1. (教材 P30 练习变式)某商店在销售一种商品的过程中发现,一周的销售利润 $ y $(元)与每件售价 $ x $(元)之间的关系满足 $ y = - 2 x ^ { 2 } + 80 x + 758 $,其中 $ 15 \leqslant x \leqslant 22 $,则该商店销售这种商品一周可获得的最大利润是(
A.20 元
B.1 508 元
C.1 550 元
D.1 558 元
D
)A.20 元
B.1 508 元
C.1 550 元
D.1 558 元
答案：1. D
2. 某旅游景点的收人受季节变化的影响较大，有时候会出现赔本状况，因此公司规定:若无利润时，该景点关闭. 经跟踪测算，该景点一年中每月的利润 $ W $(万元)与月份 $ x $之间的关系满足二次函数 $ W = - x ^ { 2 } + 16 x - 48 $,则该景点一年中处于关闭状态的月份数是(
A.5
B.6
C.7
D.8
A
)A.5
B.6
C.7
D.8
答案：2. A 解析：在$W=-x^{2}+16x-48$中，令$W=0$，得
$x^{2}-16x+48=0$，解得$x_{1}=12$，$x_{2}=4$，所以不等式$-x^{2}+16x-48\leq0$的解集为$x\geq12$或$x\leq4$，所以该景点一年中处于关闭状态的月份有1月、2月、3月、4月、12月，共5个月。
$x^{2}-16x+48=0$，解得$x_{1}=12$，$x_{2}=4$，所以不等式$-x^{2}+16x-48\leq0$的解集为$x\geq12$或$x\leq4$，所以该景点一年中处于关闭状态的月份有1月、2月、3月、4月、12月，共5个月。
3. (2025·江苏淮安模拟)某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为 8 元. 在销售过程中，每天的销售量 $ y $(个)与销售价格 $ x $(元/个)之间的关系如图所示，当 $ 10 \leqslant x \leqslant 20 $时，其图像是线段 $ AB $,则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为
121
元.答案：3. 121 解析：当$10\leq x\leq20$时，设$y=kx+b$.把点$(10,20)$，$(20,10)$分别代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}10k+b=20,\\20k+b=10,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=30,\end{cases}$所以$y=-x+30$.设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为$w(元)$，则$w=(x - 8)y=(x - 8)(-x + 30)=-x^{2}+38x-240=-(x - 19)^{2}+121$.因为$-1＜0$，所以当$x=19$时，$w$取最大值121.故该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为121元.
4. (2025·四川内江)2025 年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出 $ A $, $ B $两款“哪吒”文旅纪念品. 已知购进 $ A $款 200 个和 $ B $款 300 个，需花费 14 000 元;购进 $ A $款 100 个和 $ B $款 200 个，需花费 8 000 元.
解决生活中的实际问题
(1) 求 $ A $, $ B $两款“哪吒”纪念品每个的进价;
(2) 根据网上预约的情况，若该商家计划用不超过 12 000 元的资金购进 $ A $, $ B $两款“哪吒”纪念品共 400 个，则至少需要购进 $ B $款“哪吒”纪念品多少个?
(3) 在销售中，该商家发现当每个 $ A $款“哪吒”纪念品的售价为 60 元时，可售出 200 个，每个售价每增加 1 元，销售量将减少 5 个. 设每个 $ A $款“哪吒”纪念品的售价为 $ a ( 60 \leqslant a \leqslant 100 ) $元，该商家销售 $ A $款“哪吒”纪念品的利润为 $ W $元，求 $ W $关于 $ a $的函数表达式，并求出 $ W $的最大值.
解决生活中的实际问题
(1) 求 $ A $, $ B $两款“哪吒”纪念品每个的进价;
(2) 根据网上预约的情况，若该商家计划用不超过 12 000 元的资金购进 $ A $, $ B $两款“哪吒”纪念品共 400 个，则至少需要购进 $ B $款“哪吒”纪念品多少个?
(3) 在销售中，该商家发现当每个 $ A $款“哪吒”纪念品的售价为 60 元时，可售出 200 个，每个售价每增加 1 元，销售量将减少 5 个. 设每个 $ A $款“哪吒”纪念品的售价为 $ a ( 60 \leqslant a \leqslant 100 ) $元，该商家销售 $ A $款“哪吒”纪念品的利润为 $ W $元，求 $ W $关于 $ a $的函数表达式，并求出 $ W $的最大值.
答案：4. (1)设A款“哪吒”纪念品每个的进价为$x$元，B款“哪吒”纪念品每个的进价为$y$元.由题意，得$\begin{cases}200x + 300y=14000,\\100x+200y=8000,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=40,\\y=20.\end{cases}$故A款“哪吒”纪念品每个的进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个的进价为20元.
(2)设需要购进B款“哪吒”纪念品$m$个，则需要购进A款“哪吒”纪念品$(400 - m)$个.由题意，得$40(400 - m)+20m\leq12000$，解得$m\geq200$.故至少需要购进B款“哪吒”纪念品200个.
(3)由题意，得$W=(a - 40)[200 - 5(a - 60)]=-5a^{2}+700a - 20000=-5(a - 70)^{2}+4500$.因为$-5＜0$，$60\leq a\leq100$，所以当$a=70$时，$W$取最大值4500.故$W$关于$a$的函数表达式为$y=-5a^{2}+700a - 20000(60\leq a\leq100)$，$W$的最大值为4500.
(2)设需要购进B款“哪吒”纪念品$m$个，则需要购进A款“哪吒”纪念品$(400 - m)$个.由题意，得$40(400 - m)+20m\leq12000$，解得$m\geq200$.故至少需要购进B款“哪吒”纪念品200个.
(3)由题意，得$W=(a - 40)[200 - 5(a - 60)]=-5a^{2}+700a - 20000=-5(a - 70)^{2}+4500$.因为$-5＜0$，$60\leq a\leq100$，所以当$a=70$时，$W$取最大值4500.故$W$关于$a$的函数表达式为$y=-5a^{2}+700a - 20000(60\leq a\leq100)$，$W$的最大值为4500.
5. 某商店销售甲、乙两种干果，前 $ x $天与其总销售量 $ y $(kg)之间的函数表达式分别为 $ y _ { \mathrm{甲} } = - x ^ { 2 } + 40 x $, $ y _ { \mathrm{乙} } = x ^ { 2 } + 20 x $. 若想某一天乙种干果的销售量比甲种干果的销售量至少多 6 kg，则至少需要(
A.6 天
B.7 天
C.8 天
D.12 天
B
)A.6 天
B.7 天
C.8 天
D.12 天
答案：5. B 解析：设甲、乙两种干果第$x$天的销售量分别为$M$ $kg$和$N$ $kg$.①当$x=1$时，$M=39$，$N=21$，不合题意；②当$x＞1$时，$M=-x^{2}+40x-[-(x - 1)^{2}+40(x - 1)]=-2x + 41$，$N=x^{2}+20x-[(x - 1)^{2}+20(x - 1)]=2x+19$.由题意，得$N - M=2x + 19-(-2x + 41)=4x - 22\geq6$，解得$x\geq7$.故至少需要7天.
6. 某公司在甲、乙两地同时销售某品牌汽车. 已知在甲、乙两地的销售利润 $ y $(万元)与销售量 $ x $(辆)之间分别满足: $ y _ { 1 } = - x ^ { 2 } + 10 x $, $ y _ { 2 } = 2 x $. 若该公司在甲、乙两地共销售 15 辆该品牌汽车，则能获得的最大利润为
46
万元.答案：6. 46