解：在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$a=3$，
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×3× b=\frac{3}{2}b$，
又$S_{\triangle ABC}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore\frac{3}{2}b=\frac{9\sqrt{3}}{2}$，解得$b=3\sqrt{3}$，
$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{3^{2}+(3\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{9 + 27}=\sqrt{36}=6$，
$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
$\therefore\angle A=30^{\circ}$，
$\angle B=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。

解：在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，则$\angle A+\angle B=90^{\circ}$。
又因为$\angle A-\angle B=30^{\circ}$，联立可得：
$\begin{cases}\angle A+\angle B=90^{\circ}\\\angle A-\angle B=30^{\circ}\end{cases}$
解得$\angle A=60^{\circ}$，$\angle B=30^{\circ}$。
因为$\tan A=\frac{a}{b}$，$\angle A=60^{\circ}$，所以$a=b·\tan60^{\circ}=\sqrt{3}b$。
已知$a - b=2\sqrt{3}-2$，联立$\begin{cases}a=\sqrt{3}b\\a - b=2\sqrt{3}-2\end{cases}$
将$a=\sqrt{3}b$代入$a - b=2\sqrt{3}-2$，得$\sqrt{3}b - b=2\sqrt{3}-2$，即$b(\sqrt{3}-1)=2(\sqrt{3}-1)$，解得$b=2$。
则$a=\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}$。
因为$\sin A=\frac{a}{c}$，所以$c=\frac{a}{\sin A}=\frac{2\sqrt{3}}{\sin60^{\circ}}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$。
综上，$\angle A=60^{\circ}$，$\angle B=30^{\circ}$，$a=2\sqrt{3}$，$b=2$，$c=4$。