1. (2025·江苏泰州模拟)定义:若 $ x,y $ 满足 $ x^{2}=4y+t $, $ y^{2}=4x+t $ 且 $ x \neq y $ ( $ t $ 为常数),则称点 $ M(x,y) $ 为“和谐点”.若双曲线 $ y=\frac{k}{x}(-3＜x＜-1) $ 上存在“和谐点”，则 $ k $ 的取值范围为
$3＜k＜4$
.答案：1. $3＜k＜4$ 解析:设双曲线$y=\frac{k}{x}(-3＜x＜-1)$上
存在“和谐点”$(a,\frac{k}{a})$. 由题意，得$a^{2}=\frac{4k}{a}+t$且
$\frac{k^{2}}{a^{2}}=4a+t$，所以$a^{2}-\frac{k^{2}}{a^{2}}=\frac{4k}{a}-4a$，所以$(a+\frac{k}{a})(a-\frac{k}{a})=-4(a-\frac{k}{a})$. 因为$a\neq\frac{k}{a}$，所以$a-\frac{k}{a}\neq0$，所以$a+\frac{k}{a}=-4$，所以$k=-a^{2}-4a=-(a+2)^{2}+4$. 令$a=\frac{k}{a}$，则$a=-2$，所以$-3＜a＜-1$且$a\neq -2$，所以$3＜k＜4$. 故$k$的取值范围为
$3＜k＜4$.
存在“和谐点”$(a,\frac{k}{a})$. 由题意，得$a^{2}=\frac{4k}{a}+t$且
$\frac{k^{2}}{a^{2}}=4a+t$，所以$a^{2}-\frac{k^{2}}{a^{2}}=\frac{4k}{a}-4a$，所以$(a+\frac{k}{a})(a-\frac{k}{a})=-4(a-\frac{k}{a})$. 因为$a\neq\frac{k}{a}$，所以$a-\frac{k}{a}\neq0$，所以$a+\frac{k}{a}=-4$，所以$k=-a^{2}-4a=-(a+2)^{2}+4$. 令$a=\frac{k}{a}$，则$a=-2$，所以$-3＜a＜-1$且$a\neq -2$，所以$3＜k＜4$. 故$k$的取值范围为
$3＜k＜4$.
2. 定义:若二次函数 $ y=a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1} $ 与 $ y=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2} $ 满足 $ a_{1}+a_{2}=0 $, $ b_{1}=b_{2} $, $ c_{1}+c_{2}=0 $,则这两个函数互为“N 函数”.
(1) 写出二次函数 $ y=-x^{2}+x-1 $ 的“N 函数”的表达式;
(2) 若(1)中两个“N 函数”的图像与正比例函数 $ y=kx $ 的图像只有两个交点,求 $ k $ 的值;
(3) 如图,二次函数 $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 互为“N 函数”, $ A,B $ 分别是“N 函数” $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 图像的顶点, $ C $ 是“N 函数” $ y_{2} $ 与 $ y $ 轴正半轴的交点,连接 $ AB,AC,BC $.若点 $ A $ 的坐标为 $ (-2,1) $,且 $ \triangle ABC $ 为直角三角形,求点 $ C $ 的坐标.
(1) 写出二次函数 $ y=-x^{2}+x-1 $ 的“N 函数”的表达式;
(2) 若(1)中两个“N 函数”的图像与正比例函数 $ y=kx $ 的图像只有两个交点,求 $ k $ 的值;
(3) 如图,二次函数 $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 互为“N 函数”, $ A,B $ 分别是“N 函数” $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 图像的顶点, $ C $ 是“N 函数” $ y_{2} $ 与 $ y $ 轴正半轴的交点,连接 $ AB,AC,BC $.若点 $ A $ 的坐标为 $ (-2,1) $,且 $ \triangle ABC $ 为直角三角形,求点 $ C $ 的坐标.
答案：(1)由题意，得$y=-x^{2}+x-1$的“N函数”的表达
式为$y=x^{2}+x+1$.
(2)由题意，得两个“N函数”的图像关于原点中心
对称，又正比例函数$y=kx$的图像也关于原点中
心对称，所以当(1)中两个“N函数”的图像与正比
例函数$y=kx$的图像只有两个交点时，二次函数
$y=x^{2}+x+1$的图像与正比例函数$y=kx$的图像
有且只有一个交点. 令$x^{2}+x+1=kx$. 整理，得
$x^{2}+(1-k)x+1=0$. 由题意，得$(1-k)^{2}-4=0$，
解得$k=-1$或$3$.
(3)因为A，B分别是“N函数”$y_1$与$y_2$图像的顶
点，点A的坐标为$(-2,1)$，所以点B的坐标为
$(2,-1)$，所以$AB^{2}=[2-(-2)]^{2}+(-1-1)^{2}=20$. 因为C是“N函数”$y_2$与$y$轴正半轴的交点，所
以可设$C(0,t)(t＞0)$，则$AC^{2}=[0-(-2)]^{2}+(t-1)^{2}=t^{2}-2t+5$，$BC^{2}=(0-2)^{2}+[t-(-1)]^{2}=t^{2}+2t+5$. 因为$\triangle ABC$为直角三角形，所以分类
讨论如下: ① 若$\angle ACB=90^{\circ}$，则$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，即$t^{2}-2t+5+t^{2}+2t+5=20$，解得$t=\sqrt{5}(t=-\sqrt{5}$不合题意，舍去$)$，所以$C(0,\sqrt{5})$;
② 若$\angle BAC=90^{\circ}$，则$AC^{2}+AB^{2}=BC^{2}$，即$t^{2}-2t+5+20=t^{2}+2t+5$，解得$t=5$，所以$C(0,5)$;
③ 若$\angle ABC=90^{\circ}$，则$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，即$20+t^{2}+2t+5=t^{2}-2t+5$，解得$t=-5($不合题意，舍去$).$综上所述，点C的坐标为$(0,\sqrt{5})$或$(0,5)$.
式为$y=x^{2}+x+1$.
(2)由题意，得两个“N函数”的图像关于原点中心
对称，又正比例函数$y=kx$的图像也关于原点中
心对称，所以当(1)中两个“N函数”的图像与正比
例函数$y=kx$的图像只有两个交点时，二次函数
$y=x^{2}+x+1$的图像与正比例函数$y=kx$的图像
有且只有一个交点. 令$x^{2}+x+1=kx$. 整理，得
$x^{2}+(1-k)x+1=0$. 由题意，得$(1-k)^{2}-4=0$，
解得$k=-1$或$3$.
(3)因为A，B分别是“N函数”$y_1$与$y_2$图像的顶
点，点A的坐标为$(-2,1)$，所以点B的坐标为
$(2,-1)$，所以$AB^{2}=[2-(-2)]^{2}+(-1-1)^{2}=20$. 因为C是“N函数”$y_2$与$y$轴正半轴的交点，所
以可设$C(0,t)(t＞0)$，则$AC^{2}=[0-(-2)]^{2}+(t-1)^{2}=t^{2}-2t+5$，$BC^{2}=(0-2)^{2}+[t-(-1)]^{2}=t^{2}+2t+5$. 因为$\triangle ABC$为直角三角形，所以分类
讨论如下: ① 若$\angle ACB=90^{\circ}$，则$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，即$t^{2}-2t+5+t^{2}+2t+5=20$，解得$t=\sqrt{5}(t=-\sqrt{5}$不合题意，舍去$)$，所以$C(0,\sqrt{5})$;
② 若$\angle BAC=90^{\circ}$，则$AC^{2}+AB^{2}=BC^{2}$，即$t^{2}-2t+5+20=t^{2}+2t+5$，解得$t=5$，所以$C(0,5)$;
③ 若$\angle ABC=90^{\circ}$，则$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，即$20+t^{2}+2t+5=t^{2}-2t+5$，解得$t=-5($不合题意，舍去$).$综上所述，点C的坐标为$(0,\sqrt{5})$或$(0,5)$.
3. 定义:若一个三角形的两个内角之差是第三个内角的两倍,则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”.例如,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle A=100^{\circ} $, $ \angle B=60^{\circ} $, $ \angle C=20^{\circ} $,满足 $ \angle A-\angle B=2\angle C $,所以 $ \triangle ABC $ 是关于 $ \angle C $ 的“差倍角三角形”.
(1) 如图①,已知 $ \triangle ABC $ 是关于 $ \angle C $ 的“差倍角三角形”(其中 $ \angle BAC＞\angle B $), $ BA=3 $, $ BC=9 $,点 $ D $ 在 $ BC $ 上,且 $ \angle BAD=\angle C $,求 $ AC $ 的长;
(2) 如图②,在等腰三角形 $ ABC $ 中, $ D $ 是底边 $ BC $ 上的一个黄金分割点 $ (CD＜BD) $,且 $ AB=AC=BD $.求证: $ \triangle ABC $ 是关于 $ \angle B $ 的“差倍角三角形”.
(1) 如图①,已知 $ \triangle ABC $ 是关于 $ \angle C $ 的“差倍角三角形”(其中 $ \angle BAC＞\angle B $), $ BA=3 $, $ BC=9 $,点 $ D $ 在 $ BC $ 上,且 $ \angle BAD=\angle C $,求 $ AC $ 的长;
(2) 如图②,在等腰三角形 $ ABC $ 中, $ D $ 是底边 $ BC $ 上的一个黄金分割点 $ (CD＜BD) $,且 $ AB=AC=BD $.求证: $ \triangle ABC $ 是关于 $ \angle B $ 的“差倍角三角形”.
答案：(1)因为$\triangle ABC$是关于$\angle C$的“差倍角三角形”(其
中$\angle BAC＞\angle B$)，所以$\angle BAC-\angle B=2\angle C$，所以
$\angle BAC=\angle B+2\angle C$. 因为$\angle BAD=\angle C$，所以
$\angle BAC=\angle B+2\angle BAD$，所以$\angle CAD=\angle BAC-\angle BAD=\angle B+\angle BAD$. 因为$\angle CDA=\angle B+\angle BAD$，所以$\angle CAD=\angle CDA$，所以$AC=CD$. 设
$AC=CD=x$. 因为$BC=9$，所以$BD=BC-CD=9-x$. 因为$\angle BAD=\angle C$，$\angle ABD=\angle CBA$，所以
$\triangle ABD∼\triangle CBA$，所以$\frac{BA}{BC}=\frac{BD}{BA}$. 因为$BA=3$，所
以$\frac{3}{9}=\frac{9-x}{3}$，解得$x=8$，所以$AC$的长为$8$.
(2)因为D是线段BC的一个黄金分割点，所以
$\frac{CD}{BD}=\frac{BD}{BC}$. 因为$AC=BD$，所以$\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{BC}$. 又
$\angle ACD=\angle BCA$，所以$\triangle ACD∼\triangle BCA$，所以
$\angle CAD=\angle B$. 因为$AB=AC$，所以$\angle B=\angle C$，所
以$\angle ADB=\angle CAD+\angle C=2\angle B$. 因为$AB=BD$，
所以$\angle BAD=\angle ADB=2\angle B$，所以$\angle BAC=\angle BAD+\angle CAD=3\angle B$，所以$\angle BAC-\angle C=2\angle B$，
所以$\triangle ABC$是关于$\angle B$的“差倍角三角形”.
中$\angle BAC＞\angle B$)，所以$\angle BAC-\angle B=2\angle C$，所以
$\angle BAC=\angle B+2\angle C$. 因为$\angle BAD=\angle C$，所以
$\angle BAC=\angle B+2\angle BAD$，所以$\angle CAD=\angle BAC-\angle BAD=\angle B+\angle BAD$. 因为$\angle CDA=\angle B+\angle BAD$，所以$\angle CAD=\angle CDA$，所以$AC=CD$. 设
$AC=CD=x$. 因为$BC=9$，所以$BD=BC-CD=9-x$. 因为$\angle BAD=\angle C$，$\angle ABD=\angle CBA$，所以
$\triangle ABD∼\triangle CBA$，所以$\frac{BA}{BC}=\frac{BD}{BA}$. 因为$BA=3$，所
以$\frac{3}{9}=\frac{9-x}{3}$，解得$x=8$，所以$AC$的长为$8$.
(2)因为D是线段BC的一个黄金分割点，所以
$\frac{CD}{BD}=\frac{BD}{BC}$. 因为$AC=BD$，所以$\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{BC}$. 又
$\angle ACD=\angle BCA$，所以$\triangle ACD∼\triangle BCA$，所以
$\angle CAD=\angle B$. 因为$AB=AC$，所以$\angle B=\angle C$，所
以$\angle ADB=\angle CAD+\angle C=2\angle B$. 因为$AB=BD$，
所以$\angle BAD=\angle ADB=2\angle B$，所以$\angle BAC=\angle BAD+\angle CAD=3\angle B$，所以$\angle BAC-\angle C=2\angle B$，
所以$\triangle ABC$是关于$\angle B$的“差倍角三角形”.