7. 路边有一根竖立的电线杆 $ AB $ 和一块长方形广告牌 $ CDFH $(不考虑广告牌的厚度)，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端 $ A $ 的影子刚好落在长方形广告牌的边 $ HF $ 的中点 $ G $ 处，而长方形广告牌上点 $ F $ 的影子刚好落在地面上点 $ E $ 处(如图)。已知 $ BC = 5 \, \mathrm{m} $，长方形广告牌的长 $ HF = 4 \, \mathrm{m} $，高 $ HC = 3 \, \mathrm{m} $，$ DE = 4 \, \mathrm{m} $，则电线杆 $ AB $ 的高度是(
A.$ 6.75 \, \mathrm{m} $
B.$ 7.75 \, \mathrm{m} $
C.$ 8.25 \, \mathrm{m} $
D.$ 10.75 \, \mathrm{m} $
C
)A.$ 6.75 \, \mathrm{m} $
B.$ 7.75 \, \mathrm{m} $
C.$ 8.25 \, \mathrm{m} $
D.$ 10.75 \, \mathrm{m} $
答案：7.C 解析:过点H作HP⊥AB于点P,则BP=FD=HC=3m,PH=BC=5m.因为G是HF的中点,HF=4m,所以HG=$\frac{1}{2}$HF=2m,所以PG=PH+HG=7m.由题意,得$\frac{AP}{PG}=\frac{FD}{DE}$.设AB=xm,则AP=AB−BP=(x−3)m.因为DE=4m,所以$\frac{x−3}{7}=\frac{3}{4}$,解得x=8.25.故电线杆AB的高度是8.25m.
8. 数学兴趣小组的同学要测量一棵树的高度。在阳光下，一名同学测得一根竖直放置的长为 $ 1 \, \mathrm{m} $ 的竹竿的影长为 $ 0.4 \, \mathrm{m} $，同一时刻，另一名同学在测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得该部分影子的长为 $ 0.2 \, \mathrm{m} $，一级台阶的高为 $ 0.3 \, \mathrm{m} $(如图)。若此时落在地面上的影长为 $ 4.4 \, \mathrm{m} $，则这棵树的高度为
]
11.8
$ \mathrm{m} $。]
答案：8.11.8
解析：
设树高为$h\,\mathrm{m}$。
由题意，同一时刻物高与影长成正比，比例系数为$\frac{1}{0.4} = 2.5$。
树的影子由地面影长$4.4\,\mathrm{m}$、台阶上影长$0.2\,\mathrm{m}$及台阶高度对应的“虚拟影长”组成。台阶高$0.3\,\mathrm{m}$，其对应的影长为$0.3÷2.5 = 0.12\,\mathrm{m}$。
总影长为$4.4 + 0.2 + 0.12=4.72\,\mathrm{m}$。
则$h=4.72×2.5 = 11.8\,\mathrm{m}$。
11.8
由题意，同一时刻物高与影长成正比，比例系数为$\frac{1}{0.4} = 2.5$。
树的影子由地面影长$4.4\,\mathrm{m}$、台阶上影长$0.2\,\mathrm{m}$及台阶高度对应的“虚拟影长”组成。台阶高$0.3\,\mathrm{m}$，其对应的影长为$0.3÷2.5 = 0.12\,\mathrm{m}$。
总影长为$4.4 + 0.2 + 0.12=4.72\,\mathrm{m}$。
则$h=4.72×2.5 = 11.8\,\mathrm{m}$。
11.8
9. 新素养 应用意识(2025·江苏南京模拟)我们在制作视力表时发现，每个“E”形图的长和宽都相等(即每个“E”形图近似于正方形)。如图，小明在制作视力表时，测得 $ l_1 = 14 \, \mathrm{cm} $，$ l_2 = 7 \, \mathrm{cm} $，他选择了一张面积为 $ 4 \, \mathrm{cm}^2 $ 的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“E”形图，那么能够刚好剪得第①个大“E”形图的是面积为
]
16
$ \mathrm{cm}^2 $ 的正方形卡纸。]答案：9.16 解析:由题意,得△PP₁D₁∽△PP₂D₂,所以$\frac{P_1D_1}{P_2D_2}=\frac{PD_1}{PD_2}$.因为PD₁=l₁=14cm,PD₂=l₂=7cm,所以$\frac{P_1D_1}{P_2D_2}=2$.因为刚好可以剪得第②个小“E”形图的是面积为4cm²的正方形卡纸，所以能够刚好剪得第①个大“E”形图的是面积为4×2²=16(cm²)的正方形卡纸.
解析：
解：由题意知，$\triangle PP_1D_1 ∼ \triangle PP_2D_2$，则$\frac{P_1D_1}{P_2D_2} = \frac{PD_1}{PD_2}$。
因为$PD_1 = l_1 = 14\,\mathrm{cm}$，$PD_2 = l_2 = 7\,\mathrm{cm}$，所以$\frac{P_1D_1}{P_2D_2} = \frac{14}{7} = 2$。
由于第②个小“E”形图的正方形卡纸面积为$4\,\mathrm{cm}^2$，其边长为$\sqrt{4} = 2\,\mathrm{cm}$，即$P_2D_2 = 2\,\mathrm{cm}$，则$P_1D_1 = 2 × P_2D_2 = 4\,\mathrm{cm}$。
因此，第①个大“E”形图的正方形卡纸面积为$4^2 = 16\,\mathrm{cm}^2$。
16
因为$PD_1 = l_1 = 14\,\mathrm{cm}$，$PD_2 = l_2 = 7\,\mathrm{cm}$，所以$\frac{P_1D_1}{P_2D_2} = \frac{14}{7} = 2$。
由于第②个小“E”形图的正方形卡纸面积为$4\,\mathrm{cm}^2$，其边长为$\sqrt{4} = 2\,\mathrm{cm}$，即$P_2D_2 = 2\,\mathrm{cm}$，则$P_1D_1 = 2 × P_2D_2 = 4\,\mathrm{cm}$。
因此，第①个大“E”形图的正方形卡纸面积为$4^2 = 16\,\mathrm{cm}^2$。
16
10. 某实验中学数学兴趣小组在周末开展研究性学习，测算小桥所在圆的半径。他们发现 $ 8 \, \mathrm{m} $ 高的旗杆 $ DE $ 的影子 $ EF $ 落在了包含一圆弧形小桥在内的路上(如图)，此时，身高 $ 1.6 \, \mathrm{m} $ 的海涛测得自己的影长为 $ 2.4 \, \mathrm{m} $，同时测得 $ EG $ 的长为 $ 3 \, \mathrm{m} $，$ HF $ 的长为 $ 1 \, \mathrm{m} $，测得拱高($\overset{\frown}{GH}$ 的中点 $ N $ 到弦 $ GH $ 的距离，即 $ MN $ 的长)为 $ 2 \, \mathrm{m} $，求小桥所在圆的半径。
]
]答案：
10.因为海涛身高1.6m,其影长为2.4m,所以8m高旗杆DE的影长EF=8×$\frac{2.4}{1.6}$=12(m).因为EG=3m,HF=1m,所以GH=EF−EG−HF=8m.如图，设小桥所在圆的圆心为O,半径为rm,连接OM,OG,则O,M,N三点共线且OM⊥GH,所以∠OMG=90°,MG=$\frac{1}{2}$GH=4m.因为MN=2m,所以OM=ON−MN=(r−2)m.因为OM²+MG²=OG²,所以(r−2)²+4²=r²,解得r=5.故小桥所在圆的半径为5m
10.因为海涛身高1.6m,其影长为2.4m,所以8m高旗杆DE的影长EF=8×$\frac{2.4}{1.6}$=12(m).因为EG=3m,HF=1m,所以GH=EF−EG−HF=8m.如图，设小桥所在圆的圆心为O,半径为rm,连接OM,OG,则O,M,N三点共线且OM⊥GH,所以∠OMG=90°,MG=$\frac{1}{2}$GH=4m.因为MN=2m,所以OM=ON−MN=(r−2)m.因为OM²+MG²=OG²,所以(r−2)²+4²=r²,解得r=5.故小桥所在圆的半径为5m
11. 如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为 $ 2.2 \, \mathrm{m} $)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为(
A.$ 5.5 \, \mathrm{m} $
B.$ 6.2 \, \mathrm{m} $
C.$ 11 \, \mathrm{m} $
D.$ 2.2 \, \mathrm{m} $
A
)A.$ 5.5 \, \mathrm{m} $
B.$ 6.2 \, \mathrm{m} $
C.$ 11 \, \mathrm{m} $
D.$ 2.2 \, \mathrm{m} $
答案：
11.A 解析:如图，由题意，得BC//DE,所以△ABC∽△ADE,所以$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}$.设DE=xm.因为BC=2.2m,AB=4m,AD=10m,所以$\frac{2.2}{x}=\frac{4}{10}$,解得x=5.5.经检验,x=5.5是原分式方程的解.故两层楼之间的高约为5.5m.
11.A 解析:如图，由题意，得BC//DE,所以△ABC∽△ADE,所以$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}$.设DE=xm.因为BC=2.2m,AB=4m,AD=10m,所以$\frac{2.2}{x}=\frac{4}{10}$,解得x=5.5.经检验,x=5.5是原分式方程的解.故两层楼之间的高约为5.5m.
12. 小明想利用太阳光测量楼高。他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量过程如下：如图，小明边移动边观察，发现站到点 $ E $ 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相等，此时测得小明落在墙上的影子高度 $ CD = 1.2 \, \mathrm{m} $，$ CE = 0.8 \, \mathrm{m} $，$ CA = 30 \, \mathrm{m} $(点 $ A $，$ E $，$ C $ 在同一条直线上)。已知小明的身高 $ EF = 1.7 \, \mathrm{m} $，则楼 $ AB $ 的高度约是
]
20.0
$ \mathrm{m} $。(结果精确到 $ 0.1 \, \mathrm{m} $)]
答案：12.20.0 解析:过点D作DG⊥AB,分别交AB,EF于点G,H,则EH=AG=CD=1.2m,DH=CE=0.8m,DG=CA=30m.因为EF//AB,所以△DFH∽△DBG,所以$\frac{FH}{BG}=\frac{DH}{DG}$.设BG=xm.因为EF=1.7m,所以FH=EF−EH=0.5m,所以$\frac{0.5}{x}=\frac{0.8}{30}$,解得x=18.75.经检验，x=18.75是原分式方程的解，所以BG=18.75m，所以AB=BG+AG=19.95m≈20.0m.故楼AB的高度约是20.0m.
解析：
解：过点 $ D $ 作 $ DG ⊥ AB $，分别交 $ AB $，$ EF $ 于点 $ G $，$ H $。
则 $ EH = AG = CD = 1.2 \, \mathrm{m} $，$ DH = CE = 0.8 \, \mathrm{m} $，$ DG = CA = 30 \, \mathrm{m} $。
因为 $ EF // AB $，所以 $ \triangle DFH ∼ \triangle DBG $，故 $ \frac{FH}{BG} = \frac{DH}{DG} $。
设 $ BG = x \, \mathrm{m} $，因为 $ EF = 1.7 \, \mathrm{m} $，所以 $ FH = EF - EH = 1.7 - 1.2 = 0.5 \, \mathrm{m} $。
则 $ \frac{0.5}{x} = \frac{0.8}{30} $，解得 $ x = 18.75 $。
经检验，$ x = 18.75 $ 是原分式方程的解，所以 $ BG = 18.75 \, \mathrm{m} $。
因此 $ AB = BG + AG = 18.75 + 1.2 = 19.95 \, \mathrm{m} \approx 20.0 \, \mathrm{m} $。
答：楼 $ AB $ 的高度约是 $ 20.0 \, \mathrm{m} $。
则 $ EH = AG = CD = 1.2 \, \mathrm{m} $，$ DH = CE = 0.8 \, \mathrm{m} $，$ DG = CA = 30 \, \mathrm{m} $。
因为 $ EF // AB $，所以 $ \triangle DFH ∼ \triangle DBG $，故 $ \frac{FH}{BG} = \frac{DH}{DG} $。
设 $ BG = x \, \mathrm{m} $，因为 $ EF = 1.7 \, \mathrm{m} $，所以 $ FH = EF - EH = 1.7 - 1.2 = 0.5 \, \mathrm{m} $。
则 $ \frac{0.5}{x} = \frac{0.8}{30} $，解得 $ x = 18.75 $。
经检验，$ x = 18.75 $ 是原分式方程的解，所以 $ BG = 18.75 \, \mathrm{m} $。
因此 $ AB = BG + AG = 18.75 + 1.2 = 19.95 \, \mathrm{m} \approx 20.0 \, \mathrm{m} $。
答：楼 $ AB $ 的高度约是 $ 20.0 \, \mathrm{m} $。