典例 1 新素养 应用意识
将一个多项式分组后，可利用提公因式法或公式法继续分解的方法是分组分解法. 用分组分解法解答下列问题：
(1)分解因式：$x^{3}+x^{2}-4x - 4$；
(2)已知$m + n = 14$，$m^{3}+m^{2}n - mn^{2}-n^{3}=0$，求$m - n$的值.
将一个多项式分组后，可利用提公因式法或公式法继续分解的方法是分组分解法. 用分组分解法解答下列问题：
(1)分解因式：$x^{3}+x^{2}-4x - 4$；
(2)已知$m + n = 14$，$m^{3}+m^{2}n - mn^{2}-n^{3}=0$，求$m - n$的值.
答案：【思路分析】(1)先将原式分组为$(x^{3}+x^{2})-(4x + 4)$，再利用提公因式法和公式法进行分解；(2)先对等式左边进行因式分解，再把$m + n = 14$代入计算即可.
【答案】(1)$x^{3}+x^{2}-4x - 4=(x^{3}+x^{2})-(4x + 4)=x^{2}(x + 1)-4(x + 1)=(x + 1)(x^{2}-4)=(x + 1)(x + 2)(x - 2)$.
(2)因为$m^{3}+m^{2}n - mn^{2}-n^{3}=0$，所以$m^{2}(m + n)-n^{2}(m + n)=0$，即$(m + n)(m^{2}-n^{2})=0$. 所以$(m + n)^{2}(m - n)=0$. 又$m + n = 14$，所以$196(m - n)=0$，即$m - n = 0$.
【答案】(1)$x^{3}+x^{2}-4x - 4=(x^{3}+x^{2})-(4x + 4)=x^{2}(x + 1)-4(x + 1)=(x + 1)(x^{2}-4)=(x + 1)(x + 2)(x - 2)$.
(2)因为$m^{3}+m^{2}n - mn^{2}-n^{3}=0$，所以$m^{2}(m + n)-n^{2}(m + n)=0$，即$(m + n)(m^{2}-n^{2})=0$. 所以$(m + n)^{2}(m - n)=0$. 又$m + n = 14$，所以$196(m - n)=0$，即$m - n = 0$.
【变式 1】
(1)用分组分解法分解因式：$ab + a + b + 1$；
(2)若$a$，$b(a ＞ b)$都是正整数，且满足$ab - 2a - 2b + 4 = 8$，求$2a + b$的值.
(1)用分组分解法分解因式：$ab + a + b + 1$；
(2)若$a$，$b(a ＞ b)$都是正整数，且满足$ab - 2a - 2b + 4 = 8$，求$2a + b$的值.
答案：(1) 原式$=a(b+1)+(b+1)=(a+1)(b+1)$．
(2) 因为$ab - 2a - 2b + 4 = 8$，所以$a(b - 2) - 2(b - 2) = 8$，即$(a - 2)(b - 2) = 8$．又$a$，$b$都是正整数，$a ＞ b$，所以$a - 2$，$b - 2$都是整数，且$a - 2 ＞ b - 2 ＞ - 2$．又$8 = 1 × 8 = 2 × 4 = ( - 1) × ( - 8) = ( - 2) × ( - 4)$，所以$\begin{cases}a - 2 = 8,\\b - 2 = 1 \\\end{cases}$或$\begin{cases} a - 2 = 4, \\b - 2 = 2 \\\end{cases}$解得$\begin{cases} a = 10, \\b = 3 \\\end{cases}$或$\begin{cases} a = 6, \\b = 4 \\\end{cases}$则$2a + b = 23$或$16$．
(2) 因为$ab - 2a - 2b + 4 = 8$，所以$a(b - 2) - 2(b - 2) = 8$，即$(a - 2)(b - 2) = 8$．又$a$，$b$都是正整数，$a ＞ b$，所以$a - 2$，$b - 2$都是整数，且$a - 2 ＞ b - 2 ＞ - 2$．又$8 = 1 × 8 = 2 × 4 = ( - 1) × ( - 8) = ( - 2) × ( - 4)$，所以$\begin{cases}a - 2 = 8,\\b - 2 = 1 \\\end{cases}$或$\begin{cases} a - 2 = 4, \\b - 2 = 2 \\\end{cases}$解得$\begin{cases} a = 10, \\b = 3 \\\end{cases}$或$\begin{cases} a = 6, \\b = 4 \\\end{cases}$则$2a + b = 23$或$16$．
典例 2
把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式转化为可使用已学过的知识进行分解的方法叫作拆项补项法. 运用拆项补项法将下列各式分解因式.
(1)$x^{3}+9x - 10$；
(2)$x^{3}-2x^{2}-5x + 6$.
把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式转化为可使用已学过的知识进行分解的方法叫作拆项补项法. 运用拆项补项法将下列各式分解因式.
(1)$x^{3}+9x - 10$；
(2)$x^{3}-2x^{2}-5x + 6$.
答案：【思路分析】(1)先把原式变形为$x^{3}-x^{2}+x^{2}-x + 10x - 10$，再利用提公因式法或公式法分解因式即可；(2)先把原式变形为$x^{3}-3x^{2}+x^{2}-3x - 2x + 6$，再利用提公因式法或公式法分解因式即可.
【答案】(1)原式$=x^{3}-x^{2}+x^{2}-x + 10x - 10=x^{2}(x - 1)+x(x - 1)+10(x - 1)=(x - 1)(x^{2}+x + 10)$.
(2)原式$=x^{3}-3x^{2}+x^{2}-3x - 2x + 6=x^{2}(x - 3)+x(x - 3)-2(x - 3)=(x - 3)(x^{2}+x - 2)=(x - 3)(x^{2}-1 + x - 1)=(x - 3)[(x + 1)(x - 1)+x - 1]=(x - 3)(x - 1)(x + 2)$.
【答案】(1)原式$=x^{3}-x^{2}+x^{2}-x + 10x - 10=x^{2}(x - 1)+x(x - 1)+10(x - 1)=(x - 1)(x^{2}+x + 10)$.
(2)原式$=x^{3}-3x^{2}+x^{2}-3x - 2x + 6=x^{2}(x - 3)+x(x - 3)-2(x - 3)=(x - 3)(x^{2}+x - 2)=(x - 3)(x^{2}-1 + x - 1)=(x - 3)[(x + 1)(x - 1)+x - 1]=(x - 3)(x - 1)(x + 2)$.