【变式 2】
如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 从点 $B$ 出发，向终点 $C$ 运动，$DF⊥ AE$ 交 $AB$ 于点 $F$，以 $FD$，$FE$ 为邻边构造 $□ DFE P$，连接 $CP$，则 $\angle FAE + \angle EPC$ 的度数的变化情况是(
A.一直减小
B.先减小后增大
C.一直不变
D.先增大后减小
如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 从点 $B$ 出发，向终点 $C$ 运动，$DF⊥ AE$ 交 $AB$ 于点 $F$，以 $FD$，$FE$ 为邻边构造 $□ DFE P$，连接 $CP$，则 $\angle FAE + \angle EPC$ 的度数的变化情况是(
C
)A.一直减小
B.先减小后增大
C.一直不变
D.先增大后减小
答案：C
解析：
证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AD=AB$，$\angle DAB=\angle ABC=90°$。
∵ $DF ⊥ AE$，
∴ $\angle AFD=90°$，
∴ $\angle DAF + \angle ADF = 90°$。
又 $\angle DAF + \angle BAE = 90°$，
∴ $\angle ADF = \angle BAE$。
在 $\triangle ADF$ 和 $\triangle BAE$ 中，
$\begin{cases} \angle ADF = \angle BAE \\AD = BA \\\angle DAF = \angle ABE = 90° \end{cases}$，
∴ $\triangle ADF \cong \triangle BAE$（ASA），
∴ $AF = BE$，$DF = AE$。
∵ 四边形 $DFEP$ 是平行四边形，
∴ $DF // EP$，$DF = EP$，$FE // DP$，$FE = DP$。
∴ $EP = AE$，$\angle FEP = \angle AFD = 90°$。
设 $AB = a$，$AF = BE = x$，则 $BF = a - x$，$EC = a - x$。
∴ $BF = EC$。
在 $\triangle BFE$ 和 $\triangle CEP$ 中，
$\begin{cases} BF = CE \\\angle FBE = \angle ECP = 90° \\BE = CP \end{cases}$（可证 $BE = CP$），
∴ $\triangle BFE \cong \triangle CEP$（SAS），
∴ $\angle FEB = \angle EPC$。
∵ $\angle FAE + \angle AEB = 90°$，且 $\angle AEB = \angle FEB$，
∴ $\angle FAE + \angle EPC = 90°$。
结论：$\angle FAE + \angle EPC$ 的度数一直不变。
答案：C
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AD=AB$，$\angle DAB=\angle ABC=90°$。
∵ $DF ⊥ AE$，
∴ $\angle AFD=90°$，
∴ $\angle DAF + \angle ADF = 90°$。
又 $\angle DAF + \angle BAE = 90°$，
∴ $\angle ADF = \angle BAE$。
在 $\triangle ADF$ 和 $\triangle BAE$ 中，
$\begin{cases} \angle ADF = \angle BAE \\AD = BA \\\angle DAF = \angle ABE = 90° \end{cases}$，
∴ $\triangle ADF \cong \triangle BAE$（ASA），
∴ $AF = BE$，$DF = AE$。
∵ 四边形 $DFEP$ 是平行四边形，
∴ $DF // EP$，$DF = EP$，$FE // DP$，$FE = DP$。
∴ $EP = AE$，$\angle FEP = \angle AFD = 90°$。
设 $AB = a$，$AF = BE = x$，则 $BF = a - x$，$EC = a - x$。
∴ $BF = EC$。
在 $\triangle BFE$ 和 $\triangle CEP$ 中，
$\begin{cases} BF = CE \\\angle FBE = \angle ECP = 90° \\BE = CP \end{cases}$（可证 $BE = CP$），
∴ $\triangle BFE \cong \triangle CEP$（SAS），
∴ $\angle FEB = \angle EPC$。
∵ $\angle FAE + \angle AEB = 90°$，且 $\angle AEB = \angle FEB$，
∴ $\angle FAE + \angle EPC = 90°$。
结论：$\angle FAE + \angle EPC$ 的度数一直不变。
答案：C
典例 3
如图，四边形 $ABCD$ 和四边形 $CEFG$ 都是正方形，点 $G$ 在 $CD$ 上，在 $BC$ 上截取 $BM$，延长 $CD$ 到点 $N$，使 $BM = DN = CE$，连接 $AM$，$MF$，$FN$，$AN$，$AE$。若四边形 $AMFN$ 的面积为 $10$，$CE = 1$，则线段 $AE$ 的长为
如图，四边形 $ABCD$ 和四边形 $CEFG$ 都是正方形，点 $G$ 在 $CD$ 上，在 $BC$ 上截取 $BM$，延长 $CD$ 到点 $N$，使 $BM = DN = CE$，连接 $AM$，$MF$，$FN$，$AN$，$AE$。若四边形 $AMFN$ 的面积为 $10$，$CE = 1$，则线段 $AE$ 的长为
5
。答案：【思路分析】因为四边形 $ABCD$ 和四边形 $CEFG$ 都是正方形，所以 $AB = BC = CD = AD$，$CE = EF = FG = CG$，$\angle B = \angle BCD = \angle ADC = \angle BAD = \angle CEF = \angle CGF = 90^{\circ}$。又 $\angle ADN + \angle ADC = \angle CGF + \angle NGF = 180^{\circ}$，所以 $\angle ADN = \angle NGF = 90^{\circ}$。又 $BM = DN = CE$，所以 $BM = DN = GF = EF = CG$。所以 $BM + CM = CE + CM$，$DN + DG = CG + DG$，即 $BC = ME$，$CD = NG$。所以 $AB = ME = NG = AD$。所以 $\triangle ABM≌\triangle MEF≌\triangle NGF≌\triangle ADN(SAS)$。所以 $AM = MF = NF = AN$，$\angle BAM = \angle EMF$。又 $\angle BAM + \angle AMB = 90^{\circ}$，所以 $\angle EMF + \angle AMB = 90^{\circ}$。又 $\angle EMF + \angle AMF + \angle AMB = 180^{\circ}$，所以 $\angle AMF = 90^{\circ}$，即四边形 $AMFN$ 是正方形。又四边形 $AMFN$ 的面积为 $10$，$CE = 1$，所以 $MF = \sqrt{10}$，$EF = 1$。在 $Rt\triangle MEF$ 中，由勾股定理，得 $ME = \sqrt{MF^2 - EF^2} = 3$，所以 $AB = BC = 3$，即 $BE = 4$。在 $Rt\triangle ABE$ 中，由勾股定理，得 $AE = \sqrt{AB^2 + BE^2} = 5$。
【答案】$5$
【答案】$5$
【变式 3】
如图，$E$ 为正方形 $ABCD$ 内部一点，$\angle BEA = 90^{\circ}$，将 $Rt\triangle ABE$ 绕点 $B$ 按顺时针方向旋转 $90^{\circ}$ 得到 $Rt\triangle CBE'$，延长 $AE$ 交 $CE'$ 于点 $F$，连接 $DE$。若 $DA = DE$，则线段 $CF$ 与 $E'F$ 之间的数量关系为
如图，$E$ 为正方形 $ABCD$ 内部一点，$\angle BEA = 90^{\circ}$，将 $Rt\triangle ABE$ 绕点 $B$ 按顺时针方向旋转 $90^{\circ}$ 得到 $Rt\triangle CBE'$，延长 $AE$ 交 $CE'$ 于点 $F$，连接 $DE$。若 $DA = DE$，则线段 $CF$ 与 $E'F$ 之间的数量关系为
$CF = E'F$
。答案：$CF = E'F$ 解析：因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = BC = CD = AD$，$\angle ABC = \angle BCD = \angle BAD = \angle ADC = 90^{\circ}$.由旋转的性质，得$BE' = BE$，$\angle BE'C = \angle AEB$，$\angle EBE' = 90^{\circ}$.又$\angle AEB = 90^{\circ}$，$\angle AEB + \angle BEF = 180^{\circ}$，所以$\angle BE'C = 90^{\circ}$，$\angle BEF = 90^{\circ}$，即四边形$BE'FE$是正方形.所以$\angle EFE' = 90^{\circ}$，$EF = E'F$.连接$CE$.设$\angle BAE = \alpha$，则$\angle DAE = 90^{\circ} - \alpha$.又$DA = DE$，所以$\angle DEA = \angle DAE = 90^{\circ} - \alpha$，$DE = CD$，即$\angle DEC = \angle DCE$.又$\angle DAE + \angle DEA + \angle ADE = 180^{\circ}$，所以$\angle ADE = 2\alpha$，即$\angle CDE = 90^{\circ} - 2\alpha$.又$\angle CDE + \angle DCE + \angle DEC = 180^{\circ}$，所以$\angle DEC = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle CDE) = 45^{\circ} + \alpha$.又$\angle DEC + \angle CEF + \angle DEA = 180^{\circ}$，所以$\angle CEF = 180^{\circ} - \angle DEC - \angle DEA = 45^{\circ}$.又$\angle CEF + \angle ECF = \angle EFE'$，所以$\angle ECF = \angle CEF = 45^{\circ}$，即$CF = EF$.所以$CF = E'F$.
解析：
证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AB=BC=CD=AD$，$\angle ABC=\angle BCD=\angle BAD=\angle ADC=90°$。
由旋转性质得：$BE'=BE$，$\angle BE'C=\angle AEB=90°$，$\angle EBE'=90°$。
∵ $\angle AEB=90°$，$\angle AEB+\angle BEF=180°$，
∴ $\angle BEF=90°$，故四边形 $BE'FE$ 是正方形，
∴ $EF=E'F$，$\angle EFE'=90°$。
设 $\angle BAE=\alpha$，则 $\angle DAE=90°-\alpha$。
∵ $DA=DE$，
∴ $\angle DEA=\angle DAE=90°-\alpha$，$DE=CD$，
∴ $\angle DEC=\angle DCE$。
在 $\triangle ADE$ 中，$\angle ADE=180°-2(90°-\alpha)=2\alpha$，
∴ $\angle CDE=90°-2\alpha$。
在 $\triangle CDE$ 中，$\angle DEC=\frac{1}{2}(180°-\angle CDE)=45°+\alpha$。
∵ $\angle DEC+\angle CEF+\angle DEA=180°$，
∴ $\angle CEF=180°-(45°+\alpha)-(90°-\alpha)=45°$。
∵ $\angle EFE'=90°$，$\angle ECF+\angle CEF=\angle EFE'$，
∴ $\angle ECF=45°=\angle CEF$，
∴ $CF=EF$，又 $EF=E'F$，
∴ $CF=E'F$。
结论：$CF = E'F$
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AB=BC=CD=AD$，$\angle ABC=\angle BCD=\angle BAD=\angle ADC=90°$。
由旋转性质得：$BE'=BE$，$\angle BE'C=\angle AEB=90°$，$\angle EBE'=90°$。
∵ $\angle AEB=90°$，$\angle AEB+\angle BEF=180°$，
∴ $\angle BEF=90°$，故四边形 $BE'FE$ 是正方形，
∴ $EF=E'F$，$\angle EFE'=90°$。
设 $\angle BAE=\alpha$，则 $\angle DAE=90°-\alpha$。
∵ $DA=DE$，
∴ $\angle DEA=\angle DAE=90°-\alpha$，$DE=CD$，
∴ $\angle DEC=\angle DCE$。
在 $\triangle ADE$ 中，$\angle ADE=180°-2(90°-\alpha)=2\alpha$，
∴ $\angle CDE=90°-2\alpha$。
在 $\triangle CDE$ 中，$\angle DEC=\frac{1}{2}(180°-\angle CDE)=45°+\alpha$。
∵ $\angle DEC+\angle CEF+\angle DEA=180°$，
∴ $\angle CEF=180°-(45°+\alpha)-(90°-\alpha)=45°$。
∵ $\angle EFE'=90°$，$\angle ECF+\angle CEF=\angle EFE'$，
∴ $\angle ECF=45°=\angle CEF$，
∴ $CF=EF$，又 $EF=E'F$，
∴ $CF=E'F$。
结论：$CF = E'F$