1. (教材 P59 练习 2 变式)如图,在$\triangle ABC$中,点$D,E$分别在边$AC,BC$上,下列条件中,不能判定$\triangle CAB\backsim \triangle CED$的是(
A.$∠B=∠CDE$
B.$∠A=∠CED$
C.$\frac {CD}{CE}=\frac {CB}{CA}$
D.$\frac {CD}{CA}=\frac {CE}{AB}$
D
)A.$∠B=∠CDE$
B.$∠A=∠CED$
C.$\frac {CD}{CE}=\frac {CB}{CA}$
D.$\frac {CD}{CA}=\frac {CE}{AB}$
答案：1. D
解析：
证明：在$\triangle CAB$和$\triangle CED$中，$\angle C$为公共角。
A. 若$\angle B = \angle CDE$，则$\triangle CAB \backsim \triangle CED$（两角对应相等，两三角形相似）；
B. 若$\angle A = \angle CED$，则$\triangle CAB \backsim \triangle CED$（两角对应相等，两三角形相似）；
C. 若$\frac{CD}{CE} = \frac{CB}{CA}$，即$\frac{CD}{CB} = \frac{CE}{CA}$，则$\triangle CAB \backsim \triangle CED$（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）；
D. 若$\frac{CD}{CA} = \frac{CE}{AB}$，无法判定$\triangle CAB \backsim \triangle CED$。
答案：D
A. 若$\angle B = \angle CDE$，则$\triangle CAB \backsim \triangle CED$（两角对应相等，两三角形相似）；
B. 若$\angle A = \angle CED$，则$\triangle CAB \backsim \triangle CED$（两角对应相等，两三角形相似）；
C. 若$\frac{CD}{CE} = \frac{CB}{CA}$，即$\frac{CD}{CB} = \frac{CE}{CA}$，则$\triangle CAB \backsim \triangle CED$（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）；
D. 若$\frac{CD}{CA} = \frac{CE}{AB}$，无法判定$\triangle CAB \backsim \triangle CED$。
答案：D
2. 新趋势 开放探究 (2025·江苏宿迁模拟)如图,已知点$A,B,C,D$的坐标分别是$(1,7)$,$(1,1)$,$(4,1)$,$(6,1)$. 若$\triangle CDE$与$\triangle ABC$相似,则点$E$的坐标不可能是(
A.$(4,2)$
B.$(6,0)$
C.$(6,4)$
D.$(6,5)$
C
)A.$(4,2)$
B.$(6,0)$
C.$(6,4)$
D.$(6,5)$
答案：2. C
解析：
解：
∵ $ A(1,7) $, $ B(1,1) $, $ C(4,1) $
∴ $ AB=6 $, $ BC=3 $, $ AC=\sqrt{(4-1)^2+(1-7)^2}=3\sqrt{5} $, $ \triangle ABC $ 中 $ AB:BC=2:1 $
选项A：$ E(4,2) $
$ CD=2 $, $ CE=1 $, $ DE=\sqrt{(6-4)^2+(1-2)^2}=\sqrt{5} $
$ CD:CE=2:1 $, $ \triangle CDE ∼ \triangle ABC $
选项B：$ E(6,0) $
$ CD=2 $, $ DE=1 $, $ CE=\sqrt{(6-4)^2+(1-0)^2}=\sqrt{5} $
$ CD:DE=2:1 $, $ \triangle CDE ∼ \triangle ABC $
选项C：$ E(6,4) $
$ CD=2 $, $ DE=3 $, $ CE=\sqrt{(6-4)^2+(1-4)^2}=\sqrt{13} $
$ CD:DE=2:3 \neq 2:1 $, 且无其他比例关系, $ \triangle CDE $ 与 $ \triangle ABC $ 不相似
选项D：$ E(6,5) $
$ CD=2 $, $ DE=4 $, $ CE=\sqrt{(6-4)^2+(1-5)^2}=2\sqrt{5} $
$ CD:DE=1:2 $, 对应 $ BC:AB=1:2 $, $ \triangle CDE ∼ \triangle CBA $
答案：C
∵ $ A(1,7) $, $ B(1,1) $, $ C(4,1) $
∴ $ AB=6 $, $ BC=3 $, $ AC=\sqrt{(4-1)^2+(1-7)^2}=3\sqrt{5} $, $ \triangle ABC $ 中 $ AB:BC=2:1 $
选项A：$ E(4,2) $
$ CD=2 $, $ CE=1 $, $ DE=\sqrt{(6-4)^2+(1-2)^2}=\sqrt{5} $
$ CD:CE=2:1 $, $ \triangle CDE ∼ \triangle ABC $
选项B：$ E(6,0) $
$ CD=2 $, $ DE=1 $, $ CE=\sqrt{(6-4)^2+(1-0)^2}=\sqrt{5} $
$ CD:DE=2:1 $, $ \triangle CDE ∼ \triangle ABC $
选项C：$ E(6,4) $
$ CD=2 $, $ DE=3 $, $ CE=\sqrt{(6-4)^2+(1-4)^2}=\sqrt{13} $
$ CD:DE=2:3 \neq 2:1 $, 且无其他比例关系, $ \triangle CDE $ 与 $ \triangle ABC $ 不相似
选项D：$ E(6,5) $
$ CD=2 $, $ DE=4 $, $ CE=\sqrt{(6-4)^2+(1-5)^2}=2\sqrt{5} $
$ CD:DE=1:2 $, 对应 $ BC:AB=1:2 $, $ \triangle CDE ∼ \triangle CBA $
答案：C
3. 如图,已知$∠B=90^{\circ },AB=BC=CD=DE$,则$\triangle ACD\backsim \triangle$
ECA
.答案：3. ECA
4. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB=4,BC=5$,点$D,E$分别在边$BC,AC$上,$CD=2BD,CE=2AE$,$BE$交$AD$于点$F$,则$\triangle AFE$面积的最大值是
$\frac{4}{3}$
.答案：4. $\frac{4}{3}$ 解析:连接DE.因为CD=2BD,CE=2AE,所以$\frac{CD}{CB}=\frac{CE}{CA}=\frac{2}{3}$.又∠ECD=∠ACB,所以△CDE∽△CBA,所以$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CB}=\frac{2}{3}$,∠CDE=∠CBA,所以DE//AB,所以∠DEF=∠ABF,∠EDF=∠BAF,所以△DEF∽△ABF,所以$\frac{DF}{AF}=\frac{DE}{AB}=\frac{2}{3}$,所以$\frac{DF}{AD}=\frac{2}{5}$,所以$S_{\triangle BDF}=\frac{2}{5}S_{\triangle ABD}$.因为DE//AB,所以$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle ABD}$,所以$S_{\triangle ABE}-S_{\triangle ABF}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle ABF}$,所以$S_{\triangle AFE}=S_{\triangle BDF}=\frac{2}{5}S_{\triangle ABD}$,所以当△ABD的面积最大时，△AFE的面积最大.由题图可知，当AB⊥BC时，△ABD的面积最大.因为BC=5,所以$BD=\frac{1}{3}BC=\frac{5}{3}$.因为AB=4,所以△ABD面积的最大值是$\frac{1}{2}×\frac{5}{3}×4=\frac{10}{3}$，所以△AFE面积的最大值是$\frac{2}{5}×\frac{10}{3}=\frac{4}{3}$.
5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,点$E$在边$BC$上运动(点$E$不与点$B,C$重合),满足$∠DEF=∠B$,且点$D,F$分别在边$AB,AC$上.
(1) 求证:$\triangle BDE\backsim \triangle CEF$;
(2) 当点$E$运动到$BC$的中点时,求证:$FE$平分$∠DFC$.
(1) 求证:$\triangle BDE\backsim \triangle CEF$;
(2) 当点$E$运动到$BC$的中点时,求证:$FE$平分$∠DFC$.
答案：5. (1)因为AB=AC,所以∠B=∠C.因为∠BDE=180°−∠B−∠DEB,∠CEF=180°−∠DEF−∠DEB,∠DEF=∠B,所以∠BDE=∠CEF,所以△BDE∽△CEF.
(2)因为△BDE∽△CEF,所以$\frac{BE}{CF}=\frac{DE}{EF}$.因为E是BC的中点，所以BE=EC,所以$\frac{EC}{CF}=\frac{DE}{EF}$,所以$\frac{DE}{EC}=\frac{EF}{CF}$.因为∠DEF=∠B=∠C,所以△DEF∽△ECF,所以∠DFE=∠EFC,所以FE平分∠DFC.
(2)因为△BDE∽△CEF,所以$\frac{BE}{CF}=\frac{DE}{EF}$.因为E是BC的中点，所以BE=EC,所以$\frac{EC}{CF}=\frac{DE}{EF}$,所以$\frac{DE}{EC}=\frac{EF}{CF}$.因为∠DEF=∠B=∠C,所以△DEF∽△ECF,所以∠DFE=∠EFC,所以FE平分∠DFC.
6. 新素养 几何直观 如图,每个小正方形的边长均为 1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$相似的是(
B
)答案：6. B
7. 如图,点$A$在线段$BD$上,在$BD$的同侧作等腰直角三角形$ABC$和等腰直角三角形$ADE$($∠ABC=∠AED=90^{\circ }$),$CD$与$BE,AE$分别交于点$P,M$,连接$AP$. 给出下列结论:
① $\triangle BAE\backsim \triangle CAD$;
② $MP· MD=MA· ME$;
③ $2CB^{2}=CP· CM$.
其中正确的是(
A.①②③
B.①
C.①②
D.②③
① $\triangle BAE\backsim \triangle CAD$;
② $MP· MD=MA· ME$;
③ $2CB^{2}=CP· CM$.
其中正确的是(
A
)A.①②③
B.①
C.①②
D.②③
答案：7. A 解析:由题意，得$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,∠BAE=∠CAD=135°,所以△BAE∽△CAD,故①正确;因为△BAE∽△CAD,所以∠BEA=∠CDA.又∠PME=∠AMD,所以△PME∽△AMD,所以$\frac{MP}{MA}=\frac{ME}{MD}$,即MP·MD=MA·ME,故②正确;因为$\frac{MP}{MA}=\frac{ME}{MD}$,所以$\frac{MP}{ME}=\frac{MA}{MD}$.又∠PMA=∠EMD,所以△PMA∽△EMD,所以∠APM=∠DEM=90°,所以∠CPA=180°−∠APM=90°.因为∠CAM=90°,所以∠CPA=∠CAM.又∠ACP=∠MCA,所以△CAP∽△CMA,所以$\frac{CP}{CA}=\frac{CA}{CM}$,即CP·CM=CA²=2CB²,故③正确.