1. 新素养 几何直观 甲、乙、丙三人参加了一次节日活动，幸运的是他们各得到了一件礼物. 事情是这样的：墙上挂着两串礼物(如图)，每次只能从其中一串的最下端取一件，直到礼物取完为止. 甲第一个取得礼物，然后乙、丙依次取得第2件、第3件礼物. 事后他们打开这些礼物仔细比较发现，礼物B最精美，则取得礼物B概率最大的是(
A.甲
B.乙
C.丙
D.无法确定
C
)A.甲
B.乙
C.丙
D.无法确定
答案：1. C
2. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为(8,6). 若将△OAB沿OB翻折，点A的对应点为E，OE交BC于点D，则点D的坐标为(
A.$(\frac{3}{8},6)$
B.$(\frac{7}{4},6)$
C.$(\frac{3}{4},6)$
D.$(\frac{7}{8},6)$
B
)A.$(\frac{3}{8},6)$
B.$(\frac{7}{4},6)$
C.$(\frac{3}{4},6)$
D.$(\frac{7}{8},6)$
答案：2. B
解析：
解：
∵四边形OABC为矩形，点B坐标为(8,6)，
∴OA=8，AB=6，BC=OA=8，OC=AB=6，点C坐标为(0,6)，点A坐标为(8,0)。
设点D坐标为(x,6)，则CD=x，BD=BC-CD=8-x。
由翻折性质得：OE=OA=8，∠EOB=∠AOB。
∵BC//OA，
∴∠DBO=∠AOB，
∴∠DBO=∠EOB，
∴OD=BD=8-x。
在Rt△OCD中，OC=6，CD=x，OD=8-x，
由勾股定理得：$OC^2 + CD^2 = OD^2$，即$6^2 + x^2 = (8 - x)^2$，
解得$x = \frac{7}{4}$，
∴点D坐标为$(\frac{7}{4},6)$。
B
∵四边形OABC为矩形，点B坐标为(8,6)，
∴OA=8，AB=6，BC=OA=8，OC=AB=6，点C坐标为(0,6)，点A坐标为(8,0)。
设点D坐标为(x,6)，则CD=x，BD=BC-CD=8-x。
由翻折性质得：OE=OA=8，∠EOB=∠AOB。
∵BC//OA，
∴∠DBO=∠AOB，
∴∠DBO=∠EOB，
∴OD=BD=8-x。
在Rt△OCD中，OC=6，CD=x，OD=8-x，
由勾股定理得：$OC^2 + CD^2 = OD^2$，即$6^2 + x^2 = (8 - x)^2$，
解得$x = \frac{7}{4}$，
∴点D坐标为$(\frac{7}{4},6)$。
B
3. 为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，某市政府拟对公用设施进行全面更新改造. 现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标. 每施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，付乙工程队工程款0.5万元. 工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案：方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程；方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天；方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成. 在不耽误工期的前提下，最节省费用的是(
A.方案①
B.方案②
C.方案③
D.方案①和方案③
C
)A.方案①
B.方案②
C.方案③
D.方案①和方案③
答案：3. C
解析：
设规定日期为$x$天，则甲队单独完成需$x$天，乙队单独完成需$(x + 10)$天。
根据题意，得$\frac{5}{x} + \frac{x}{x + 10} = 1$
方程两边同乘$x(x + 10)$，得$5(x + 10) + x^2 = x(x + 10)$
解得$x = 10$
经检验，$x = 10$是原方程的解，且符合题意。
方案①费用：$1.2×10 = 12$（万元）
方案③费用：$1.2×5 + 0.5×10 = 6 + 5 = 11$（万元）
$11 ＜ 12$，所以最节省费用的是方案③。
C
根据题意，得$\frac{5}{x} + \frac{x}{x + 10} = 1$
方程两边同乘$x(x + 10)$，得$5(x + 10) + x^2 = x(x + 10)$
解得$x = 10$
经检验，$x = 10$是原方程的解，且符合题意。
方案①费用：$1.2×10 = 12$（万元）
方案③费用：$1.2×5 + 0.5×10 = 6 + 5 = 11$（万元）
$11 ＜ 12$，所以最节省费用的是方案③。
C
4. 亮点原创 已知△ABC的三边长分别为a，b，c(a ＜ b ＜ c)，则下列结论正确的是(
A.$\sqrt{a}+\sqrt{b}＜\sqrt{c}$
B.$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{c}$
C.$\sqrt{a}+\sqrt{b}＞\sqrt{c}$
D.$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geqslant\sqrt{c}$
C
)A.$\sqrt{a}+\sqrt{b}＜\sqrt{c}$
B.$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{c}$
C.$\sqrt{a}+\sqrt{b}＞\sqrt{c}$
D.$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geqslant\sqrt{c}$
答案：4. C
5. 已知m，n均为正整数且满足mn - 2m - 3n - 20 = 0，则m + n的最小值是(
A.20
B.30
C.32
D.37
A
)A.20
B.30
C.32
D.37
答案：5. A
解析：
mn - 2m - 3n - 20 = 0
mn - 2m - 3n = 20
m(n - 2) - 3n = 20
m(n - 2) - 3(n - 2) = 26
(m - 3)(n - 2) = 26
26的正整数因数对：(1,26)，(2,13)，(13,2)，(26,1)
情况1：m - 3 = 1，n - 2 = 26
m = 4，n = 28，m + n = 32
情况2：m - 3 = 2，n - 2 = 13
m = 5，n = 15，m + n = 20
情况3：m - 3 = 13，n - 2 = 2
m = 16，n = 4，m + n = 20
情况4：m - 3 = 26，n - 2 = 1
m = 29，n = 3，m + n = 32
m + n的最小值是20
A
mn - 2m - 3n = 20
m(n - 2) - 3n = 20
m(n - 2) - 3(n - 2) = 26
(m - 3)(n - 2) = 26
26的正整数因数对：(1,26)，(2,13)，(13,2)，(26,1)
情况1：m - 3 = 1，n - 2 = 26
m = 4，n = 28，m + n = 32
情况2：m - 3 = 2，n - 2 = 13
m = 5，n = 15，m + n = 20
情况3：m - 3 = 13，n - 2 = 2
m = 16，n = 4，m + n = 20
情况4：m - 3 = 26，n - 2 = 1
m = 29，n = 3，m + n = 32
m + n的最小值是20
A
6. 现有一列数：$a_1,a_2,a_3,···,a_n$(n为大于2的整数)，且$a_1 = 2$，$a_2 - a_1 = 4$，$a_3 - a_2 = 6$，$···$，$a_n - a_{n - 1} = 2n$. 若$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+···+\frac{1}{a_{n - 5}}=\frac{505}{1011}$，则n的值为(
A.2023
B.2024
C.2025
D.2026
D
)A.2023
B.2024
C.2025
D.2026
答案：6. D 解析：由题意，得$a_n=2+4+6+···+2n=$
$n(n+1)$，所以$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.又$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+···+\frac{1}{a_{n-5}}=\frac{505}{1011}$，所以$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+···+\frac{1}{n-5}-\frac{1}{n-4}=\frac{505}{1011}$，解得$n=$
$2026$.经检验，$n=2026$是原方程的解，且符合题
意.则$n$的值为$2026$.
$n(n+1)$，所以$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.又$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+···+\frac{1}{a_{n-5}}=\frac{505}{1011}$，所以$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+···+\frac{1}{n-5}-\frac{1}{n-4}=\frac{505}{1011}$，解得$n=$
$2026$.经检验，$n=2026$是原方程的解，且符合题
意.则$n$的值为$2026$.
7. 如图，在正方形ABCD中，AB = 8，点E在对角线AC上运动，连接DE，将线段DE绕点D按逆时针方向旋转90°得到线段DF，连接EF，CF，点P在CD上，且CP = 3PD. 有下列结论：
① $EF^2 = AE^2 + CE^2$；② $EF = \sqrt{2}DE$；③ PF的长的最小值是$4\sqrt{2}$；④ △CFE面积的最大值是16. 其中正确的是(
A.①②④
B.②③④
C.①②③
D.①③④
① $EF^2 = AE^2 + CE^2$；② $EF = \sqrt{2}DE$；③ PF的长的最小值是$4\sqrt{2}$；④ △CFE面积的最大值是16. 其中正确的是(
A
)A.①②④
B.②③④
C.①②③
D.①③④
答案：7. A 解析：因为四边形$ABCD$是正方形，$AB=8$，
所以$AD=CD=AB=8$，$\angle ADC=90°$，$\angle DAC=$
$\angle DCA=45°$.所以$\angle ADE+\angle CDE=90°$.由旋转
的性质，得$DF=DE$，$\angle EDF=90°$，所以$\angle CDF+$
$\angle CDE=90°$，即$\angle CDF=\angle ADE$.所以$\triangle CDF\cong$
$\triangle ADE(SAS)$.所以$CF=AE$，$\angle DCF=$
$\angle DAE=45°$.所以$\angle ECF=\angle DCA+\angle DCF=$
$90°$.在$Rt\triangle CEF$中，由勾股定理，得$EF^2=CF^2+$
$CE^2=AE^2+CE^2$.故①正确；在$Rt\triangle EDF$中，由
勾股定理，得$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{2}DE$.故②正
确；因为$CP=3PD$，所以$CP=\frac{3}{4}CD=6$.当
$\angle PFC=90°$时，$PF$的长取最小值，此时$\angle CPF=$
$90°-\angle DCF=45°$，所以$\angle CPF=\angle DCF$.所以
$PF=CF$.在$Rt\triangle CPF$中，由勾股定理，得$CP=$
$\sqrt{PF^2+CF^2}=\sqrt{2}PF=6$，所以$PF=3\sqrt{2}$.故③错
误；设$CE=x$.在$Rt\triangle ACD$中，由勾股定理，得
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=8\sqrt{2}$，所以$CF=AE=AC-$
$CE=8\sqrt{2}-x$.所以$S_{\triangle CFE}=\frac{1}{2}CE· CF=$
$\frac{1}{2}x(8\sqrt{2}-x)=-\frac{1}{2}x^2+4\sqrt{2}x=-\frac{1}{2}(x-$
$4\sqrt{2})^2+16$.因为$-\frac{1}{2}(x-4\sqrt{2})^2\leq0$，所以
$-\frac{1}{2}(x-4\sqrt{2})^2+16\leq16$，即$S_{\triangle CFE}\leq16$.所以
$\triangle CFE$面积的最大值是$16$.故④正确.综上，其中
正确的是①②④.
所以$AD=CD=AB=8$，$\angle ADC=90°$，$\angle DAC=$
$\angle DCA=45°$.所以$\angle ADE+\angle CDE=90°$.由旋转
的性质，得$DF=DE$，$\angle EDF=90°$，所以$\angle CDF+$
$\angle CDE=90°$，即$\angle CDF=\angle ADE$.所以$\triangle CDF\cong$
$\triangle ADE(SAS)$.所以$CF=AE$，$\angle DCF=$
$\angle DAE=45°$.所以$\angle ECF=\angle DCA+\angle DCF=$
$90°$.在$Rt\triangle CEF$中，由勾股定理，得$EF^2=CF^2+$
$CE^2=AE^2+CE^2$.故①正确；在$Rt\triangle EDF$中，由
勾股定理，得$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{2}DE$.故②正
确；因为$CP=3PD$，所以$CP=\frac{3}{4}CD=6$.当
$\angle PFC=90°$时，$PF$的长取最小值，此时$\angle CPF=$
$90°-\angle DCF=45°$，所以$\angle CPF=\angle DCF$.所以
$PF=CF$.在$Rt\triangle CPF$中，由勾股定理，得$CP=$
$\sqrt{PF^2+CF^2}=\sqrt{2}PF=6$，所以$PF=3\sqrt{2}$.故③错
误；设$CE=x$.在$Rt\triangle ACD$中，由勾股定理，得
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=8\sqrt{2}$，所以$CF=AE=AC-$
$CE=8\sqrt{2}-x$.所以$S_{\triangle CFE}=\frac{1}{2}CE· CF=$
$\frac{1}{2}x(8\sqrt{2}-x)=-\frac{1}{2}x^2+4\sqrt{2}x=-\frac{1}{2}(x-$
$4\sqrt{2})^2+16$.因为$-\frac{1}{2}(x-4\sqrt{2})^2\leq0$，所以
$-\frac{1}{2}(x-4\sqrt{2})^2+16\leq16$，即$S_{\triangle CFE}\leq16$.所以
$\triangle CFE$面积的最大值是$16$.故④正确.综上，其中
正确的是①②④.