8. 某数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况,发现该冷柜的工作过程是当温度达到设定温度 $ -20 $ °C 时,制冷停止,此后冷柜中的温度开始逐渐上升,当上升到 $ -4 $ °C 时,制冷开始,温度开始逐渐下降,当冷柜自动制冷至 $ -20 $ °C 时,制冷再次停止,···,按照以上方式循环进行.同学们记录了 $ 24 $ min 内 $ 9 $ 个时间点冷柜中的温度 $ y $(°C)随时间 $ x $(min)的变化情况,制成下表:
(1)以记录的时间为横坐标,冷柜中的温度为纵坐标,在所给的平面直角坐标系中画出表格中数据相应的点,并选用适当的函数表达式表示冷柜中的温度 $ y $(°C)与时间 $ x $(min)之间的关系($ 4 \leq x \leq 24 $);
(2)若同学们记录的时间为 $ 5 $ min,请用(1)中的函数表达式预测冷柜中的温度;若同学们记录的时间为 $ 22.2 $ min,请用(1)中的函数表达式预测冷柜中的温度;
(3)当冷柜中的温度为 $ -15 $ °C 时,请预测同学们记录的时间.
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(1)以记录的时间为横坐标,冷柜中的温度为纵坐标,在所给的平面直角坐标系中画出表格中数据相应的点,并选用适当的函数表达式表示冷柜中的温度 $ y $(°C)与时间 $ x $(min)之间的关系($ 4 \leq x \leq 24 $);
(2)若同学们记录的时间为 $ 5 $ min,请用(1)中的函数表达式预测冷柜中的温度;若同学们记录的时间为 $ 22.2 $ min,请用(1)中的函数表达式预测冷柜中的温度;
(3)当冷柜中的温度为 $ -15 $ °C 时,请预测同学们记录的时间.
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答案：
8.(1)描点、连线，画出图像如图所示。当$4\leq x\lt20$时，所画的点在一个反比例函数的图像上，设这个反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}$。把点$(4,-20)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$-20=\frac{k}{4}$，解得$k=-80$，所以此时函数表达式为$y=-\frac{80}{x}$。把点$(8,-10)$，$(10,-8)$，$(16,-5)$，$(20,-4)$分别代入$y=-\frac{80}{x}$检验，都成立；当$20\leq x\leq24$时，所画的点在一条直线上，设这条直线的函数表达式为$y=ax + b$。把点$(20,-4)$，$(21,-8)$分别代入$y=ax + b$，得$\begin{cases}20a + b = -4\\21a + b = -8\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -4\\b = 76\end{cases}$，所以此时函数表达式为$y=-4x+76$。把点$(22,-12)$，$(23,-16)$，$(24,-20)$分别代入$y=-4x+76$检验，都成立。综上所述，冷柜中的温度$y(^{\circ}C)$与时间$x(min)$之间的函数表达式为$y=\begin{cases}-\frac{80}{x}(4\leq x\lt20)\\-4x + 76(20\leq x\leq24)\end{cases}$
(2)在$y=-\frac{80}{x}$中，令$x=5$，得$y=-\frac{80}{5}=-16$，即当同学们记录的时间为$5min$时，可预测冷柜中的温度为$-16^{\circ}C$；在$y=-4x+76$中，令$x=22.2$，得$y=-4×22.2+76=-12.8$，即当同学们记录的时间为$22.2min$时，可预测冷柜中的温度为$-12.8^{\circ}C$。
(3)在$y=-\frac{80}{x}$中，令$y=-15$，得$-\frac{80}{x}=-15$，解得$x=\frac{16}{3}$，符合题意；在$y=-4x+76$中，令$y=-15$，得$-4x+76=-15$，解得$x=22.75$，符合题意。综上所述，当冷柜中的温度为$-15^{\circ}C$时，可预测同学们记录的时间为$\frac{16}{3}min$或$22.75min$。
8.(1)描点、连线，画出图像如图所示。当$4\leq x\lt20$时，所画的点在一个反比例函数的图像上，设这个反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}$。把点$(4,-20)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$-20=\frac{k}{4}$，解得$k=-80$，所以此时函数表达式为$y=-\frac{80}{x}$。把点$(8,-10)$，$(10,-8)$，$(16,-5)$，$(20,-4)$分别代入$y=-\frac{80}{x}$检验，都成立；当$20\leq x\leq24$时，所画的点在一条直线上，设这条直线的函数表达式为$y=ax + b$。把点$(20,-4)$，$(21,-8)$分别代入$y=ax + b$，得$\begin{cases}20a + b = -4\\21a + b = -8\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -4\\b = 76\end{cases}$，所以此时函数表达式为$y=-4x+76$。把点$(22,-12)$，$(23,-16)$，$(24,-20)$分别代入$y=-4x+76$检验，都成立。综上所述，冷柜中的温度$y(^{\circ}C)$与时间$x(min)$之间的函数表达式为$y=\begin{cases}-\frac{80}{x}(4\leq x\lt20)\\-4x + 76(20\leq x\leq24)\end{cases}$
(2)在$y=-\frac{80}{x}$中，令$x=5$，得$y=-\frac{80}{5}=-16$，即当同学们记录的时间为$5min$时，可预测冷柜中的温度为$-16^{\circ}C$；在$y=-4x+76$中，令$x=22.2$，得$y=-4×22.2+76=-12.8$，即当同学们记录的时间为$22.2min$时，可预测冷柜中的温度为$-12.8^{\circ}C$。
(3)在$y=-\frac{80}{x}$中，令$y=-15$，得$-\frac{80}{x}=-15$，解得$x=\frac{16}{3}$，符合题意；在$y=-4x+76$中，令$y=-15$，得$-4x+76=-15$，解得$x=22.75$，符合题意。综上所述，当冷柜中的温度为$-15^{\circ}C$时，可预测同学们记录的时间为$\frac{16}{3}min$或$22.75min$。
9. 新趋势 学科融合 在研究气体压强和体积关系的物理实验中,一个气球内充满了一定质量的气体,实验中气体温度保持不变,实验人员记录了实验过程中气球内的气体压强 $ P $(kPa)与气体体积 $ V $(m³)的数据如下表,则预测当气体体积为 $ 3 $ m³时,压强为
32
kPa.答案：9.32 解析：以$V$为横坐标、$P$为纵坐标建立平面直角坐标系，并根据统计表中的数据描出对应的点，发现这些点在一个反比例函数图像的附近。设$P$与$V$之间的函数表达式为$P=\frac{k}{V}$。把点$(1.2,80)$代入$P=\frac{k}{V}$，得$80=\frac{k}{1.2}$，解得$k=96$，所以$P=\frac{96}{V}$。经检验，该函数表达式符合题意。在$P=\frac{96}{V}$中，令$V=3$，得$P=\frac{96}{3}=32$。故预测当气体体积为$3m^3$时，压强为$32kPa$。
解析：
解：设$P$与$V$之间的函数表达式为$P = \frac{k}{V}$。
将$(1.2, 80)$代入$P = \frac{k}{V}$，得$80 = \frac{k}{1.2}$，解得$k = 96$，所以$P = \frac{96}{V}$。
当$V = 3$时，$P = \frac{96}{3} = 32$。
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将$(1.2, 80)$代入$P = \frac{k}{V}$，得$80 = \frac{k}{1.2}$，解得$k = 96$，所以$P = \frac{96}{V}$。
当$V = 3$时，$P = \frac{96}{3} = 32$。
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10. 肥胖已成为青少年十分关注的一个问题,下表是人的身高与标准体重的对应表:
设标准体重为 $ y $(kg),身高为 $ x $(cm),专家认为当身高不高于 $ 159 $ cm 时,$ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式是 $ y = x - 105 $;当身高不低于 $ 160 $ cm 时,$ y $ 与 $ x $ 也成某种函数关系.
(1)以人的身高为横坐标,标准体重为纵坐标,在平面直角坐标系中画出身高不低于 $ 160 $ cm 时相应的点,并选用一条适当的直线近似地表示标准体重与人的身高之间的关系;
(2)当身高不低于 $ 160 $ cm 时,求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式;
(3)如果一个人的身高是 $ 163 $ cm,求这个人的标准体重.
设标准体重为 $ y $(kg),身高为 $ x $(cm),专家认为当身高不高于 $ 159 $ cm 时,$ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式是 $ y = x - 105 $;当身高不低于 $ 160 $ cm 时,$ y $ 与 $ x $ 也成某种函数关系.
(1)以人的身高为横坐标,标准体重为纵坐标,在平面直角坐标系中画出身高不低于 $ 160 $ cm 时相应的点,并选用一条适当的直线近似地表示标准体重与人的身高之间的关系;
(2)当身高不低于 $ 160 $ cm 时,求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式;
(3)如果一个人的身高是 $ 163 $ cm,求这个人的标准体重.
答案：10.(1)描点、连线即可，图略。
(2)设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$。把点$(160,54)$，$(170,63)$分别代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}160k + b = 54\\170k + b = 63\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 0.9\\b = -90\end{cases}$，所以$y=0.9x-90$。经检验，该函数表达式符合题意。故$y$与$x$之间的函数表达式为$y=0.9x-90(x\geq160)$。
(3)在$y=0.9x-90$中，令$x=163$，得$y=0.9×163-90=56.7$。故这个人的标准体重是$56.7kg$。
(2)设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$。把点$(160,54)$，$(170,63)$分别代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}160k + b = 54\\170k + b = 63\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 0.9\\b = -90\end{cases}$，所以$y=0.9x-90$。经检验，该函数表达式符合题意。故$y$与$x$之间的函数表达式为$y=0.9x-90(x\geq160)$。
(3)在$y=0.9x-90$中，令$x=163$，得$y=0.9×163-90=56.7$。故这个人的标准体重是$56.7kg$。