1. (教材 P27 练习变式)如图，已知点 $ A(2.18, -0.6723) $，$ B(2.68, 0.6877) $在二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $的图像上，则关于 $ x $的方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $的一个近似解可能是(
A.$ x = 2.18 $
B.$ x = 2.68 $
C.$ x = 0.51 $
D.$ x = 2.45 $
D
)A.$ x = 2.18 $
B.$ x = 2.68 $
C.$ x = 0.51 $
D.$ x = 2.45 $
答案：1. D
解析：
解：因为点$A(2.18, -0.6723)$在二次函数图像上，所以当$x = 2.18$时，$y = -0.6723 ＜ 0$；点$B(2.68, 0.6877)$在二次函数图像上，所以当$x = 2.68$时，$y = 0.6877 ＞ 0$。
二次函数图像是连续的曲线，所以在$x = 2.18$和$x = 2.68$之间，函数值由负变为正，必然存在一个$x$的值使得$y = 0$，即方程$ax^{2} + bx + c = 0$的一个根在$2.18$和$2.68$之间。
选项中只有$2.45$在$2.18$和$2.68$之间。
D
二次函数图像是连续的曲线，所以在$x = 2.18$和$x = 2.68$之间，函数值由负变为正，必然存在一个$x$的值使得$y = 0$，即方程$ax^{2} + bx + c = 0$的一个根在$2.18$和$2.68$之间。
选项中只有$2.45$在$2.18$和$2.68$之间。
D
2. 小颖用计算器探索方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $的根，作出如图所示的函数 $ y = ax^{2} + bx + c $的图像，并求得方程的一个近似根为 $ x \approx -3.4 $，则该方程的另一个近似根为
$x\approx1.4$
。答案：2. $x\approx1.4$
解析：
解：
∵抛物线$y = ax^{2} + bx + c$的对称轴为直线$x=-1$，方程$ax^{2} + bx + c = 0$的一个近似根为$x\approx - 3.4$，
设另一个近似根为$x$，
则$\frac{-3.4 + x}{2}=-1$，
解得$x\approx1.4$。
故该方程的另一个近似根为$x\approx1.4$。
∵抛物线$y = ax^{2} + bx + c$的对称轴为直线$x=-1$，方程$ax^{2} + bx + c = 0$的一个近似根为$x\approx - 3.4$，
设另一个近似根为$x$，
则$\frac{-3.4 + x}{2}=-1$，
解得$x\approx1.4$。
故该方程的另一个近似根为$x\approx1.4$。
3. 已知二次函数 $ y = (x - a)(x - b) - 2(a ＜ b) $的图像与 $ x $轴的两个交点的横坐标分别为 $ m $和 $ n $，且 $ m ＜ n $，则 $ a $，$ b $，$ m $，$ n $之间的大小关系为
$m ＜ a ＜ b ＜ n$
。(用“＜”号连接)答案：
3. $m ＜ a ＜ b ＜ n$ 解析：画出二次函数$y=(x-a)(x-b)$的图像如图所示，则函数图像与$x$轴的两个交点的坐标分别为$(a,0)$和$(b,0)$。因为二次函数$y=(x-a)(x-b)-2(a ＜ b)$的图像与$x$轴的两个交点的横坐标分别为$m$和$n$，所以$m$，$n$是关于$x$的方程$(x-a)(x-b)-2=0$的两个根，所以$m$，$n$是二次函数$y=(x-a)(x-b)$的图像与直线$y=2$的两个交点的横坐标。在图中画出直线$y=2$。由图可知$a$，$b$，$m$，$n$之间的大小关系为$m ＜ a ＜ b ＜ n$。
易错警示
注意数形结合，灵活解题。
3. $m ＜ a ＜ b ＜ n$ 解析：画出二次函数$y=(x-a)(x-b)$的图像如图所示，则函数图像与$x$轴的两个交点的坐标分别为$(a,0)$和$(b,0)$。因为二次函数$y=(x-a)(x-b)-2(a ＜ b)$的图像与$x$轴的两个交点的横坐标分别为$m$和$n$，所以$m$，$n$是关于$x$的方程$(x-a)(x-b)-2=0$的两个根，所以$m$，$n$是二次函数$y=(x-a)(x-b)$的图像与直线$y=2$的两个交点的横坐标。在图中画出直线$y=2$。由图可知$a$，$b$，$m$，$n$之间的大小关系为$m ＜ a ＜ b ＜ n$。
易错警示
注意数形结合，灵活解题。
4. 新素养 几何直观 已知关于 $ x $的一元二次方程 $ x^{2} + x - m = 0 $。
(1)若该方程有两个不相等的实数根，求 $ m $的取值范围；
(2)若二次函数 $ y = x^{2} + x - m $的部分图像如图所示，求方程 $ x^{2} + x - m = 0 $的解。
(1)若该方程有两个不相等的实数根，求 $ m $的取值范围；
(2)若二次函数 $ y = x^{2} + x - m $的部分图像如图所示，求方程 $ x^{2} + x - m = 0 $的解。
答案：4. (1)因为关于$x$的一元二次方程$x^{2}+x-m=0$有两个不相等的实数根，所以$1 + 4m ＞ 0$，解得$m ＞ -\frac{1}{4}$。故$m$的取值范围是$m ＞ -\frac{1}{4}$。
(2)因为抛物线$y=x^{2}+x-m$的对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$，所以该抛物线与$x$轴的两个交点关于直线$x = -\frac{1}{2}$对称。观察题图可知该抛物线与$x$轴的一个交点的坐标为$(1,0)$，则该抛物线与$x$轴的另一个交点的坐标为$(-2,0)$，所以一元二次方程$x^{2}+x-m=0$的解为$x_{1}=1$，$x_{2}=-2$。
(2)因为抛物线$y=x^{2}+x-m$的对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$，所以该抛物线与$x$轴的两个交点关于直线$x = -\frac{1}{2}$对称。观察题图可知该抛物线与$x$轴的一个交点的坐标为$(1,0)$，则该抛物线与$x$轴的另一个交点的坐标为$(-2,0)$，所以一元二次方程$x^{2}+x-m=0$的解为$x_{1}=1$，$x_{2}=-2$。
5. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $的图像如图所示，对称轴为直线 $ x = 2 $。若 $ x_{1} $，$ x_{2} $是一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $的两个根，且 $ x_{1} ＜ x_{2} $，$ -1 ＜ x_{1} ＜ 0 $，则下列判断正确的是(
A.$ x_{1} + x_{2} ＜ 0 $
B.$ 4 ＜ x_{2} ＜ 5 $
C.$ b^{2} - 4ac ＜ 0 $
D.$ ab ＞ 0 $
B
)A.$ x_{1} + x_{2} ＜ 0 $
B.$ 4 ＜ x_{2} ＜ 5 $
C.$ b^{2} - 4ac ＜ 0 $
D.$ ab ＞ 0 $
答案：5. B
解析：
解：
∵二次函数对称轴为直线$x=2$，
∴$x_1 + x_2 = 2×2 = 4$，故A错误；
∵$-1 ＜ x_1 ＜ 0$，$x_1 + x_2 = 4$，
∴$4 ＜ x_2 ＜ 5$，故B正确；
∵抛物线与$x$轴有两个交点，
∴$b^2 - 4ac ＞ 0$，故C错误；
∵抛物线开口向下，$a ＜ 0$，对称轴$x=-\frac{b}{2a}=2$，
∴$b = -4a ＞ 0$，则$ab ＜ 0$，故D错误.
答案：B
∵二次函数对称轴为直线$x=2$，
∴$x_1 + x_2 = 2×2 = 4$，故A错误；
∵$-1 ＜ x_1 ＜ 0$，$x_1 + x_2 = 4$，
∴$4 ＜ x_2 ＜ 5$，故B正确；
∵抛物线与$x$轴有两个交点，
∴$b^2 - 4ac ＞ 0$，故C错误；
∵抛物线开口向下，$a ＜ 0$，对称轴$x=-\frac{b}{2a}=2$，
∴$b = -4a ＞ 0$，则$ab ＜ 0$，故D错误.
答案：B
6. 新素养 推理能力 (2025·江苏泰州模拟)如图，抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $的对称轴为直线 $ x = 1 $，与 $ y $轴交于点 $ B(0, -2) $，点 $ A(-1, m) $在该抛物线上，则下列结论中，错误的是(
A.$ ab ＜ 0 $
B.关于 $ x $的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $的正实数根在 2 和 3 之间
C.$ a = \frac{m + 2}{3} $
D.若点 $ P_{1}(t, y_{1}) $，$ P_{2}(t + 1, y_{2}) $在该抛物线上，则当 $ t ＞ \frac{1}{3} $时，$ y_{1} ＜ y_{2} $
D
)A.$ ab ＜ 0 $
B.关于 $ x $的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $的正实数根在 2 和 3 之间
C.$ a = \frac{m + 2}{3} $
D.若点 $ P_{1}(t, y_{1}) $，$ P_{2}(t + 1, y_{2}) $在该抛物线上，则当 $ t ＞ \frac{1}{3} $时，$ y_{1} ＜ y_{2} $
答案：6. D 解析：因为抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的对称轴为直线$x = 1$，在$y$轴右侧，所以$-\frac{b}{2a}＞0$，所以$ab ＜ 0$，故选项A不合题意；设抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与$x$轴的两个交点坐标分别为$(x_{1},0)$，$(x_{2},0)$，其中$x_{1}＜x_{2}$，则$\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=1$，所以$x_{1}=2 - x_{2}$。因为$-1 ＜ x_{1}＜0$，所以$-1 ＜ 2 - x_{2}＜0$，所以$2 ＜ x_{2}＜3$，所以关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的正实数根在$2$和$3$之间，故选项B不合题意；把点$A(-1,m)$，$B(0,-2)$分别代入$y = ax^{2}+bx + c$，得$\begin{cases}a - b + c = m\\c = -2\end{cases}$，所以$a - b = m + 2$。因为该抛物线的对称轴为直线$x = 1$，所以$-\frac{b}{2a}=1$，所以$b = -2a$，所以$3a = m + 2$，所以$a = \frac{m + 2}{3}$，故选项C不合题意；因为点$P_{1}(t,y_{1})$，$P_{2}(t + 1,y_{2})$在该抛物线上，且抛物线开口向上，所以当$y_{1}＜y_{2}$时，点$P_{1}$与抛物线对称轴之间的距离小于点$P_{2}$与抛物线对称轴之间的距离，所以$|1 - t|＜|t + 1 - 1|$，即$|1 - t|＜|t|$，所以$|1 - t|^{2}＜|t|^{2}$，解得$t＞\frac{1}{2}$，所以当$t＞\frac{1}{2}$时，$y_{1}＜y_{2}$，故选项D符合题意。
7. 如图，已知抛物线 $ y = ax^{2} + c $与直线 $ y = mx + n $交于 $ A(-1, p) $，$ B(3, q) $两点，则关于 $ x $的不等式 $ ax^{2} + mx + c ＞ n $的解集为
$x＞1$或$x ＜ -3$
。答案：7. $x＞1$或$x ＜ -3$ 解析：观察题图可知，关于$x$的不等式$ax^{2}+c ＞ mx + n$的解集为$x ＜ -1$或$x＞3$。不等式$ax^{2}+mx + c ＞ n$可化为$a(-x)^{2}+c ＞ m(-x)+n$，所以该不等式的解集满足$-x ＜ -1$或$-x＞3$，即$x＞1$或$x ＜ -3$。
解析：
解：由抛物线$y = ax^{2} + c$与直线$y = mx + n$交于$A(-1, p)$，$B(3, q)$两点，可得不等式$ax^{2}+c ＞ mx + n$的解集为$x ＜ -1$或$x＞3$。
不等式$ax^{2}+mx + c ＞ n$可化为$a(-x)^{2}+c ＞ m(-x)+n$，则有$-x ＜ -1$或$-x＞3$，解得$x＞1$或$x ＜ -3$。
故答案为$x＞1$或$x ＜ -3$。
不等式$ax^{2}+mx + c ＞ n$可化为$a(-x)^{2}+c ＞ m(-x)+n$，则有$-x ＜ -1$或$-x＞3$，解得$x＞1$或$x ＜ -3$。
故答案为$x＞1$或$x ＜ -3$。