1. (2023·甘肃白银)若$\frac {a}{2}=\frac {3}{b}$,则$ab$等于(
A.6
B.$\frac {3}{2}$
C.1
D.$\frac {2}{3}$
A
)A.6
B.$\frac {3}{2}$
C.1
D.$\frac {2}{3}$
答案：1.A
解析：
由$\frac{a}{2}=\frac{3}{b}$，根据比例的基本性质，内项之积等于外项之积，可得$ab = 2×3 = 6$。
A
A
2. (2025·江苏南京模拟)若一个零件实际长630 mm,在一张图纸上量得它的长是21 mm,则该图纸的比例尺是(
A.$1:20$
B.$1:30$
C.$1:40$
D.$1:50$
B
)A.$1:20$
B.$1:30$
C.$1:40$
D.$1:50$
答案：2.B
解析：
比例尺=图上距离:实际距离=21mm:630mm=1:30，答案选B。
3. (2025·四川成都)若$\frac {a}{b}=3$,则$\frac {a+b}{b}$的值为
4
.答案：3.4
解析：
$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=3+1=4$
4. 已知$a = 4$,$c = 9$. 若$b$是$a$,$c$的比例中项,则$b =$
±6
.答案：4.±6
解析：
因为$b$是$a$，$c$的比例中项，所以$b^2 = a · c$。已知$a = 4$，$c = 9$，则$b^2 = 4 × 9 = 36$，解得$b = \pm\sqrt{36} = \pm 6$。
±6
±6
5. (教材 P42 习题 2 变式)已知$\frac {a}{5}=\frac {b}{7}=\frac {c}{8}$,且$3a - 2b + c = 3$,求代数式$2a + 4b - 3c$的值.
答案：5.设$\frac{a}{5}=\frac{b}{7}=\frac{c}{8}=k$，则$a = 5k$，$b = 7k$，$c = 8k$。因为$3a - 2b + c = 3$，所以$15k - 14k + 8k = 3$，解得$k = \frac{1}{3}$，所以$a = \frac{5}{3}$，$b = \frac{7}{3}$，$c = \frac{8}{3}$，则$2a + 4b - 3c = 2 × \frac{5}{3} + 4 × \frac{7}{3} - 3 × \frac{8}{3} = \frac{14}{3}$。
解析：
设$\frac{a}{5}=\frac{b}{7}=\frac{c}{8}=k$，则$a = 5k$，$b = 7k$，$c = 8k$。
因为$3a - 2b + c = 3$，所以$3×5k - 2×7k + 8k = 3$，即$15k - 14k + 8k = 3$，解得$k = \frac{1}{3}$。
所以$a = 5×\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$，$b = 7×\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$，$c = 8×\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$。
则$2a + 4b - 3c = 2×\frac{5}{3} + 4×\frac{7}{3} - 3×\frac{8}{3} = \frac{10}{3} + \frac{28}{3} - \frac{24}{3} = \frac{14}{3}$。
因为$3a - 2b + c = 3$，所以$3×5k - 2×7k + 8k = 3$，即$15k - 14k + 8k = 3$，解得$k = \frac{1}{3}$。
所以$a = 5×\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$，$b = 7×\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$，$c = 8×\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$。
则$2a + 4b - 3c = 2×\frac{5}{3} + 4×\frac{7}{3} - 3×\frac{8}{3} = \frac{10}{3} + \frac{28}{3} - \frac{24}{3} = \frac{14}{3}$。
6. 下列各组线段中,是成比例线段的为(
A.1 cm,3 cm,4 cm,6 cm
B.30 cm,12 cm,0.8 cm,0.2 cm
C.0.1 cm,0.2 cm,0.3 cm,0.4 cm
D.12 cm,16 cm,45 cm,60 cm
D
)A.1 cm,3 cm,4 cm,6 cm
B.30 cm,12 cm,0.8 cm,0.2 cm
C.0.1 cm,0.2 cm,0.3 cm,0.4 cm
D.12 cm,16 cm,45 cm,60 cm
答案：6.D
解析：
将每组线段按从小到大的顺序排列，计算前两条线段的比与后两条线段的比，若比值相等则为成比例线段。
选项A：1 cm，3 cm，4 cm，6 cm。$\frac{1}{3}\neq\frac{4}{6}$，不成比例。
选项B：0.2 cm，0.8 cm，12 cm，30 cm。$\frac{0.2}{0.8}=\frac{1}{4}$，$\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$，$\frac{1}{4}\neq\frac{2}{5}$，不成比例。
选项C：0.1 cm，0.2 cm，0.3 cm，0.4 cm。$\frac{0.1}{0.2}=\frac{1}{2}$，$\frac{0.3}{0.4}=\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}\neq\frac{3}{4}$，不成比例。
选项D：12 cm，16 cm，45 cm，60 cm。$\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$，$\frac{45}{60}=\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$，成比例。
D
选项A：1 cm，3 cm，4 cm，6 cm。$\frac{1}{3}\neq\frac{4}{6}$，不成比例。
选项B：0.2 cm，0.8 cm，12 cm，30 cm。$\frac{0.2}{0.8}=\frac{1}{4}$，$\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$，$\frac{1}{4}\neq\frac{2}{5}$，不成比例。
选项C：0.1 cm，0.2 cm，0.3 cm，0.4 cm。$\frac{0.1}{0.2}=\frac{1}{2}$，$\frac{0.3}{0.4}=\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}\neq\frac{3}{4}$，不成比例。
选项D：12 cm，16 cm，45 cm，60 cm。$\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$，$\frac{45}{60}=\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$，成比例。
D
7. 新趋势 传统文化《九章算术》之“粟米篇”中记载了我国古代的“粟米之法”:“粟率五十,粝米三十…”(粟指带壳的谷子,粝米指糙米),其意如下:“50 单位的粟,可换得 30 单位的粝米…”. 问题:有 3 斗的粟(1 斗 = 10 升),若按照此“粟米之法”,则可以换得的粝米为(
A.1.8 升
B.16 升
C.18 升
D.50 升
C
)A.1.8 升
B.16 升
C.18 升
D.50 升
答案：7.C 解析：设可以换得的粝米为$x$升。由题意，得$\frac{x}{10 × 3} = \frac{30}{50}$，解得$x = 18$。故可以换得的粝米为$18$升。
8. 若$\frac {b}{a}=\frac {d}{c}=\frac {1}{2}(a\neq c)$,则$\frac {b - d}{a - c}=$
$\frac{1}{2}$
.答案：8.$\frac{1}{2}$
解析：
设$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}=\frac{1}{2}$，则$b = \frac{1}{2}a$，$d = \frac{1}{2}c$。
$\frac{b - d}{a - c} = \frac{\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}c}{a - c} = \frac{\frac{1}{2}(a - c)}{a - c} = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{b - d}{a - c} = \frac{\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}c}{a - c} = \frac{\frac{1}{2}(a - c)}{a - c} = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$
9. 已知$\frac {x}{2}=\frac {y}{3}=\frac {z}{4}$,则$\frac {x^{2}+xy}{yz}=$
$\frac{5}{6}$
.答案：9.$\frac{5}{6}$ 解析：设$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k$，则$x = 2k$，$y = 3k$，$z = 4k$，所以$\frac{x^{2} + xy}{yz} = \frac{(2k)^{2} + 2k · 3k}{3k · 4k} = \frac{10k^{2}}{12k^{2}} = \frac{5}{6}$。
解析：
设$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k$，则$x = 2k$，$y = 3k$，$z = 4k$。
$\begin{aligned}\frac{x^{2} + xy}{yz}&=\frac{(2k)^{2} + 2k · 3k}{3k · 4k}\\&=\frac{4k^{2} + 6k^{2}}{12k^{2}}\\&=\frac{10k^{2}}{12k^{2}}\\&=\frac{5}{6}\end{aligned}$
$\frac{5}{6}$
$\begin{aligned}\frac{x^{2} + xy}{yz}&=\frac{(2k)^{2} + 2k · 3k}{3k · 4k}\\&=\frac{4k^{2} + 6k^{2}}{12k^{2}}\\&=\frac{10k^{2}}{12k^{2}}\\&=\frac{5}{6}\end{aligned}$
$\frac{5}{6}$
10. 新趋势 开放探究 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 3$,$BC = 4$,$CD⊥ AB$,垂足为$D$.
(1) 线段$CD$的长是否是线段$AD$和线段$BD$的长的比例中项? 请说明理由;
(2) 在这个图形中,写出 2 组成比例线段.
(1) 线段$CD$的长是否是线段$AD$和线段$BD$的长的比例中项? 请说明理由;
(2) 在这个图形中,写出 2 组成比例线段.
答案：10.(1)线段$CD$的长是线段$AD$和线段$BD$的长的比例中项。理由如下：因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，所以$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = 5$。因为$CD ⊥ AB$，所以$\angle ADC = 90^{\circ}$。因为$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC · BC = \frac{1}{2}AB · CD$，所以$CD = \frac{AC · BC}{AB} = \frac{12}{5}$，所以$AD = \sqrt{AC^{2} - CD^{2}} = \frac{9}{5}$，所以$BD = AB - AD = \frac{16}{5}$，所以$AD:CD = 3:4$，$CD:BD = 3:4$，所以$AD:CD = CD:BD$，所以线段$CD$的长是线段$AD$和线段$BD$的长的比例中项。
(2)(答案不唯一)$CD:BD = AC:BC$，$CD:BC = AD:AC$。
(2)(答案不唯一)$CD:BD = AC:BC$，$CD:BC = AD:AC$。
11. 已知$a$,$b$,$c$为$\triangle ABC$的三边长,且$\frac {2a}{b + c}=\frac {2b}{a + c}=\frac {2c}{a + b}=k$,则$k$的值为(
A.1
B.$\frac {1}{2}$或$-1$
C.$-2$
D.1 或$-2$
A
)A.1
B.$\frac {1}{2}$或$-1$
C.$-2$
D.1 或$-2$
答案：11.A 解析：由题意，得$2a = k(b + c)$，$2b = k(a + c)$，$2c = k(a + b)$，所以$2(a + b + c) = 2k(a + b + c)$。因为$a$，$b$，$c$为$\triangle ABC$的三边长，所以$a + b + c \neq 0$，所以$2k = 2$，解得$k = 1$。
12. 若$m\neq n$,$\frac {8m + n}{8n + m}=\frac {m + 1}{n + 1}$,则$m + n =$
7
.答案：12.7 解析：因为$\frac{8m + n}{8n + m} = \frac{m + 1}{n + 1}$，所以$\frac{(8m + n) + (8n + m)}{(8n + m) - (8n + m)} = \frac{(m + 1) + (n + 1)}{(m + 1) - (n + 1)}$，即$\frac{9(m + n)}{7(m - n)} = \frac{m + n + 2}{m - n}$。因为$m \neq n$，所以$m - n \neq 0$，所以$\frac{9(m + n)}{7} = m + n + 2$，所以$\frac{2}{7}(m + n) = 2$，所以$m + n = 7$。
易错警示
对所给等式进行变形时，要注意等价性。
易错警示
对所给等式进行变形时，要注意等价性。
13. 我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形称为“钻石菱形”. 如果一个“钻石菱形”的面积为 6,那么它的边长为
$2\sqrt{3}$
.答案：13.$2\sqrt{3}$ 解析：设该菱形的边长为$a$，两条对角线的长度分别为$b$，$c$。由题意，得$a^{2} = bc$。因为该菱形的面积为$6$，所以$\frac{1}{2}bc = 6$，所以$bc = 12$，所以$a^{2} = 12$，解得$a = 2\sqrt{3}$(负值舍去)。故该菱形的边长为$2\sqrt{3}$。