8. (2025·江苏扬州模拟)如图，某学校后坡有一个凉亭在点C处，通往凉亭要走两段坡度不一样的阶梯AB和BC，AB部分的坡角为32°，BC部分的坡度$i = 1:2.4$. 已知AB和BC两段阶梯的台阶数量相同，每级台阶的高度也相同. 若第一段坡长$AB = 30$m，则第二段坡长BC约为(参考数据：$\sin 32° \approx 0.53$，$\cos 32° \approx 0.85$，$\tan 32° \approx 0.62$)(
A.38.2m
B.41.3m
C.48.4m
D.66.3m
B
)A.38.2m
B.41.3m
C.48.4m
D.66.3m
答案：
8.B 解析:如图，过点$B$作$BE⊥AM$于点$E$，过点$C$作$CF⊥AM$于点$F$，过点$B$作$BT⊥CF$于点$T$，则$\angle AEB=\angle BTC = 90°$.因为$\angle BAE = 32°$，$AB = 30\mathrm{ m}$，所以$BE = AB·\sin\angle BAE\approx30×0.53 = 15.9\mathrm{ m}$.由题意，得$CT = BE = 15.9\mathrm{ m}$，$\frac{CT}{BT}=\frac{1}{2.4}$，则$BT=\frac{12}{5}CT$，所以$BC=\sqrt{BT^2+CT^2}=\frac{13}{5}CT = 41.34\mathrm{ m}\approx41.3\mathrm{ m}$.故第二段坡长$BC$约为$41.3\mathrm{ m}$.
8.B 解析:如图，过点$B$作$BE⊥AM$于点$E$，过点$C$作$CF⊥AM$于点$F$，过点$B$作$BT⊥CF$于点$T$，则$\angle AEB=\angle BTC = 90°$.因为$\angle BAE = 32°$，$AB = 30\mathrm{ m}$，所以$BE = AB·\sin\angle BAE\approx30×0.53 = 15.9\mathrm{ m}$.由题意，得$CT = BE = 15.9\mathrm{ m}$，$\frac{CT}{BT}=\frac{1}{2.4}$，则$BT=\frac{12}{5}CT$，所以$BC=\sqrt{BT^2+CT^2}=\frac{13}{5}CT = 41.34\mathrm{ m}\approx41.3\mathrm{ m}$.故第二段坡长$BC$约为$41.3\mathrm{ m}$.
9. 如图，教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，$BC // AD$，$BE ⊥ AD$，垂足为E，斜坡AB长26m，坡度为12:5. 为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造. 经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡. 若改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移
]
10
m时，才能确保山体不滑坡.(取$\tan 50° \approx 1.2$)]
答案：9.10
解析：
解：设$BE = 12k$，$AE = 5k$，由勾股定理得$(12k)^2+(5k)^2=26^2$，解得$k = 2$，则$BE=24\,\mathrm{m}$，$AE=10\,\mathrm{m}$。
设坡顶$B$沿$BC$向右移至$B'$，过$B'$作$B'E' ⊥ AD$于$E'$，则$B'E' = BE = 24\,\mathrm{m}$，$EE' = BB'$。
在$\mathrm{Rt}\triangle AB'E'$中，$\tan 50°=\frac{B'E'}{AE'}\approx1.2$，即$\frac{24}{AE'}\approx1.2$，解得$AE'\approx20\,\mathrm{m}$。
$BB' = EE' = AE' - AE = 20 - 10 = 10\,\mathrm{m}$。
10
设坡顶$B$沿$BC$向右移至$B'$，过$B'$作$B'E' ⊥ AD$于$E'$，则$B'E' = BE = 24\,\mathrm{m}$，$EE' = BB'$。
在$\mathrm{Rt}\triangle AB'E'$中，$\tan 50°=\frac{B'E'}{AE'}\approx1.2$，即$\frac{24}{AE'}\approx1.2$，解得$AE'\approx20\,\mathrm{m}$。
$BB' = EE' = AE' - AE = 20 - 10 = 10\,\mathrm{m}$。
10
10. 如图，小明坐于堤边垂钓，河堤AC的坡角为30°，AC的长为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$m，钓竿OA的倾斜角为60°，其长为3m. 若OA与钓鱼线OB的夹角为60°，则浮漂B与河堤下端C之间的距离为
1.5
m.答案：10.1.5
11. (亮点原创)为切实做好2025年防汛备汛工作，某县始终秉持“人民至上、生命至上”理念，立足“防大汛、抗大旱、抢大险、救大灾”的工作要求，早谋划、早部署、早行动，不断织密织牢防汛安全网，为全县群众生命财产安全构筑起坚实屏障. 为响应会议精神，某市对一拦水坝进行加固. 如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD. 已知迎水坡面$AB = 12\sqrt{3}$m，背水坡面$CD = 36$m，$∠B = 60°$，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，$\tan E = \frac{3\sqrt{3}}{13}$，则CE的长为
]
$8\sqrt{3}$
m.]答案：
11.$8\sqrt{3}$ 解析:如图，分别过点$A,D$作$AF⊥BE$于点$F$，$DG⊥BE$于点$G$，则$\angle AFB=\angle DGE = 90°$.因为四边形$ABED$是梯形，所以$AD// BE$，所以$DG = AF$.因为$AB = 12\sqrt{3}\mathrm{ m}$，$\angle B = 60°$，所以$DG = AF = AB·\sin B = 18\mathrm{ m}$.因为$CD = 36\mathrm{ m}$，所以$CG=\sqrt{CD^2 - DG^2}=18\sqrt{3}\mathrm{ m}$.因为$\tan E=\frac{3\sqrt{3}}{13}$，所以$EG=\frac{DG}{\tan E}=26\sqrt{3}\mathrm{ m}$，所以$CE = EG - CG = 8\sqrt{3}\mathrm{ m}$.故$CE$的长为$8\sqrt{3}\mathrm{ m}$.
11.$8\sqrt{3}$ 解析:如图，分别过点$A,D$作$AF⊥BE$于点$F$，$DG⊥BE$于点$G$，则$\angle AFB=\angle DGE = 90°$.因为四边形$ABED$是梯形，所以$AD// BE$，所以$DG = AF$.因为$AB = 12\sqrt{3}\mathrm{ m}$，$\angle B = 60°$，所以$DG = AF = AB·\sin B = 18\mathrm{ m}$.因为$CD = 36\mathrm{ m}$，所以$CG=\sqrt{CD^2 - DG^2}=18\sqrt{3}\mathrm{ m}$.因为$\tan E=\frac{3\sqrt{3}}{13}$，所以$EG=\frac{DG}{\tan E}=26\sqrt{3}\mathrm{ m}$，所以$CE = EG - CG = 8\sqrt{3}\mathrm{ m}$.故$CE$的长为$8\sqrt{3}\mathrm{ m}$.
12. (新素养 应用意识)如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放，高$AD = 80$cm，宽$AB = 48$cm，小强身高166cm，下半身$FG = 100$cm，洗漱时下半身与地面成80°角($∠FGK = 80°$)，身体前倾成125°角($∠EFG = 125°$)，脚与洗漱台距离$CG = 15$cm.(点D，C，G，K在同一条直线上)
(1)此时小强头部点E与地面DK相距多少？
(2)小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应前进或后退多少？
(结果精确到0.1cm，参考数据：$\sin 80° \approx 0.98$，$\cos 80° \approx 0.17$，$\sqrt{2} \approx 1.41$)
]
(1)此时小强头部点E与地面DK相距多少？
(2)小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应前进或后退多少？
(结果精确到0.1cm，参考数据：$\sin 80° \approx 0.98$，$\cos 80° \approx 0.17$，$\sqrt{2} \approx 1.41$)
]答案：
12.(1)如图，过点$F$作$FN⊥DK$于点$N$，过点$E$作$EM⊥FN$，交$NF$的延长线于点$M$，则$\angle FNG=\angle M = 90°$.因为$EF + FG = 166\mathrm{ cm}$，$FG = 100\mathrm{ cm}$，所以$EF = 66\mathrm{ cm}$.因为$\angle FGK = 80°$，所以$\angle GFN = 90° - \angle FGK = 10°$，$FN = FG·\sin\angle FGK\approx100×0.98 = 98\mathrm{ cm}$.因为$\angle EFG = 125°$，所以$\angle EFM = 180° - \angle EFG - \angle GFN = 45°$，所以$FM = EF·\cos\angle EFM\approx33×1.41 = 46.53\mathrm{ cm}$，所以$MN = FN + FM = 144.53\mathrm{ cm}\approx144.5\mathrm{ cm}$.故此时小强头部点$E$与地面$DK$相距约为$144.5\mathrm{ cm}$.
(2)如图，过点$E$作$EP⊥AB$于点$P$，延长$OB$交$MN$于点$H$.因为$AB = 48\mathrm{ cm}$，$O$为$AB$的中点，所以$OA = OB = 24\mathrm{ cm}$.因为$FM = 46.53\mathrm{ cm}$，$\angle M = 90°$，$\angle EFM = 45°$，所以$PH = EM = FM·\tan\angle EFM = 46.53\mathrm{ cm}$.因为$FG = 100\mathrm{ cm}$，$\angle FNG = 90°$，$\angle FGK = 80°$，所以$GN = FG·\cos\angle FGK\approx100×0.17 = 17\mathrm{ cm}$.因为$CG = 15\mathrm{ cm}$，所以$OH = OB + CG + GN = 56\mathrm{ cm}$，所以$OP = OH - PH = 9.47\mathrm{ cm}\approx9.5\mathrm{ cm}$.故他应前进约$9.5\mathrm{ cm}$.
12.(1)如图，过点$F$作$FN⊥DK$于点$N$，过点$E$作$EM⊥FN$，交$NF$的延长线于点$M$，则$\angle FNG=\angle M = 90°$.因为$EF + FG = 166\mathrm{ cm}$，$FG = 100\mathrm{ cm}$，所以$EF = 66\mathrm{ cm}$.因为$\angle FGK = 80°$，所以$\angle GFN = 90° - \angle FGK = 10°$，$FN = FG·\sin\angle FGK\approx100×0.98 = 98\mathrm{ cm}$.因为$\angle EFG = 125°$，所以$\angle EFM = 180° - \angle EFG - \angle GFN = 45°$，所以$FM = EF·\cos\angle EFM\approx33×1.41 = 46.53\mathrm{ cm}$，所以$MN = FN + FM = 144.53\mathrm{ cm}\approx144.5\mathrm{ cm}$.故此时小强头部点$E$与地面$DK$相距约为$144.5\mathrm{ cm}$.
(2)如图，过点$E$作$EP⊥AB$于点$P$，延长$OB$交$MN$于点$H$.因为$AB = 48\mathrm{ cm}$，$O$为$AB$的中点，所以$OA = OB = 24\mathrm{ cm}$.因为$FM = 46.53\mathrm{ cm}$，$\angle M = 90°$，$\angle EFM = 45°$，所以$PH = EM = FM·\tan\angle EFM = 46.53\mathrm{ cm}$.因为$FG = 100\mathrm{ cm}$，$\angle FNG = 90°$，$\angle FGK = 80°$，所以$GN = FG·\cos\angle FGK\approx100×0.17 = 17\mathrm{ cm}$.因为$CG = 15\mathrm{ cm}$，所以$OH = OB + CG + GN = 56\mathrm{ cm}$，所以$OP = OH - PH = 9.47\mathrm{ cm}\approx9.5\mathrm{ cm}$.故他应前进约$9.5\mathrm{ cm}$.