典例1 估算$\sqrt{27} × \sqrt{\dfrac{1}{3}} - \sqrt{65} ÷ (-\sqrt{5})$的值应在(
A.4和5之间
B.5和6之间
C.6和7之间
D.7和8之间
C
)A.4和5之间
B.5和6之间
C.6和7之间
D.7和8之间
答案：【思路分析】$\sqrt{27} × \sqrt{\dfrac{1}{3}} - \sqrt{65} ÷ (-\sqrt{5}) = \sqrt{27 × \dfrac{1}{3}} + \sqrt{65 ÷ 5} = 3 + \sqrt{13}$. 因为$3^{2} = 9$，$4^{2} = 16$，$9 ＜ 13 ＜ 16$，所以$3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$，即$6 ＜ 3 + \sqrt{13} ＜ 7$. 则$\sqrt{27} × \sqrt{\dfrac{1}{3}} - \sqrt{65} ÷ (-\sqrt{5})$的值在6和7之间.
【答案】C
【答案】C
【变式1】若$n$为正整数，且$n ＜ \sqrt{5} × (3\sqrt{5} + \sqrt{6}) ＜ n + 1$，则$n$的值为(
A.18
B.19
C.20
D.21
C
)A.18
B.19
C.20
D.21
答案：C
解析：
$\begin{aligned}\sqrt{5} × (3\sqrt{5} + \sqrt{6}) &= 3\sqrt{5} × \sqrt{5} + \sqrt{5} × \sqrt{6} \\&= 3 × 5 + \sqrt{30} \\&= 15 + \sqrt{30}\end{aligned}$
因为$5^2 = 25$，$6^2 = 36$，所以$5 ＜ \sqrt{30} ＜ 6$，则$15 + 5 ＜ 15 + \sqrt{30} ＜ 15 + 6$，即$20 ＜ 15 + \sqrt{30} ＜ 21$。又因为$n ＜ \sqrt{5} × (3\sqrt{5} + \sqrt{6}) ＜ n + 1$，所以$n = 20$。
C
因为$5^2 = 25$，$6^2 = 36$，所以$5 ＜ \sqrt{30} ＜ 6$，则$15 + 5 ＜ 15 + \sqrt{30} ＜ 15 + 6$，即$20 ＜ 15 + \sqrt{30} ＜ 21$。又因为$n ＜ \sqrt{5} × (3\sqrt{5} + \sqrt{6}) ＜ n + 1$，所以$n = 20$。
C
典例2 新素养 运算能力 已知$9 + \sqrt{13}$与$9 - \sqrt{13}$的小数部分分别为$a$和$b$，求$ab - 3a + 4b + 8$的值.
答案：$8$
解析：
因为$3＜\sqrt{13}＜4$，所以：
$9+\sqrt{13}$的整数部分为$12$，小数部分$a=9+\sqrt{13}-12=\sqrt{13}-3$；
$9-\sqrt{13}$的整数部分为$5$，小数部分$b=9-\sqrt{13}-5=4-\sqrt{13}$。
则$ab-3a+4b+8$
$=(\sqrt{13}-3)(4-\sqrt{13})-3(\sqrt{13}-3)+4(4-\sqrt{13})+8$
展开计算：
$=4\sqrt{13}-(\sqrt{13})^2-12+3\sqrt{13}-3\sqrt{13}+9+16-4\sqrt{13}+8$
$=4\sqrt{13}-13-12+3\sqrt{13}-3\sqrt{13}+9+16-4\sqrt{13}+8$
合并同类项：
$=(4\sqrt{13}+3\sqrt{13}-3\sqrt{13}-4\sqrt{13})+(-13-12+9+16+8)$
$=0+8=8$
$9+\sqrt{13}$的整数部分为$12$，小数部分$a=9+\sqrt{13}-12=\sqrt{13}-3$；
$9-\sqrt{13}$的整数部分为$5$，小数部分$b=9-\sqrt{13}-5=4-\sqrt{13}$。
则$ab-3a+4b+8$
$=(\sqrt{13}-3)(4-\sqrt{13})-3(\sqrt{13}-3)+4(4-\sqrt{13})+8$
展开计算：
$=4\sqrt{13}-(\sqrt{13})^2-12+3\sqrt{13}-3\sqrt{13}+9+16-4\sqrt{13}+8$
$=4\sqrt{13}-13-12+3\sqrt{13}-3\sqrt{13}+9+16-4\sqrt{13}+8$
合并同类项：
$=(4\sqrt{13}+3\sqrt{13}-3\sqrt{13}-4\sqrt{13})+(-13-12+9+16+8)$
$=0+8=8$
【变式2】已知$a = 7 - 2\sqrt{6}$，$b = 7 + 2\sqrt{6}$.
(1)求$a^{2} - b^{2}$的值；
(2)若$m$为$a$的整数部分，$n$为$b$的小数部分，求$\dfrac{m}{n}$的值.
(1)求$a^{2} - b^{2}$的值；
(2)若$m$为$a$的整数部分，$n$为$b$的小数部分，求$\dfrac{m}{n}$的值.
答案：(1)因为$a=7 - 2\sqrt{6}$，$b=7 + 2\sqrt{6}$，所以$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)=14×(-4\sqrt{6})=-56\sqrt{6}$.
(2)因为$a=7 - 2\sqrt{6}$，$b=7 + 2\sqrt{6}$，$16＜24＜25$，所以$4＜2\sqrt{6}＜5$，即$2＜2\sqrt{6}＜3$，$11＜b＜12$.又$m$为$a$的整数部分，$n$为$b$的小数部分，所以$m = 2$，$n=2\sqrt{6}-4$.所以$\frac{m}{n}=\frac{2}{2\sqrt{6}-4}=\frac{\sqrt{6}+2}{2}$.
(2)因为$a=7 - 2\sqrt{6}$，$b=7 + 2\sqrt{6}$，$16＜24＜25$，所以$4＜2\sqrt{6}＜5$，即$2＜2\sqrt{6}＜3$，$11＜b＜12$.又$m$为$a$的整数部分，$n$为$b$的小数部分，所以$m = 2$，$n=2\sqrt{6}-4$.所以$\frac{m}{n}=\frac{2}{2\sqrt{6}-4}=\frac{\sqrt{6}+2}{2}$.