典例 1
已知$\sqrt{96}·\sqrt{\frac{1}{3x}}$的结果是整数，则整数$x$的值有()
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
已知$\sqrt{96}·\sqrt{\frac{1}{3x}}$的结果是整数，则整数$x$的值有()
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
答案：【思路分析】因为$\sqrt{96}·\sqrt{\frac{1}{3x}}=\sqrt{96·\frac{1}{3x}}=\sqrt{\frac{32}{x}}$，且它的结果是整数，$x$是整数，所以$\sqrt{\frac{32}{x}} = 1,2,4$，解得$x = 32$或$8$或$2$。经检验，$x = 32$或$8$或$2$都符合题意。则整数$x$的值有$3$个。
【答案】B
【答案】B
【变式 1】
若$\sqrt{3}·\sqrt{\frac{8}{m}}$的结果是整数，则整数$m$的值是
若$\sqrt{3}·\sqrt{\frac{8}{m}}$的结果是整数，则整数$m$的值是
6或24
。答案：【变式1】6或24
解析：
$\sqrt{3}·\sqrt{\frac{8}{m}}=\sqrt{\frac{24}{m}}$，结果为整数，设$\sqrt{\frac{24}{m}}=k$（$k$为整数），则$\frac{24}{m}=k^2$，$m=\frac{24}{k^2}$。$m$为整数，$k^2$是24的因数，$k^2=1$时，$m=24$；$k^2=4$时，$m=6$。整数$m$的值是6或24。
典例 2
在解决问题“已知$\sqrt{7}=a$，$\sqrt{70}=b$，用含$a$，$b$的代数式表示$\sqrt{4.9}$”时，甲的结果是$\frac{ab}{10}$，乙的结果是$\frac{7a}{b}$，丙的结果是$\frac{7b}{10a}$。则下列说法正确的是()
A.甲对
B.乙、丙对
C.甲、乙对
D.甲、乙、丙都对
在解决问题“已知$\sqrt{7}=a$，$\sqrt{70}=b$，用含$a$，$b$的代数式表示$\sqrt{4.9}$”时，甲的结果是$\frac{ab}{10}$，乙的结果是$\frac{7a}{b}$，丙的结果是$\frac{7b}{10a}$。则下列说法正确的是()
A.甲对
B.乙、丙对
C.甲、乙对
D.甲、乙、丙都对
答案：【思路分析】因为$\sqrt{7}=a$，$\sqrt{70}=b$，且$\sqrt{4.9}=\sqrt{\frac{490}{100}}=\frac{\sqrt{490}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{7}×\sqrt{70}}{10}$，所以$\sqrt{4.9}=\frac{ab}{10}$。又$\sqrt{4.9}=\sqrt{\frac{49}{10}}=\sqrt{\frac{49×7}{70}}=\frac{7\sqrt{7}}{\sqrt{70}}$，所以$\sqrt{4.9}=\frac{7a}{b}$。又$\sqrt{4.9}=\sqrt{\frac{49}{10}}=\sqrt{\frac{49×70}{10×70}}=\frac{\sqrt{49×70}}{\sqrt{100×7}}=\frac{7\sqrt{70}}{10\sqrt{7}}$，所以$\sqrt{4.9}=\frac{7b}{10a}$。综上，甲、乙、丙都对。
【答案】D
【答案】D
【变式 2】
已知$\sqrt{3}=a$，$\sqrt{5}=b$，且将$\sqrt{135}$表示成$a^{m}b^{n}$($m$，$n$均为正整数)的形式，则$(m + n)^{m - n}$的平方根为
已知$\sqrt{3}=a$，$\sqrt{5}=b$，且将$\sqrt{135}$表示成$a^{m}b^{n}$($m$，$n$均为正整数)的形式，则$(m + n)^{m - n}$的平方根为
$\pm 4$
。答案：【变式$2】\pm 4$
解析：
$\sqrt{135}=\sqrt{9×15}=\sqrt{9×3×5}=3\sqrt{3}×\sqrt{5}$，因为$\sqrt{3}=a$，$\sqrt{5}=b$，所以$3\sqrt{3}×\sqrt{5}=3ab$，又因为$3=(\sqrt{3})^2=a^2$，所以$3ab=a^2ab=a^{3}b^{1}$，则$m=3$，$n=1$。
$(m + n)^{m - n}=(3 + 1)^{3 - 1}=4^{2}=16$，$16$的平方根为$\pm 4$。
$\pm 4$
$(m + n)^{m - n}=(3 + 1)^{3 - 1}=4^{2}=16$，$16$的平方根为$\pm 4$。
$\pm 4$