangle ABC$的另一直角边长为z。由(1)，得x = 5，y = 13。在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理，得$z = \sqrt{y^2 - x^2} = 12。$所以$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}xz = 30。$则$Rt\triangle ABC$的面积为30。
6. (3分)已知$\sqrt{a + 3}+|b - 4|+(2 + c)^{2}=0$，则$(b + c)^{a}$的立方根为(
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$-\dfrac{1}{2}$
C.$-2$
D.2
A
)A.$\dfrac{1}{2}$
B.$-\dfrac{1}{2}$
C.$-2$
D.2
答案：6. A
解析：
因为$\sqrt{a + 3} \geq 0$，$|b - 4| \geq 0$，$(2 + c)^{2} \geq 0$，且$\sqrt{a + 3} + |b - 4| + (2 + c)^{2} = 0$，所以$\sqrt{a + 3} = 0$，$|b - 4| = 0$，$(2 + c)^{2} = 0$。
解得$a + 3 = 0$，$a = -3$；$b - 4 = 0$，$b = 4$；$2 + c = 0$，$c = -2$。
则$(b + c)^{a} = (4 + (-2))^{-3} = 2^{-3} = \dfrac{1}{8}$。
$\dfrac{1}{8}$的立方根为$\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}} = \dfrac{1}{2}$。
A
解得$a + 3 = 0$，$a = -3$；$b - 4 = 0$，$b = 4$；$2 + c = 0$，$c = -2$。
则$(b + c)^{a} = (4 + (-2))^{-3} = 2^{-3} = \dfrac{1}{8}$。
$\dfrac{1}{8}$的立方根为$\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}} = \dfrac{1}{2}$。
A
7. (3分)已知$x$，$y$都是实数，且$\sqrt{x + y - 6}$与$\sqrt{4 - \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}}$互为相反数，则以$x + y$，$x - y$为两直角边长的直角三角形的斜边长为
10
。答案：7. 10
解析：
因为$\sqrt{x + y - 6}$与$\sqrt{4 - \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}}$互为相反数，所以$\sqrt{x + y - 6} + \sqrt{4 - \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}} = 0$。
由于算术平方根具有非负性，所以$\begin{cases}x + y - 6 = 0 \\ 4 - \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2} = 0\end{cases}$
由第一个方程得$x + y = 6$。
对第二个方程化简：$4 + \dfrac{y - x}{2} = 0$，即$\dfrac{y - x}{2} = -4$，所以$y - x = -8$，则$x - y = 8$。
直角三角形两直角边长为$x + y = 6$和$x - y = 8$，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。
10
由于算术平方根具有非负性，所以$\begin{cases}x + y - 6 = 0 \\ 4 - \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2} = 0\end{cases}$
由第一个方程得$x + y = 6$。
对第二个方程化简：$4 + \dfrac{y - x}{2} = 0$，即$\dfrac{y - x}{2} = -4$，所以$y - x = -8$，则$x - y = 8$。
直角三角形两直角边长为$x + y = 6$和$x - y = 8$，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。
10
8. (6分)已知$m$，$n$满足$|4 - 2m|+(n - 2)^{2}+\sqrt{(m - 2)^{2}}=2m - 4$，求$m + n$的值。
答案：8. 因为|4 - 2m|$ \geqslant 0，$$(n - 2)^2 \geqslant 0，$$\sqrt{(m - 2)^2} \geqslant 0，$且|4 - 2m|$ + (n - 2)^2 + \sqrt{(m - 2)^2} = 2m - 4，$所以$2m - 4 \geqslant 0，$解得$m \geqslant 2。$所以等式可化为$(n - 2)^2 + \sqrt{(m - 2)^2} = 0。$所以n - 2 = 0，m - 2 = 0，解得m = 2，n = 2。所以m + n = 4。
解析：
因为$|4 - 2m| \geqslant 0$，$(n - 2)^2 \geqslant 0$，$\sqrt{(m - 2)^2} \geqslant 0$，且$|4 - 2m| + (n - 2)^2 + \sqrt{(m - 2)^2} = 2m - 4$，所以$2m - 4 \geqslant 0$，解得$m \geqslant 2$。此时$|4 - 2m| = 2m - 4$，等式可化为$(n - 2)^2 + \sqrt{(m - 2)^2} = 0$。因为$(n - 2)^2 \geqslant 0$，$\sqrt{(m - 2)^2} \geqslant 0$，所以$n - 2 = 0$，$m - 2 = 0$，解得$m = 2$，$n = 2$。因此$m + n = 2 + 2 = 4$。