1. 如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，DE//AC. 若 $ S_{△BDE}:S_{△CDE}=1:3 $，则 $ S_{△DOE}:S_{△COA}= $
1:16
.答案：1. 1:16 解析:因为S$_{\triangle BDE}$:S$_{\triangle CDE}$ = 1:3，所以BE:EC = 1:3，所以BE:BC = 1:4。因为DE//AC，所以△BDE∽△BAC，所以$\frac{DE}{AC}$ = $\frac{BE}{BC}$ = $\frac{1}{4}$。因为DE//AC，所以∠DEO = ∠CAO，∠EDO = ∠ACO，所以△DOE∽△COA，所以$\frac{S_{\triangle DOE}}{S_{\triangle COA}}$ = ($\frac{DE}{AC}$)² = $\frac{1}{16}$。
解析：
证明：
∵ $ S_{\triangle BDE}:S_{\triangle CDE}=1:3 $，且 $ \triangle BDE $ 与 $ \triangle CDE $ 等高，
∴ $ BE:EC=1:3 $，则 $ BE:BC=1:4 $。
∵ $ DE // AC $，
∴ $ \triangle BDE ∼ \triangle BAC $，
∴ $ \frac{DE}{AC}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{4} $。
∵ $ DE // AC $，
∴ $ \angle DEO=\angle CAO $，$ \angle EDO=\angle ACO $，
∴ $ \triangle DOE ∼ \triangle COA $，
∴ $ \frac{S_{\triangle DOE}}{S_{\triangle COA}}=(\frac{DE}{AC})^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16} $。
故 $ S_{\triangle DOE}:S_{\triangle COA}=1:16 $。
∵ $ S_{\triangle BDE}:S_{\triangle CDE}=1:3 $，且 $ \triangle BDE $ 与 $ \triangle CDE $ 等高，
∴ $ BE:EC=1:3 $，则 $ BE:BC=1:4 $。
∵ $ DE // AC $，
∴ $ \triangle BDE ∼ \triangle BAC $，
∴ $ \frac{DE}{AC}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{4} $。
∵ $ DE // AC $，
∴ $ \angle DEO=\angle CAO $，$ \angle EDO=\angle ACO $，
∴ $ \triangle DOE ∼ \triangle COA $，
∴ $ \frac{S_{\triangle DOE}}{S_{\triangle COA}}=(\frac{DE}{AC})^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16} $。
故 $ S_{\triangle DOE}:S_{\triangle COA}=1:16 $。
2. 如图，AD，CE 是△ABC 的高，$ S_{△BAC}=4S_{△BDE} $，AC=6，则 DE=
3
.答案：2. 3 解析:因为AD，CE是△ABC的高，所以AD⊥BC，CE⊥BA，所以∠ADB = ∠CEB = 90°。又∠ABD = ∠CBE，所以△ABD∽△CBE，所以$\frac{BD}{BE}$ = $\frac{BA}{BC}$，即$\frac{BD}{BA}$ = $\frac{BE}{BC}$。又∠EBD = ∠CBA，所以△BDE∽△BAC，所以$\frac{S_{\triangle BDE}}{S_{\triangle BAC}}$ = ($\frac{DE}{AC}$)²。因为S$_{\triangle BAC}$ = 4S$_{\triangle BDE}$，所以($\frac{DE}{AC}$)² = $\frac{1}{4}$，所以$\frac{DE}{AC}$ = $\frac{1}{2}$。因为AC = 6，所以DE = 3。
3. 如图，AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切于点 C，与 AB 的延长线交于点 D，CE⊥AB 于点 E，连接 BC.
（1）求证：$ ∠BCE=∠BCD $；
（2）若 AD=10，CE=2BE，求⊙O 的半径.
（1）求证：$ ∠BCE=∠BCD $；
（2）若 AD=10，CE=2BE，求⊙O 的半径.
答案：3. (1)连接OC。因为直线CD与⊙O相切于点C，所以OC⊥CD，所以∠OCD = 90°，所以∠BCD + ∠OCB = 90°。因为CE⊥AB，所以∠BEC = 90°，所以∠BCE + ∠OBC = 90°。因为OC = OB，所以∠OBC = ∠OCB，所以∠BCE = ∠BCD。
(2)连接AC。因为AB是⊙O的直径，所以∠BCA = 90°。因为∠BEC = 90°，所以∠BCA = ∠BEC。又∠ABC = ∠CBE，所以△BAC∽△BCE，所以∠A = ∠BCE，$\frac{AC}{CE}$ = $\frac{BC}{BE}$，所以$\frac{AC}{BC}$ = $\frac{CE}{BE}$。因为CE = 2BE，所以$\frac{AC}{BC}$ = 2。因为∠BCE = ∠BCD，所以∠A = ∠BCD。又∠CDA = ∠BDC，所以△CAD∽△BCD，所以$\frac{AD}{CD}$ = $\frac{CD}{BD}$ = $\frac{AC}{BC}$ = 2。因为AD = 10，所以CD = 5，BD = $\frac{5}{2}$，所以AB = AD - BD = $\frac{15}{2}$，所以OA = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{15}{4}$。故⊙O的半径为$\frac{15}{4}$。
(2)连接AC。因为AB是⊙O的直径，所以∠BCA = 90°。因为∠BEC = 90°，所以∠BCA = ∠BEC。又∠ABC = ∠CBE，所以△BAC∽△BCE，所以∠A = ∠BCE，$\frac{AC}{CE}$ = $\frac{BC}{BE}$，所以$\frac{AC}{BC}$ = $\frac{CE}{BE}$。因为CE = 2BE，所以$\frac{AC}{BC}$ = 2。因为∠BCE = ∠BCD，所以∠A = ∠BCD。又∠CDA = ∠BDC，所以△CAD∽△BCD，所以$\frac{AD}{CD}$ = $\frac{CD}{BD}$ = $\frac{AC}{BC}$ = 2。因为AD = 10，所以CD = 5，BD = $\frac{5}{2}$，所以AB = AD - BD = $\frac{15}{2}$，所以OA = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{15}{4}$。故⊙O的半径为$\frac{15}{4}$。
4. 新素养 推理能力 如图，AB 是⊙O 的直径，延长 AB 至点 C，使 BC=OB，E 是 OB 的中点，DE⊥AB 交⊙O 于点 D，P 是⊙O 上一动点（不与点 A，B 重合），连接 CD，PE，PC.
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）求 $ \dfrac{PE}{PC} $ 的值.
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）求 $ \dfrac{PE}{PC} $ 的值.
答案：4. (1)连接OD，则OB = OD。因为E是OB的中点，所以$\frac{OE}{OB}$ = $\frac{1}{2}$，所以$\frac{OE}{OD}$ = $\frac{1}{2}$。因为BC = OB，所以$\frac{OB}{OC}$ = $\frac{1}{2}$，所以$\frac{OD}{OC}$ = $\frac{1}{2}$，所以$\frac{OE}{OD}$ = $\frac{OD}{OC}$。又∠DOE = ∠COD，所以△DOE∽△COD，所以∠DEO = ∠CDO。因为DE⊥AB，所以∠DEO = 90°，所以∠CDO = 90°，所以OD⊥CD。因为OD是⊙O的半径，所以CD是⊙O的切线。
(2)连接OP，则OP = OB。因为$\frac{OE}{OB}$ = $\frac{1}{2}$，所以$\frac{OE}{OP}$ = $\frac{1}{2}$。因为$\frac{OB}{OC}$ = $\frac{1}{2}$，所以$\frac{OP}{OC}$ = $\frac{1}{2}$，所以$\frac{OE}{OP}$ = $\frac{OP}{OC}$。又∠POE = ∠COP，所以△OEP∽△OPC，所以$\frac{PE}{PC}$ = $\frac{OP}{OC}$ = $\frac{1}{2}$。
(2)连接OP，则OP = OB。因为$\frac{OE}{OB}$ = $\frac{1}{2}$，所以$\frac{OE}{OP}$ = $\frac{1}{2}$。因为$\frac{OB}{OC}$ = $\frac{1}{2}$，所以$\frac{OP}{OC}$ = $\frac{1}{2}$，所以$\frac{OE}{OP}$ = $\frac{OP}{OC}$。又∠POE = ∠COP，所以△OEP∽△OPC，所以$\frac{PE}{PC}$ = $\frac{OP}{OC}$ = $\frac{1}{2}$。
5. 新素养 几何直观 （2025·江苏淮安模拟）
（1）如图①，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 BC 的延长线上，连接 EF 与边 CD 相交于点 G，连接 BE 与对角线 AC 相交于点 H，且 AE=CF，$ ∠1=∠2 $.
① 求证：EF//AC；
② 若 $ \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $，求 $ \dfrac{BE}{EF} $ 的值；
（2）如图②，在四边形 EFGH 中，$ ∠F=90^{\circ} $，EF=EH=10，FG=HG=5，点 M，N 分别在边 FG，EF 上，且 EM⊥HN，求 $ \dfrac{HN}{EM} $ 的值.
（1）如图①，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 BC 的延长线上，连接 EF 与边 CD 相交于点 G，连接 BE 与对角线 AC 相交于点 H，且 AE=CF，$ ∠1=∠2 $.
① 求证：EF//AC；
② 若 $ \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $，求 $ \dfrac{BE}{EF} $ 的值；
（2）如图②，在四边形 EFGH 中，$ ∠F=90^{\circ} $，EF=EH=10，FG=HG=5，点 M，N 分别在边 FG，EF 上，且 EM⊥HN，求 $ \dfrac{HN}{EM} $ 的值.
答案：
5. (1)①因为四边形ABCD是矩形，所以AD//BC，即AE//CF。又AE = CF，所以四边形ACFE是平行四边形，所以EF//AC。
②因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC = 90°，所以∠1 + ∠EBF = 90°，∠2 + ∠BAC = 90°。因为∠1 = ∠2，所以∠EBF = ∠BAC。因为EF//AC，所以∠F = ∠2，所以△BEF∽△ABC，所以$\frac{BE}{AB}$ = $\frac{EF}{BC}$，所以$\frac{BE}{EF}$ = $\frac{AB}{BC}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2)如图，作矩形PEFQ，且点H在边PQ上，连接EG，则∠P = ∠Q = ∠F = 90°，PE = QF，PQ = EH = EF，EF = 10。在△EHG和△EFG中，$\begin{cases} EH = EF \\ EG = EG \end{cases}$，所以△EHG≌△EFG，所以∠EHG = ∠F = 90°，所以∠QHG + ∠EHP = 180° - ∠EHG = 90°。因为∠PEH + ∠EHP = 90°，所以∠PEH = ∠QHG，所以△EPH∽△HQG，所以$\frac{PH}{QG}$ = $\frac{PE}{QH}$ = $\frac{EH}{HG}$。因为EH = 10，HG = 5，所以$\frac{PH}{QG}$ = $\frac{PE}{QH}$ = 2。设QG = x，则PH = 2x，所以QH = PQ - PH = 10 - 2x，所以PE = 20 - 4x。因为FG = 5，所以QF = QG + FG = x + 5，所以20 - 4x = x + 5，解得x = 3，所以QF = 8。过点H作HD⊥EF于点D，则∠HDN = 90°，所以∠HDN = ∠F，四边形HDFQ是矩形，所以HD = QF = 8。因为EM⊥HN，所以∠HND + ∠MEF = 90°。又∠EMF + ∠MEF = 90°，所以∠HND = ∠EMF，所以△HDN∽△EFM，所以$\frac{HN}{EM}$ = $\frac{HD}{EF}$ = $\frac{4}{5}$。
5. (1)①因为四边形ABCD是矩形，所以AD//BC，即AE//CF。又AE = CF，所以四边形ACFE是平行四边形，所以EF//AC。
②因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC = 90°，所以∠1 + ∠EBF = 90°，∠2 + ∠BAC = 90°。因为∠1 = ∠2，所以∠EBF = ∠BAC。因为EF//AC，所以∠F = ∠2，所以△BEF∽△ABC，所以$\frac{BE}{AB}$ = $\frac{EF}{BC}$，所以$\frac{BE}{EF}$ = $\frac{AB}{BC}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2)如图，作矩形PEFQ，且点H在边PQ上，连接EG，则∠P = ∠Q = ∠F = 90°，PE = QF，PQ = EH = EF，EF = 10。在△EHG和△EFG中，$\begin{cases} EH = EF \\ EG = EG \end{cases}$，所以△EHG≌△EFG，所以∠EHG = ∠F = 90°，所以∠QHG + ∠EHP = 180° - ∠EHG = 90°。因为∠PEH + ∠EHP = 90°，所以∠PEH = ∠QHG，所以△EPH∽△HQG，所以$\frac{PH}{QG}$ = $\frac{PE}{QH}$ = $\frac{EH}{HG}$。因为EH = 10，HG = 5，所以$\frac{PH}{QG}$ = $\frac{PE}{QH}$ = 2。设QG = x，则PH = 2x，所以QH = PQ - PH = 10 - 2x，所以PE = 20 - 4x。因为FG = 5，所以QF = QG + FG = x + 5，所以20 - 4x = x + 5，解得x = 3，所以QF = 8。过点H作HD⊥EF于点D，则∠HDN = 90°，所以∠HDN = ∠F，四边形HDFQ是矩形，所以HD = QF = 8。因为EM⊥HN，所以∠HND + ∠MEF = 90°。又∠EMF + ∠MEF = 90°，所以∠HND = ∠EMF，所以△HDN∽△EFM，所以$\frac{HN}{EM}$ = $\frac{HD}{EF}$ = $\frac{4}{5}$。