1. 在$\triangle ABC$中,若$\angle C=90^{\circ},AC=\sqrt{2},BC=\sqrt{6}$,则$\angle A$的度数为(
A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$90^{\circ}$
C
)A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$90^{\circ}$
答案：1. C
解析：
在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{6}$。
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$。
因为$\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$，所以$\angle A=60^{\circ}$。
C
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$。
因为$\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$，所以$\angle A=60^{\circ}$。
C
2. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$CD$是斜边$AB$上的高,$\angle A\neq45^{\circ}$,则下列比值不等于$\cos B$的是(
A.$\frac{CD}{AC}$
B.$\frac{BD}{BC}$
C.$\frac{CD}{BC}$
D.$\frac{BC}{AB}$
C
)A.$\frac{CD}{AC}$
B.$\frac{BD}{BC}$
C.$\frac{CD}{BC}$
D.$\frac{BC}{AB}$
答案：2. C
解析：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$CD$是斜边$AB$上的高。
因为$\angle A+\angle B=90^{\circ}$，$\angle A+\angle ACD=90^{\circ}$，所以$\angle B=\angle ACD$。
$\cos B=\frac{BC}{AB}$（D选项正确）。
在$Rt\triangle BCD$中，$\cos B=\frac{BD}{BC}$（B选项正确）。
在$Rt\triangle ACD$中，$\cos \angle ACD=\frac{CD}{AC}$，又因为$\angle B=\angle ACD$，所以$\cos B=\frac{CD}{AC}$（A选项正确）。
在$Rt\triangle BCD$中，$\cos \angle BCD=\frac{CD}{BC}$，而$\angle B \neq \angle BCD$（因为$\angle A \neq 45^{\circ}$），所以$\frac{CD}{BC} \neq \cos B$（C选项错误）。
答案：C
因为$\angle A+\angle B=90^{\circ}$，$\angle A+\angle ACD=90^{\circ}$，所以$\angle B=\angle ACD$。
$\cos B=\frac{BC}{AB}$（D选项正确）。
在$Rt\triangle BCD$中，$\cos B=\frac{BD}{BC}$（B选项正确）。
在$Rt\triangle ACD$中，$\cos \angle ACD=\frac{CD}{AC}$，又因为$\angle B=\angle ACD$，所以$\cos B=\frac{CD}{AC}$（A选项正确）。
在$Rt\triangle BCD$中，$\cos \angle BCD=\frac{CD}{BC}$，而$\angle B \neq \angle BCD$（因为$\angle A \neq 45^{\circ}$），所以$\frac{CD}{BC} \neq \cos B$（C选项错误）。
答案：C
3. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ},AC=12,AB$的垂直平分线$EF$交$AC$于点$D$,连接$BD$.若$\cos\angle BDC=\frac{5}{7}$,则$BC$的长是(
A.10
B.8
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{6}$
D
)A.10
B.8
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{6}$
答案：3. D 解析：因为$\angle C=90°$，所以$\cos\angle BDC=\frac{CD}{BD}=\frac{5}{7}$。设$CD=5x$，则$BD=7x$。因为$AB$的垂直平分线$EF$交$AC$于点$D$，所以$AD=BD=7x$，所以$AC=CD + AD = 12x$。因为$AC = 12$，所以$12x = 12$，解得$x = 1$，所以$BD = 7$，$CD = 5$，所以$BC=\sqrt{BD^2 - CD^2}=2\sqrt{6}$。
4. 如图,在矩形$ABCD$中,$E$为边$AD$上的点,$AE=AB,BE=DE$,则$\tan\angle BDE=$
$\sqrt{2}-1$
.答案：4. $\sqrt{2}-1$
5. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ},a,b,c$分别是$\angle A,\angle B,\angle C$的对边.若$c:a=\sqrt{2}:1,b=4$,则$c=$
$4\sqrt{2}$
.答案：5. $4\sqrt{2}$
解析：
解：设$c = \sqrt{2}k$，$a = k$（$k＞0$）。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
已知$b = 4$，则$k^2 + 4^2 = (\sqrt{2}k)^2$，
即$k^2 + 16 = 2k^2$，
解得$k^2 = 16$，$k = 4$（$k＞0$）。
所以$c = \sqrt{2}k = 4\sqrt{2}$。
$4\sqrt{2}$
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
已知$b = 4$，则$k^2 + 4^2 = (\sqrt{2}k)^2$，
即$k^2 + 16 = 2k^2$，
解得$k^2 = 16$，$k = 4$（$k＞0$）。
所以$c = \sqrt{2}k = 4\sqrt{2}$。
$4\sqrt{2}$
6. 如图,$\triangle ABC$的顶点$B,C$的坐标分别是$(1,0),(0,\sqrt{3})$,且$\angle ABC=90^{\circ},\angle A=30^{\circ}$,则顶点$A$的坐标是
$(4,\sqrt{3})$
.答案：6. $(4,\sqrt{3})$ 解析：因为$B(1,0)$，$C(0,\sqrt{3})$，所以$OB = 1$，$OC = \sqrt{3}$。因为$\angle BOC = 90°$，所以$BC=\sqrt{OB^2 + OC^2}=2$。因为$\angle ABC = 90°$，$\angle A = 30°$，所以$AC = 2BC = 4$，$\angle ACB = 90° - \angle A = 60°$。因为$\tan\angle OBC=\frac{OC}{OB}=\sqrt{3}$，所以$\angle OBC = 60°$，所以$\angle OBC = \angle ACB$，所以$AC// x$轴，所以顶点$A$的坐标是$(4,\sqrt{3})$。
解析：
解：
∵点$B(1,0)$，点$C(0,\sqrt{3})$，
∴$OB = 1$，$OC=\sqrt{3}$。
∵$\angle BOC = 90°$，
∴$BC=\sqrt{OB^2 + OC^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$。
∵$\angle ABC = 90°$，$\angle A = 30°$，
∴$AC = 2BC = 4$，$\angle ACB=90°-\angle A=60°$。
∵$\tan\angle OBC=\frac{OC}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，
∴$\angle OBC = 60°$，
∴$\angle OBC=\angle ACB$，
∴$AC// x$轴，
∴点$A$的纵坐标与点$C$相同，为$\sqrt{3}$，横坐标为$0 + 4=4$，
∴顶点$A$的坐标是$(4,\sqrt{3})$。
$(4,\sqrt{3})$
∵点$B(1,0)$，点$C(0,\sqrt{3})$，
∴$OB = 1$，$OC=\sqrt{3}$。
∵$\angle BOC = 90°$，
∴$BC=\sqrt{OB^2 + OC^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$。
∵$\angle ABC = 90°$，$\angle A = 30°$，
∴$AC = 2BC = 4$，$\angle ACB=90°-\angle A=60°$。
∵$\tan\angle OBC=\frac{OC}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，
∴$\angle OBC = 60°$，
∴$\angle OBC=\angle ACB$，
∴$AC// x$轴，
∴点$A$的纵坐标与点$C$相同，为$\sqrt{3}$，横坐标为$0 + 4=4$，
∴顶点$A$的坐标是$(4,\sqrt{3})$。
$(4,\sqrt{3})$
7. 新素养 运算能力 (教材 P110 练习变式)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ},a,b,c$分别是$\angle A,\angle B,\angle C$的对边,请根据下列条件解直角三角形.
(1)$a=10,\angle A=45^{\circ}$;
(2)$\frac{c}{b}=\frac{2\sqrt{3}}{3},a=12$.
(1)$a=10,\angle A=45^{\circ}$;
(2)$\frac{c}{b}=\frac{2\sqrt{3}}{3},a=12$.
答案：7. (1)$b = 10$，$c = 10\sqrt{2}$，$\angle B = 45°$。
(2)$\angle A = 30°$，$\angle B = 60°$，$b = 12\sqrt{3}$，$c = 24$。
(2)$\angle A = 30°$，$\angle B = 60°$，$b = 12\sqrt{3}$，$c = 24$。
8. 如图,$AD$是$\triangle ABC$的高.若$BD=2CD=6,\tan C=2$,则边$AB$的长为(
A.$3\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{5}$
C.$3\sqrt{7}$
D.$6\sqrt{2}$
D
)A.$3\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{5}$
C.$3\sqrt{7}$
D.$6\sqrt{2}$
答案：8. D
解析：
解：
∵ $BD = 2CD = 6$，
∴ $CD = 3$。
∵ $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的高，
∴ $\angle ADC = 90°$。
在 $\mathrm{Rt}\triangle ADC$ 中，$\tan C = \frac{AD}{CD} = 2$，
∴ $AD = 2 × CD = 2 × 3 = 6$。
在 $\mathrm{Rt}\triangle ABD$ 中，$AB = \sqrt{BD^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$。
答案：D
∵ $BD = 2CD = 6$，
∴ $CD = 3$。
∵ $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的高，
∴ $\angle ADC = 90°$。
在 $\mathrm{Rt}\triangle ADC$ 中，$\tan C = \frac{AD}{CD} = 2$，
∴ $AD = 2 × CD = 2 × 3 = 6$。
在 $\mathrm{Rt}\triangle ABD$ 中，$AB = \sqrt{BD^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$。
答案：D
9. (2025·江苏南京模拟)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ},\tan A=\frac{\sqrt{3}}{3},\angle ABC$的平分线$BD$交$AC$于点$D,CD=\sqrt{3}$,则$AB$的长为(
A.$3\sqrt{3}$
B.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
C.3
D.6
D
)A.$3\sqrt{3}$
B.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
C.3
D.6
答案：9. D
解析：
解：在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore \angle A=30^{\circ}$，则$\angle ABC=60^{\circ}$。
$\because BD$平分$\angle ABC$，$\therefore \angle CBD=30^{\circ}$。
在$Rt\triangle BCD$中，$CD=\sqrt{3}$，$\tan \angle CBD=\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore BC=\frac{CD}{\tan 30^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A=30^{\circ}$，$BC=3$，
$\therefore AB=2BC=6$。
$\therefore \angle A=30^{\circ}$，则$\angle ABC=60^{\circ}$。
$\because BD$平分$\angle ABC$，$\therefore \angle CBD=30^{\circ}$。
在$Rt\triangle BCD$中，$CD=\sqrt{3}$，$\tan \angle CBD=\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore BC=\frac{CD}{\tan 30^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A=30^{\circ}$，$BC=3$，
$\therefore AB=2BC=6$。