7. 新趋势 情境素材 如图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切. 将这个游戏抽象为数学问题，如图②，已知铁环的半径为 25 cm，设铁环的中心为 $O$，铁环钩与铁环的相切点为 $M$，铁环与地面的接触点为 $A$，且 $\sin \angle AOM = \frac{3}{5}$. 若人站立点 $C$ 与点 $A$ 的水平距离 $AC = 55$ cm，则铁环钩 $FM$ 的长为(
A.$46$ cm
B.$48$ cm
C.$50$ cm
D.$52$ cm
C
)A.$46$ cm
B.$48$ cm
C.$50$ cm
D.$52$ cm
答案：
C 解析:如图，过点M作与AC平行的直线，与OA,FC分别相交于点H,N,则∠OHM=∠OAB=90°,∠FNM=∠FCB=90°.因为OM=25cm,sin∠AOM=$\frac{3}{5}$,所以HM=OM·sin∠AOM=15cm,所以OH=$\sqrt{OM²−HM²}$=20cm.因为FM与$\odot O$相切,所以OM⊥FM,所以∠OMF=90°,所以∠OMH+∠FMN=180°−∠OMF=90°.因为∠OMH+∠AOM=90°,所以∠FMN=∠AOM,所以sin∠FMN=sin∠AOM=$\frac{3}{5}$,所以$\frac{FN}{FM}$=$\frac{3}{5}$.设FM=5xcm,则FN=3xcm,所以MN=$\sqrt{FM²−FN²}$=4xcm.因为AC=55cm,所以MN=BC=AC−AB=AC−HM=40cm,所以4x=40,解得x=10,所以FM=50cm.故铁环钩FM的长为50cm.
C 解析:如图，过点M作与AC平行的直线，与OA,FC分别相交于点H,N,则∠OHM=∠OAB=90°,∠FNM=∠FCB=90°.因为OM=25cm,sin∠AOM=$\frac{3}{5}$,所以HM=OM·sin∠AOM=15cm,所以OH=$\sqrt{OM²−HM²}$=20cm.因为FM与$\odot O$相切,所以OM⊥FM,所以∠OMF=90°,所以∠OMH+∠FMN=180°−∠OMF=90°.因为∠OMH+∠AOM=90°,所以∠FMN=∠AOM,所以sin∠FMN=sin∠AOM=$\frac{3}{5}$,所以$\frac{FN}{FM}$=$\frac{3}{5}$.设FM=5xcm,则FN=3xcm,所以MN=$\sqrt{FM²−FN²}$=4xcm.因为AC=55cm,所以MN=BC=AC−AB=AC−HM=40cm,所以4x=40,解得x=10,所以FM=50cm.故铁环钩FM的长为50cm.
8. 仰卧起坐是锻炼身体的一种方式，目的为增强腹部力量. 如图是一个仰卧起坐健身器侧面示意图，$AC$，$BC$ 是支架，$OC$ 是坐垫，$OD$ 为靠背(可绕点 $O$ 旋转)，$OA = OD = 900$ mm，$\angle BAC = 20^{\circ}$. 当 $\alpha = 40^{\circ}$时，点 $D$ 到地面的距离约为
612
mm. (结果精确到 1 mm，参考数据：$\sin 20^{\circ}\approx 0.34$，$\cos 20^{\circ}\approx 0.94$，$\tan 20^{\circ}\approx 0.36$，$\sin 40^{\circ}\approx 0.64$，$\cos 40^{\circ}\approx 0.77$)答案：612
9. (2025·江苏盐城模拟)如图是某公共汽车双开门的俯视示意图，$ME$，$EF$，$FN$ 是门轴的滑动轨道，$\angle E = \angle F = 90^{\circ}$，两门 $AB$，$CD$ 的门轴 $A$，$B$，$C$，$D$ 都在滑动轨道上，两门关闭时(图①)，$A$，$D$ 分别在 $E$，$F$ 处，门缝忽略不计(即 $B$，$C$ 重合)；两门同时开启(图②)，$A$，$D$ 分别沿 $E \to M$，$F \to N$ 的方向匀速滑动，带动 $B$，$C$ 滑动；$B$ 到达 $E$ 时，$C$ 恰好到达 $F$，此时两门完全开启. 已知 $AB = 50$ cm，$CD = 40$ cm.
(1) 当 $\angle ABE = 30^{\circ}$时，$BC =$
(1) 当 $\angle ABE = 30^{\circ}$时，$BC =$
(90−45$\sqrt{3}$)
cm；答案：9.(1)(90−45$\sqrt{3}$) 解析:因为AB=50cm,CD=40cm,所以EF=AB+CD=90cm.因为∠E=∠F=90°,所以当∠ABE=30°时,∠DCF=30°,所以BE=AB·cos∠ABE=25$\sqrt{3}$cm,CF=CD·cos∠DCF=20$\sqrt{3}$cm,所以BC=EF−BE−CF=(90−45$\sqrt{3}$)cm.
(2)2256 解析:因为∠E=90°,AB=50cm,所以当A向M方向继续滑动15cm时，AE=50×$\frac{1}{2}$+15=40(cm),所以BE=$\sqrt{AB²−AE²}$=30cm.因为∠E=∠F,∠ABE=∠DCF,所以△ABE∽△DCF,所以$\frac{AE}{DF}$=$\frac{BE}{CF}$=$\frac{AB}{DC}$,所以DF=32cm,CF=24cm,所以S△ABE=$\frac{1}{2}$AE·BE=600cm²,S△DCF=$\frac{1}{2}$DF·CF=384cm².因为EF=90cm,所以S梯形AEFD=$\frac{1}{2}$(DF+AE)·EF=3240cm²,所以S四边形ABCD=S梯形AEFD−S△ABE−S△DCF=2256cm².故四边形ABCD的面积为2256cm².
(2)2256 解析:因为∠E=90°,AB=50cm,所以当A向M方向继续滑动15cm时，AE=50×$\frac{1}{2}$+15=40(cm),所以BE=$\sqrt{AB²−AE²}$=30cm.因为∠E=∠F,∠ABE=∠DCF,所以△ABE∽△DCF,所以$\frac{AE}{DF}$=$\frac{BE}{CF}$=$\frac{AB}{DC}$,所以DF=32cm,CF=24cm,所以S△ABE=$\frac{1}{2}$AE·BE=600cm²,S△DCF=$\frac{1}{2}$DF·CF=384cm².因为EF=90cm,所以S梯形AEFD=$\frac{1}{2}$(DF+AE)·EF=3240cm²,所以S四边形ABCD=S梯形AEFD−S△ABE−S△DCF=2256cm².故四边形ABCD的面积为2256cm².
10. 新趋势 情境素材 如图是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中$OP$ 为下水管道口直径，$OB$ 为可绕转轴 $O$ 自由转动的阀门. 平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中. 若阀门的直径 $OB = OP = 100$ cm，$OA$ 为检修时阀门开启的位置，且 $OA = OB$.
(1) 直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中 $\angle POB$ 的取值范围；
(2) 为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达 $OB$ 位置时，在点 $A$ 处测得 $\angle CAB = 67.5^{\circ}$. 若此时点 $B$ 恰好与下水道的水面齐平，求此时下水道内水的深度. (结果保留小数点后一位，参考数据：$\sqrt{2}\approx 1.41$，$\sin 67.5^{\circ}\approx 0.92$，$\cos 67.5^{\circ}\approx 0.38$，$\tan 67.5^{\circ}\approx 2.41$，$\sin 22.5^{\circ}\approx 0.38$，$\cos 22.5^{\circ}\approx 0.92$，$\tan 22.5^{\circ}\approx 0.41$)
(1) 直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中 $\angle POB$ 的取值范围；
(2) 为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达 $OB$ 位置时，在点 $A$ 处测得 $\angle CAB = 67.5^{\circ}$. 若此时点 $B$ 恰好与下水道的水面齐平，求此时下水道内水的深度. (结果保留小数点后一位，参考数据：$\sqrt{2}\approx 1.41$，$\sin 67.5^{\circ}\approx 0.92$，$\cos 67.5^{\circ}\approx 0.38$，$\tan 67.5^{\circ}\approx 2.41$，$\sin 22.5^{\circ}\approx 0.38$，$\cos 22.5^{\circ}\approx 0.92$，$\tan 22.5^{\circ}\approx 0.41$)
答案：10.(1)阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围为0°≤∠POB≤90°.
(2)过点B作BD⊥OP于点D,则∠ODB=90°.因为∠OAC=90°,∠CAB=67.5°,所以∠OAB=∠OAC−∠CAB=22.5°.因为OA=OB,所以∠OBA=∠OAB=22.5°,所以∠BOD=∠OAB+∠OBA=45°.因为OB=100cm,所以OD=OB·cos∠BOD≈50×1.41=70.5(cm).因为OP=100cm,所以DP=OP−OD=29.5cm.故此时下水道内水的深度约为29.5cm
(2)过点B作BD⊥OP于点D,则∠ODB=90°.因为∠OAC=90°,∠CAB=67.5°,所以∠OAB=∠OAC−∠CAB=22.5°.因为OA=OB,所以∠OBA=∠OAB=22.5°,所以∠BOD=∠OAB+∠OBA=45°.因为OB=100cm,所以OD=OB·cos∠BOD≈50×1.41=70.5(cm).因为OP=100cm,所以DP=OP−OD=29.5cm.故此时下水道内水的深度约为29.5cm