设正方形$ABCD$的边长为$2a$。
因为$E$，$F$分别是$AD$，$BC$的中点，所以$ED = \frac{1}{2}AD = a$，$FC=\frac{1}{2}BC = a$。
在$Rt\triangle FCD$中，$FD=\sqrt{FC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{a^{2}+(2a)^{2}}=\sqrt{5}a$。
因为以点$F$为圆心，$FD$为半径画弧，交$BC$的延长线于点$G$，所以$FG = FD=\sqrt{5}a$。
则$CG=FG - FC=\sqrt{5}a - a=(\sqrt{5}-1)a$。
矩形$DCGH$中，宽$DC = 2a$，长$CG=(\sqrt{5}-1)a$，宽与长的比为$\frac{CG}{DC}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
所以矩形$DCGH$是黄金矩形。
答案：D

对于二次函数$y = -x^2 + m^2x$，令$y = 0$，则$-x^2 + m^2x=0$，即$x(-x + m^2)=0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = m^2$。
对于二次函数$y = x^2 - m^2$，令$y = 0$，则$x^2 - m^2=0$，即$(x - m)(x + m)=0$，解得$x_3=-m$，$x_4 = m$。
设四个交点在$x$轴上的坐标从小到大依次为$a$，$b$，$c$，$d$。
因为四个交点中每相邻两点间的距离都相等，所以$b - a = c - b = d - c$，即$2b = a + c$，$2c = b + d$。
分情况讨论：
情况一：若$m＞0$，则$x_3=-m$，$x_1 = 0$，$x_4 = m$，$x_2 = m^2$。
假设顺序为$-m$，$0$，$m$，$m^2$，则$0 - (-m)=m - 0$，即$m = m$，成立；$m - 0 = m^2 - m$，即$m = m^2 - m$，$m^2 - 2m=0$，$m(m - 2)=0$，解得$m = 2$（$m = 0$舍去，此时函数与$x$轴交点不足两个）。
此时四个交点为$-2$，$0$，$2$，$4$，相邻距离均为$2$，符合题意。
二次函数$y = -x^2 + m^2x$的对称轴为$x = -\frac{m^2}{2×(-1)}=\frac{m^2}{2}$，当$m = 2$时，对称轴为$x = 2$。
二次函数$y = x^2 - m^2$的对称轴为$x = 0$。
两对称轴之间的距离为$|2 - 0|=2$。
情况二：若$m＜0$，同理可得$m=-2$，两对称轴之间的距离仍为$2$。
综上，这两个函数图像对称轴之间的距离为$2$。
A