1. 如图，$\triangle ABC$与$\triangle DEF$位似，点$O$是它们的位似中心，且相似比为$1:2$，则$\triangle ABC$与$\triangle DEF$周长的比是(
A.$1:2$
B.$1:4$
C.$1:3$
D.$1:9$
A
)A.$1:2$
B.$1:4$
C.$1:3$
D.$1:9$
答案：1.A
解析：
证明：因为$\triangle ABC$与$\triangle DEF$位似，相似比为$1:2$，
所以$\triangle ABC$与$\triangle DEF$的周长比等于相似比，即$1:2$。
答案：A
所以$\triangle ABC$与$\triangle DEF$的周长比等于相似比，即$1:2$。
答案：A
2. (2025·四川眉山)如图，在$3×4$的正方形网格中，每个小正方形的边长均为$1$.将$\triangle OAB$以点$O$为位似中心放大后得到$\triangle OCD$，则$\triangle OAB$与$\triangle OCD$周长的比是(
A.$2:1$
B.$1:2$
C.$4:1$
D.$1:4$
B
)A.$2:1$
B.$1:2$
C.$4:1$
D.$1:4$
答案：2.B
解析：
解：
∵△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，
由网格可知，OA=1，OC=2，
∴位似比为OA:OC=1:2，
∵位似图形的周长比等于位似比，
∴△OAB与△OCD周长的比是1:2.
答案：B
∵△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，
由网格可知，OA=1，OC=2，
∴位似比为OA:OC=1:2，
∵位似图形的周长比等于位似比，
∴△OAB与△OCD周长的比是1:2.
答案：B
3. (2023·吉林长春)如图，$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$是以点$O$为位似中心的位似图形，点$A$在线段$OA'$上.若$OA:AA'=1:2$，则$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的周长之比为
]
1:3
.]答案：3.1:3
解析：
解：因为$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$是以点$O$为位似中心的位似图形，且$OA:AA' = 1:2$，所以$OA:OA' = OA:(OA + AA') = 1:(1 + 2) = 1:3$。
由于位似图形的周长之比等于位似比，所以$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的周长之比为$1:3$。
$1:3$
由于位似图形的周长之比等于位似比，所以$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的周长之比为$1:3$。
$1:3$
4. (2025·江苏盐城模拟)在平面直角坐标系中，$O$是原点，$\triangle AOB$的顶点坐标分别为$A(2,1)$，$B(2,0)$，$O(0,0)$.若以点$O$为位似中心，把$\triangle AOB$按相似比$2:1$放大，则点$A$的对应点的坐标为
(4,2)或(-4,-2)
.答案：4.(4,2)或(-4,-2) 解析:设点A(2,1)的对应点为A'。因为相似比为2:1，所以当点A'在第一象限时，点A'的坐标为(2×2,1×2)，即(4,2)；当点A'在第三象限时，点A'的坐标为(-2×2,-1×2)，即(-4,-2)。综上所述，点A的对应点的坐标为(4,2)或(-4,-2)。
易错警示
注意分类讨论，避免漏解。
易错警示
注意分类讨论，避免漏解。
5. 如图，在$12×12$的正方形网格中，$\triangle TAB$的顶点坐标分别为$T(1,1)$，$A(2,3)$，$B(4,2)$.
(1)以点$T(1,1)$为位似中心，按相似比为$3:1$在位似中心的同侧将$\triangle TAB$放大为$\triangle TA'B'$，放大后点$A$，$B$的对应点分别为点$A'$，$B'$.画出$\triangle TA'B'$，并写出点$A'$，$B'$的坐标；
(2)在(1)中，若$C(a,b)$为线段$AB$上任意一点，写出变换后点$C$的对应点$C'$的坐标.
]
(1)以点$T(1,1)$为位似中心，按相似比为$3:1$在位似中心的同侧将$\triangle TAB$放大为$\triangle TA'B'$，放大后点$A$，$B$的对应点分别为点$A'$，$B'$.画出$\triangle TA'B'$，并写出点$A'$，$B'$的坐标；
(2)在(1)中，若$C(a,b)$为线段$AB$上任意一点，写出变换后点$C$的对应点$C'$的坐标.
]答案：5.(1)图略。点A'的坐标为(4,7)，点B'的坐标为(10,4)。
(2)点C'的坐标为(3(a - 1)+1,3(b - 1)+1)，即(3a - 2,3b - 2)。
(2)点C'的坐标为(3(a - 1)+1,3(b - 1)+1)，即(3a - 2,3b - 2)。
6. (2024·浙江)如图，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$是位似图形，位似中心为原点$O$.若点$A(-3,1)$的对应点$A'$的坐标为$(-6,2)$，则点$B(-2,4)$的对应点$B'$的坐标为(
A.$(-4,8)$
B.$(8,-4)$
C.$(-8,4)$
D.$(4,-8)$
]
A
)A.$(-4,8)$
B.$(8,-4)$
C.$(-8,4)$
D.$(4,-8)$
]
答案：6.A
解析：
解：
∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为原点O，点A(-3,1)的对应点A'的坐标为(-6,2)，
∴位似比为$\frac{-6}{-3}=\frac{2}{1}$，$\frac{2}{1}=2$，即位似比为2。
∵点B的坐标为(-2,4)，
∴点B'的坐标为$(-2×2,4×2)=(-4,8)$。
答案：A
∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为原点O，点A(-3,1)的对应点A'的坐标为(-6,2)，
∴位似比为$\frac{-6}{-3}=\frac{2}{1}$，$\frac{2}{1}=2$，即位似比为2。
∵点B的坐标为(-2,4)，
∴点B'的坐标为$(-2×2,4×2)=(-4,8)$。
答案：A
7. 新趋势 传统文化 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形$ABCD$的面积为$4$，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形$A'B'C'D'$.若$A'B':AB=2:1$，则四边形$A'B'C'D'$的外接圆的周长为(
A.$4\pi$
B.$4\sqrt{2}\pi$
C.$8\pi$
D.$8\sqrt{2}\pi$
B
)A.$4\pi$
B.$4\sqrt{2}\pi$
C.$8\pi$
D.$8\sqrt{2}\pi$
答案：7.B
解析：
解：
∵正方形$ABCD$的面积为$4$，
∴$AB^2=4$，则$AB=2$。
∵$A'B':AB=2:1$，
∴$A'B'=2AB=4$。
∵四边形$A'B'C'D'$是正方形$ABCD$的位似图形，
∴四边形$A'B'C'D'$为正方形，其对角线长为$A'C'=\sqrt{A'B'^2+B'C'^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
∵正方形的外接圆直径等于其对角线长，
∴四边形$A'B'C'D'$外接圆的直径为$4\sqrt{2}$，半径为$2\sqrt{2}$，
∴外接圆周长为$2\pi r=2\pi×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\pi$。
答案：$4\sqrt{2}\pi$
∵正方形$ABCD$的面积为$4$，
∴$AB^2=4$，则$AB=2$。
∵$A'B':AB=2:1$，
∴$A'B'=2AB=4$。
∵四边形$A'B'C'D'$是正方形$ABCD$的位似图形，
∴四边形$A'B'C'D'$为正方形，其对角线长为$A'C'=\sqrt{A'B'^2+B'C'^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
∵正方形的外接圆直径等于其对角线长，
∴四边形$A'B'C'D'$外接圆的直径为$4\sqrt{2}$，半径为$2\sqrt{2}$，
∴外接圆周长为$2\pi r=2\pi×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\pi$。
答案：$4\sqrt{2}\pi$